Fonctions numériques de plusieurs variables Analyse chapitre 2

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1 Fonctions numériques de plusieurs variables Analyse chapitre 2 Dans ce chapitre, n IN* et IR n est muni de sa structure euclidienne canonique. On note O le vecteur nul de IR n. Le but est d étudier des fonctions f : R n R, (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) I Généralités sur les fonctions de IR n dans IR 1. Graphe d une fonction de IR n dans IR On appelle graphe d une fonction f de IR n dans IR définie sur D, l ensemble G = { (x 1,,x n,x n+1 ) IR n+1 / x n+1 = f(x 1,,x n ) lorsque (x 1,,x n ) parcourt D } On remarquera que le graphe d une fonction de IR n dans IR est une hypersurface de IR n+1. Lorsque n 3, on ne peut pas représenter les graphes dans l espace usuel. b. Cas des fonctions affines Une fonction de IR n dans IR est dite affine si et seulement si il existe des constantes réelles a 1,,a n et c telles que pour tout (x 1,,x n ) IR n, f(x 1,,x n ) = a 1 x a n x n + c Donner un exemple de fonction affine et de fonction non affine de IR 4 dans IR. Le graphe d une fonction affine f telle que f(0,,0) = 0 est un hyperplan de IR n+1. Le graphe d une fonction affine f de IR n dans IR est un hyperplan affine de IR n+1. Cet hyperplan affine ne passe plus nécessairement par l origine. c. Autres exemples de graphes pour les fonctions de IR² dans IR Cas du paraboloïde de révolution : z = x² + y² Cas du paraboloïde hyperbolique : z = xy Il est possible de représenter les graphes des fonctions de R² dans R à l aide de Scilab, on obtient alors des surfaces de l espace Avec feval et plot3d z=x.^2+y.^2 x=[-3:0.1:3] // Maillage y=[-3:0.1:3] // Maillage z=feval(x,y,f) plot3d(x,y,z) Avec fplod3d z=x.*y x=[-3:0.1:3] // Maillage y=[-3:0.1:3] // Maillage fplot3d(x,y,f)

2 d. Cas des fonctions polynomiales Une fonction de R n dans R est dite polynomiale si et seulement si elle est une combinaison linéaire de fonctions du type : (x 1,...,x n ) x k1 1 x k x kn n où k 1,... k n sont des entiers naturels. Une fonction polynomiale est dite homogène si elle passe par l origine Donner des exemples de fonctions polynomiales de R n dans R e. Cas de la norme euclidienne La norme euclidienne est la fonction : R n R, X=(x 1,...,x n ) = 2. Lignes de niveau pour les fonctions de deux variables Soit f une fonction de IR² dans IR. Pour tout réel c, on appelle ligne ou courbe de niveau c, l ensemble des éléments (x,y R² tels que f(x,y) = c Donner une explication au terme «ligne de niveau». Quelles sont les lignes de niveau des fonctions affines? Déterminer les lignes de niveau de f(x,y) = xy, de g(x,y) = x²+y², de h(x,y) = x² c. Représentation graphique à l aide de Scilab : z=x.^2+y.^2 clf x=[-3:0.1:3] y=[-3:0.1:3] z=feval(x,y,f) plot3d(x,y,z) t=zeros(length(x),length(y))+2 plot3d(x,y,t) Courbe de niveau 2 : c est un cercle z=x.^2-y.^2 clf x=[-3:0.1:3] y=[-3:0.1:3] z=feval(x,y,f) plot3d(x,y,z) t=zeros(length(x),length(y))+2 plot3d(x,y,t,4) contour(x,y,z,3) Quelle est la forme de la courbe de niveau 2?

3 II Continuité d une fonction de IR n dans IR 1. Définition de la continuité Soit A R n. On dit que f est continue en A si et seulement : > 0, > 0, M R n : f(m) f(a) On dit que f est continue sur R n si et seulement si f est continue en tout point A de R n. Trouver un lien avec la continuité des fonctions de R dans R? 2. Exemples à connaître - Les fonctions polynomiales sont continues sur IR n. - La fonction : IR n IR, M est continue sur IR n 3. Opérations sur les fonctions continues a. Opérations algébriques Si f et g deux fonctions de IR n dans IR continues sur IR n alors la somme f+g, le produit fg et les combinaisons linéaires ( f + g) ( avec, IR) sont continues sur R n. Si de plus, g ne s annule pas sur D alors est continue sur R n. b. Composition à gauche par une fonction de R dans R Soit f une fonction de IR n dans IR définie sur IR n et à valeurs dans un intervalle I. Soit une fonction de I dans IR. Il est possible de composer ces fonctions pour obtenir o f : IR n I IR Si f est continue sur R n et si est continue sur I alors o f est continue sur D. c. Exemples Ex 1 : Ex 2 : Etudier la continuité de : (x,y,z,t) ln(y²+1) Etudier la continuité de : (x,y,z,t) Ex 3 : Etudier la continuité de : (x,y,z,t) f(x,y,z,t) = si x+y+z+t 0 et f(x,y,z,t) = 1 sinon. III Calcul différentiel 1. Fonctions partielles Soit f une fonction de R n dans R, A = (a 1,..., a n ) R n et k 1, n. On appelle k ème fonction partielle de f en A, la fonction f k : R R, x f(a 1,..., a k-1, x, a k+1,...,a n ) Reprendre les fonctions du II 3 c) puis définir les fonctions partielles à l origine.

4 2. Dérivées partielles d ordre 1 Soit f une fonction de IR n dans IR. Soit A = (a 1,,a n ) R n et i 1, n. Si la fonction f i : IR IR, x f(a 1,..,a i-1, x, a i+1,, a n ) est dérivable en a i, le nombre dérivé s appelle dérivée partielle d ordre 1 en A de f par rapport à x i et se note i (f) (A) ou ou. Si f admet des dérivées partielles d ordre 1 par rapport à x i en tout point de R n, on note i (f) ou IR n IR, M i (f) (M) la fonction Ex 1 : Montrer que les fonctions affines de IR n dans IR admettent des dérivées partielles par rapport à x i en tout point de IR n et les déterminer. Ex 2 : Etudier l existence de dérivées partielles pour la fonction : IR n IR, M Ex 3 : Montrer que la fonction f : (x,y,z) par rapport à chacune des variables en (0,0,0). 3. Gradient admet des dérivées partielles d ordre 1 Soit f une fonction de IR n dans IR. Soit A R n. Si f admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en A alors on appelle gradient de f en A le vecteur de IR n : que l on note. Définir lorsqu ils existent, les gradients en A IR n des fonctions définies par : f : IR n IR, M ; g : IR n IR, (x 1,,x n ) ; h : IR n IR, IV Fonctions de classe C 1 1. Définition Une fonction f de R n dans R est de classe C 1 sur R n si et seulement si f admet en tout point A de R n des dérivées partielles d ordre 1 continues sur R n, par rapport à chacune des variables. 2. Exemples Les fonctions polynomiales sont de classe C 1 sur R n. Que penser de la norme euclidienne? du carré de la norme euclidienne?

5 3. Opérations a. Opérations algébriques sur les fonctions de classe C 1 Soient f et g deux fonctions de IR n dans IR de classe C 1 sur R n. - Pour tout réel, f, f+g, fg sont de classe C 1 sur R n et pour tout i 1, n : - Si de plus, g ne s annule par sur D alors admettent des dérivées par rapport à la i ème variable et on a : b. Composition à gauche par une fonction de R dans R Si f est une fonction de classe C 1 sur R n à valeurs dans un intervalle I, si g est une fonction de classe C 1 sur I à valeurs dans R alors g o f est de classe C 1 sur R n et ) c. Exemple Montrer que la fonction (x,y,z) f(x,y,z) = x² - 2xy²+ xz 2x e x+2z est de classe C 1 sur R 3 est définir ses dérivées partielles d ordre Développement limité d ordre 1 a. Théorème et définition Si f est une fonction de classe C 1 sur IR n à valeurs dans IR et si A R n alors il existe une fonction continue de R n dans R telle que (0,0,...,0) = 0 et H R n, f(a+h) = f(a) + < f( A), H > + (H) (*) (*) est le développement limité d ordre 1 de f au voisinage de A. Faire le lien avec le développement limité d ordre 1 d une fonction de R dans R b. Exemple Montrer que les fonctions suivantes admettent un développement limité d ordre 1 au voisinage de A que l on déterminera. A = (1,2,3) et f(x,y,z) = 2x + y 3z + 5 A = (1,,1) IR n et f(x) = c. Exemple Reprendre les exemples du I4b et donner une équation du plan tangent au graphe de f en A.

6 V Dérivée directionnelle 1. Droite passant par A de vecteur directeur U O Rn La droite passant par A R n et de vecteur directeur U R n, U O Rn est l ensemble des points M R n tels qu il existe un réel t vérifiant : (M-A) = t U : D A,U = { A + t U / t R } Ex 1 : Donner une équation paramétrique de la droite de R 3 passant par (1,1,1) de direction U=(1,0,1) Ex 2 : Montrer que l ensemble des points (x,y,z) R 3 tels que x+y+z = 3 et x-2y = -1 est une droite dont on précisera les équations paramétriques 2. Dérivée directionnelle a. Théorème Soit f une fonction de classe C 1 sur IR n à valeurs dans IR, A R n et U un vecteur non nul de IR n. La fonction : IR IR, t f( A + t U ) est dérivable sur R et sa dérivée vérifie : t R, (t) = < > dem : utiliser un DL d ordre 1 de f en A On remarquera que lorsque t varie, A + t U parcourt la droite D A,U. b. Définition Soit f une fonction de classe C 1 sur IR n à valeurs dans IR, A R n et U un vecteur non nul de IR n. On appelle dérivée directionnelle de f en A dans la direction U la valeur de (0) = < f (A), U > noté aussi f U (A) c. Interprétation du gradient Si f est une fonction de classe C 1 sur R n à valeurs dans R, si A R n et si U est un vecteur unitaire alors d après l inégalité de Cauchy-Schwarz : f U (A) = < f(a), U > avec égalité si U et f(a) sont colinéaires. Donc f(a) donne la direction dans laquelle la dérivée directionnelle de f en A est maximale, c est-à-dire dans laquelle la variation de f au voisinage de A est maximale. Le gradient indique la direction de plus forte variation d. Exemple f(x 1,,x n ) = a 1 x a n x n ( f est une fonction affine) U = (1,1,,1) IR n. définir la dérivée directionnelle de f dans la direction U en X = (x 1,,x n ).

7 VI Recherche d extremum : condition d ordre 1 1. Extremum local, extremum global d un extremum global Soit f une fonction de IR n dans IR. On dit que f admet en A R n, un maximum global si et seulement si : X R n, f(x) f(a) On dit que f admet en A R n, un minimum global si et seulement si : X R n, f(a) f(x) On dit que f admet en A un extremum global si et seulement si f admet en A un maximum ou un minimum global. b. Définition d un extremum local Soit f une fonction de IR n dans IR. On dit que f admet un maximum local en A si et seulement s il existe r > 0 tel que : On dit que f admet un minimum local en A si et seulement s il existe r > 0 tel que : r f(x) f(a). r f(a) f(x). On dit que f admet un extremum local en A si et seulement f admet en A un maximum ou un minimum local. c. Remarque : Un extremum global est un extremum local. Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes pour X A, on dit qu on a un extremum strict. 2. Condition nécessaire du premier ordre a. Point critique Soit f une fonction de IR n dans IR admettant des dérivées partielles d ordre 1 sur R n. On dit qu un point A R n est critique si et seulement si f A = (0,0,,0) b. Condition nécessaire d extremum Soit f une fonction de IR n dans IR, de classe C 1 sur R n. Si f admet en A R n un extremum local alors A est un point critique. c. Mise en garde La réciproque est fausse : un point critique n est pas nécessairement un extremum local. Exemple : f(x,y) = x²-y² f (x,y) = 2 (x,-y) s annule en (0,0) mais f n admet pas d extremum local en (0,0) car : x IR*, f(x,0) > 0 et y IR*, f(0,y) < 0 d. Point critique et dérivée directionnelle Soit f une fonction de IR n dans IR de classe C 1 sur un ouvert. Si A est un point critique de f alors toutes les dérivées directionnelles de f s annulent en A. Cela est dû au fait que pour les fonctions f de classe C 1, f U (A) = < f A, U > e. Exemples Etudier l existence d extremum locaux sur IR² pour : f(x,y) = x² + xy + y² + x y + 3. g(x,y) = x 3 y 3 + 3x² - 3y² en (0,0)