FORMULAIRE. de Laplace et de Fourier Transformées usuelles

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1 FORMULAIRE Propriétés des transformées de Laplace et de Fourier Transformées usuelles Fabrice Heitz Sources complémentaires : Y. THOMAS, Signaux et systèmes linéaires, Masson, Paris, 992. A.V. OPPENHEIM and A.S. WILLSKY with I.T. YOUNG, Signals and Systems, Prentice Hall, Signal Processing Series, Englewood Cliffs, 983. J.P. DELMAS, Éléments de théorie du signal : les signaux déterministes, Ellipses, Paris, 99.

2 Définitions et notations Décomposition en série de Fourier xt périodique : xt = + k= a k e jkf 0t avec : a k = xte jkf 0t dt Transformée de Fourier : Variable f : Variable ω = f : Xf = xt = Xω = xt = xte jft dt Xfe jft df xte jωt dt Xωe jωt dω Transformée de Laplace bilatérale : avec : s = σ + jω C. Xs = xte st dt xt = Xse st ds j où est une droite parallèle à s = jω et située dans la région de convergence de Xs. 2

3 Définitions et notations suite Fonctions usuelles : Fonction porte créneau rect T t = 0 t > T 2 t < T 2 Fonction d Heaviside échelon unité ut = 0 t < 0 t > 0 Fonction signe : signt = t < 0 t > 0 Fonction sinus cardinal : sinct = sin πt πt 3

4 Série de Fourier : propriétés Signal périodique Coefficients de la série xt période yt période a k b k Axt + Byt Aa k + Bb k xt t 0 jm t e xt x t x t xαt, α > 0 période α jk t a k e 0 ak M a k a k a k xτyt τdτ a k b k xtyt dxt dt t xτdτ avec a 0 = 0 l= a lb k l jk a k jk a k xt réel a k = a k xt réel et pair a k réel et a k = a k Relation de Parseval : signaux périodiques xt 2 dt = k= a k 2 4

5 Transformée de Fourier : propriétés Signal Transformée en f Transformée en ω xt Xf Xω x t X f X ω x 2 t X 2 f X 2 ω a x t + b x 2 t a X f + b X 2 f a X ω + b X 2 ω xt t 0 e jft0 Xf e jωt0 Xω e jf0t xt Xf f 0 Xω ω 0 ω 0 = f 0 xat a X f a a X ω a x t X f X ω x t X f X ω x t x 2 t X f X 2 f X ω X 2 ω x t. x 2 t X f X 2 f X ω X 2 ω d dtxt jf Xf jω Xω txt j d df Xf j d dω Xω t xτdτ jf Xf + 2 X0δf jω Xω + πx0δω xt réel X f = X f X f = Xf Arg X f = Arg Xf X ω = X ω X ω = Xω Arg X ω = Arg Xω Dualité gt ht F F hf g f gt ht F F hω g ω Relation de Parseval xt 2 dt xt 2 dt signaux d énergie finie = Xf 2 df = + Xω 2 dω 5

6 Transformée de Laplace bilatérale : propriétés Signal Transformée RDC xt Xs R x t X s R x 2 t X 2 s R 2 ax t + bx 2 t ax s + bx 2 s au moins R R 2 xt t 0 e st 0 Xs R e s 0t xt Xs s 0 R translaté de s 0 xat a X s a s si s a RDC R x t x 2 t X sx 2 s au moins R R 2 d dtxt sxs au moins R txt d ds Xs R t xτdτ sxs au moins R Res > 0} Th. valeur finale lim s 0 sxs = x+ Th. valeur initiale xt = 0, t < 0 lim s + sxs = x0 +! différence avec la transformée de Laplace monolatérale définie par : on a la relation : L + [xt] = X + s = 0 xte st dt [ ] d L + dt xt = sx + s x0 si xt ne présente pas d impulsions à l origine. 6

7 Transformées de Fourier usuelles xt Xf Xω expjf 0 t δf f 0 δω ω 0 cosf 0 t 2 [δf f 0 + δf + f 0 ] π[δω ω 0 + δω + ω 0 ] sinf 0 t 2j [δf f 0 δf + f 0 ] π j [δω ω 0 δω + ω 0 ] k= a k expjkf 0 t k= a kδf kf 0 k= a kδω kω 0 δf δω exp a t ; a > 0 signt 2a a 2 +f 2 v.p. jπf 2a a 2 +ω 2 v.p. 2 jω ut v.p. jf + 2 δf v.p. jω + πδω rect 2T t 2T sinc 2fT = sinft πf 2T sinc ωt π = 2 sinωt ω 2f 0 sinc2f 0 t = sinf0t πt rect 2f0 f rect 2ω0 ω [ exp π t 2 σ 2 ] σ exp[ πσf 2 ] σ exp ] [ σω2 4π δt δ n t dérivée n ième jf n jω n δt t 0 exp jft 0 exp jωt 0 k= δt kt T k= δf k T T k k= δω T ω 0 = f 0 7

8 Transformées de Fourier usuelles Fonctions nulles pour t < 0 xt Xf Xω ut v.p. jf + 2 δf v.p. jω + πδω exp at ut ; Rea > 0 jf+a jω+a t exp at ut ; Rea > 0 jf+a 2 jω+a 2 t n n! exp at ut ; Rea > 0 jf+a n jω+a n exp at sinf 0 t ut ; Rea > 0 f jf+a 2 +f 0 2 ω jω+a 2 +ω 0 2 exp at cosf 0 t ut ; Rea > 0 jf+a jf+a 2 +f 0 2 jω+a jω+a 2 +ω 0 2 ω 0 = f 0 8

9 ANNEXE : Compléments sur les distributions Les distributions S sont définies de façon générale comme des fonctionnelles linéaires continues qui associent à une fonction test φt un scalaire. Les fonctions tests φt doivent être continues, indéfiniment dérivables et de support borné. Le scalaire associé par la distribution S à la fonction φ est noté : < S, φ >. Propriétés des distributions : I. linéarité : < S, φ + φ 2 > = < S, φ > + < S, φ 2 > λ < S, λφ > = λ < S, φ > II. continuité : Si φ k φ alors < S, φ k > < S, φ >. Opérations sur les distributions définitions I. Addition de deux distributions : II. Multiplication par un scalaire : III. Translation d une distribution : < S + T, Φ > = < S, Φ > + < T, Φ > < λs, Φ > = < S, λφ > = λ < S, Φ > < St a, Φt > = < St, Φt + a > IV. Transposition : < S t, Φt > = < St, Φ t > V. Changement d échelle : < Sat, Φt > = a < St, Φ t a > VI. Multiplication par une fonction indéfiniment dérivable ψ : < ψs, Φ > = < S, ψφ > VII. Dérivation : < S, Φ > = < S, Φ > VIII. Convolution de deux distributions : lorsque le produit de convolution existe. < S T, Φ > = < St, < T t, Φt + t >> 9