Leçon 1 1. Leçon n 1 : Utilisation des intégrales premières du mouvement en mécanique. Exemples et applications. (1 er CU)

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1 Leçon 1 1 Leçon n 1 : Utilisation des intégrales preières du ouveent en écanique Eeples et applications (1 er U) Introduction 1 Intégrale preière de l énergie 11 Forces conservatives dérivant d un potentiel 1 L'oscillateur et le rouleent d'un cylindre 13 Forces de contact non conservatives Intégrale preière du oent cinétique 1 Mouveent à accélération centrale, problèe à deu corps Moent cinétique par rapport à un ae, solide en rotation 3 Intégrale preière de la quantité de ouveent 31 Systèes isolés, chocs élastiques 3 Systèes pseudo isolés *33 Systèes ouverts, propulsion *34 Référentiels non galiléens, apesanteur onclusion Introduction Dans cette leçon, on suppose connu les théorèes fondaentau de la écanique du point et du solide, c est à dire le théorèe de la résultante cinétique (TR), le théorèe du oent cinétique (TM) et le théorèe de l énergie cinétique (TE) L intérêt de cette leçon est de ontrer que les intégrales preières des équations du ouveent (quantités constantes au cours du teps ne faisant intervenir que les dérivées preières des coordonnées par rapport au teps) perettent de résoudre sipleent un grand nobre de problèes 1 Intégrale preière de l énergie Dans un référentiel galiléen et pour un systèe quelconque le TE s écrit : de =δ W +δ W, N où E est l énergie cinétique, δ W le travail éléentaire des forces dérivant d une énergie potentielle E P et δ WN le travail éléentaire des forces non conservatives ne dérivant pas d une énergie potentielle 11 Forces conservatives dérivant d un potentiel ( δ W = 0) onsidérons un systèe dans un chap de force conservatif F L énergie potentielle d un point dans ce chap est notée E Donc : P F = grad E P et P N δ W = grade v, Or E de grade v P P = P + t Puisque de =δ W, on en déduit :

2 leçon 1 P ( E ) de P E + = t Si l énergie potentielle E P ne dépend pas epliciteent du teps l énergie écanique se conserve et on obtient une intégrale preière de l énergie : EMEA = EP + E 'est une équation différentielle du preier ordre, alors que l'équation différentielle obtenue par l'application du principe fondaental de la dynaique est du deuièe ordre, d'où son no d'intégrale preière On peut ainsi obtenir sipleent l'équation du ouveent d'un point de vue énergétique, sans passer par un bilan des forces 1 L'oscillateur et le rouleent d'un cylindre 11 L'oscillateur Un obile de asse se déplaçant sans frotteent sur un plan horizontal est relié à un ressort de raideur k A l équilibre, il se trouve à l abscisse = 0 Lorsqu on l écarte de sa position d équilibre, il est souis à une force de rappel conservative qui dérive de l énergie potentielle E P = (1 )k Son énergie cinétique est E = (1 ) et l intégrale preière s écrit : k = cte k La constante est déterinée par les conditions initiales Si on lâche le obile sans vitesse de l abscisse 0 : k = k0 La dérivée par rapport au teps de cette relation peret d obtenir l équation du ouveent d un oscillateur non aorti : k + = 0 Dans le cas où l oscillateur est aorti, il eiste des forces de frotteent non conservatives L énergie écanique totale ne se conserve pas et il n y a plus d intégrale preière coe nous allons le voir dans le paragraphe suivant 1 Rouleent d un cylindre Un cylindre de asse M et de rayon R est souis à son poids et à la réaction du plan incliné qui se décopose en T et N Sa vitesse initiale suivant l ae O est v 0 Si l on suppose qu il roule sans glisser sur le plan, la liaison est parfaite et le travail des forces de contact est nul Il eiste alors une intégrale preière de l énergie D après le théorèe de Koenig : T N Mg α ( ) ( ) E = 1 Mv + 1 Iθ, et puisque v = = Rθ et ( ) I= 1 MR :

3 Leçon 1 3 E L intégrale preière s écrit : ( 3 4) Mv = et en dérivant par rapport au teps : ( ) ( ) Mv Mgsinα = 3 4 Mv, ( ) v = 3 g sinα Le centre de asse du cylindre est uniforéent accéléré D autres eeples sont possibles en replaçant le cylindre par un cerceau ou une sphère et/ou le plan incliné par une sphère 13 Forces de contact non conservatives ( δ W 0) Lorsque deu solides 1 et sont en contact en un point P appartenant au solide 1, le solide eerce sur celui-ci une action de contact que l on suppose réduite à une force R appliquée en P Le travail de cette force est δ W = v R + ω M ( R) N P P N Mais puisque le contact est au point P ; M P ( R)= 0 Si la liaison est parfaite, δ WN = 0 eci est possible s il y a rouleent sans glisseent ; v P = 0 ou absence de frotteent ; vp R = 0 On retrouve le cas précédent où il eiste une intégrale preière de l énergie Si la liaison n est pas parfaite, δ WN = vp R < 0 car la coposante tangentielle de R est opposée à v P En réintroduisant des forces conservatives dans le TE avec un potentiel ne dépendant pas epliciteent du teps il vient ; d(ep + E ) δwn = < 0 Les forces de frotteents non conservatives dissipent l énergie sous fore de chaleur et l énergie écanique totale diinue Il n y a plus d intégrale preière 'est le cas de l'oscillateur aorti ou du cylindre qui roule en glissant sur un plan incliné Bien sur, ces situations représentent plus fidèleent la réalité Intégrale preière du oent cinétique onsidérons un point fie O dans un référentiel galiléen Pour un systèe quelconque le TM s écrit : dσ O = M ( R), O où le oent cinétique en O et le oent en O des forces etérieures agissant sur le systèe sont définis par :

4 4 leçon 1 σ = ρ v dτ et M O ( R ) = OM ρ a dτ O OM Si le oent en O des forces etérieures est nul, le oent cinétique est constant L intégrale preière du oent cinétique s écrit alors : σ O = cte 1 Mouveent à accélération centrale, problèe à deu corps Le ouveent d un point atériel M est à accélération centrale lorsque à chaque instant son accélération passe par un point fie O, ce qui se traduit par : OM a = 0 Le oent cinétique σ O qui est constant fournit une intégrale preière Problèe à deu corps onsidérons un systèe isolé constitué de deu points atériels en interaction, de asse 1 et Dans le référentiel du centre de asse galiléen, puisque le systèe est isolé, l étude du ouveent des deu points se raène à celle d un point fictif M de asse réduite µ= 1 (1+ ) souis à une force centrale La conservation de son oent cinétique peret d affirer que le ouveent est plan En notant r et θ les coordonnées polaires de M, on obtient : ( θ ) σ = re µ re + rθ e = µ r θ e O r r Z où e Z est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan du ouveent de M Le odule du oent cinétique µ r θ est constant est la deuièe loi de Kepler, ou loi des aires Le problèe peut être coplèteent résolu en utilisant une deuièe intégrale preière ; celle de l énergie (Voir leçon n 6) Moent cinétique par rapport à un ae, solide en rotation Soit un solide tournant à la vitesse angulaire ω autour d un ae fie porté par un vecteur unitaire e Z La vitesse d un point M de ce solide est v = ω OM et le oent cinétique par rapport à l ae σ = e σ On en déduit : est Z O σ = I ω avec I = ( ) ρdτ e Z OM I est le oent d inertie du solide par rapport à l ae Le TM s écrit : dσ = M ( R) Si le solide tourne libreent et si sa rotation n est pas aortit par frotteent alors M ( R) = 0 et σ = cte au cours du ouveent êe lorsque le oent d inertie du solide varie Epériences On s assoit sur un tabouret tournant autour d un ae vertical On lance les bras vers la droite et le tabouret se et à tourner vers la gauche Le oent des forces etérieures M ( R) est nul et σ = I ω qui est nul au départ, se conserve Le tabouret tourne donc à la vitesse ω Tabouret inertiel : Assis sur le êe tabouret, iobile, on tient dans ses ains, en position horizontale l ae d une roue en rotation Lorsque l on et cet ae en position verticale le tabouret tourne dans le sens opposé à celui de la roue

5 Leçon Effondreent gravitationnel d une étoile Une étoile en rotation se contracte sous l effet de la gravitation Son rayon diinue et donc son oent d inertie aussi Puisque son oent cinétique se conserve (le systèe est isolé) sa vitesse de rotation augente eci peret d epliquer les éissions très brèves de rayonneent radioélectrique par les pulsars, qui sont des étoiles à neutrons tournant à grande vitesse Danseuse en rotation Une danseuse ou une patineuse tourne sur elle-êe autour d un ae vertical On suppose que la liaison avec le sol est parfaite Dans ces conditions, le poids et la réaction du sol sont des forces verticales de oents nuls par rapport à l ae de rotation Le oent cinétique se conserve : σ = I,i ω i = I,f ω f Lorsque la danseuse raène ses bras le long du corps son oent d inertie diinue et sa vitesse de rotation augente 3 Le plongeur ω i ωf Dans le référentiel du centre de asse (non galiléen) d un plongeur, le TM s écrit : I,i I,f dσ = M ( R), où σ est le oent cinétique du plongeur calculé en son centre de asse dans le référentiel du centre de asse et M ( R) le oent en des forces etérieures La seule force agissant sur le plongeur est son poids Si l on considère que g est unifore, M ( R) = 0 et σ est constant Rotation siple Lorsqu un plongeur veut faire un tour sur lui-êe par rapport à un ae horizontal O, il se recroqueville Son oent d inertie par rapport à l ae de rotation diinue et sa vitesse de rotation augente L eplication est la êe que pour la danseuse Rotation vrillée Si le plongeur veut faire une vrille, deu aes de rotation perpendiculaires interviennent Le oent cinétique et la vitesse de rotation ne sont plus colinéaires Il faut donc utiliser un tenseur : la atrice d inertie Dans le référentiel du centre de asse d aes yz, cette atrice s écrit : I I I I = I I I I I I [] y z y y yz z zy z Les oents d inertie du plongeur par rapport au aes, y, z sont : et les produits d inertie : ( ), Iy = ( z + ) ρdτ et z ( ) I = y + z ρdτ I = yρdτ y, yz et z I = yzρdτ Le oent cinétique et la vitesse de rotation sont lié par la relation : I = zρdτ I = + y ρdτ

6 6 leçon 1 [] I σ = ω ω On suppose au départ que le plongeur a une vitesse ω > 0 et que les produits d inertie I y et I z sont nuls (le plongeur est quasient aligné sur l ae z) Dans le référentiel du centre de asse : σ σ = 0 y σ = 0 z = ω I Puis le plongeur déplace ses bras dans le plan z coe indiqué sur la figure Les oents et produits d inertie sont odifiés En gardant les êes notations, I y et I yz sont donc nuls et I z < 0 La conservation du oent cinétique donne : σ = ω I ω I z 0 =ω I y y 0 = ω I ω I z z z y z y z Les oents d inertie étant toujours positifs : ωiz ω z = < 0 et ω y = 0 I z Le plongeur tourne aussi autour de l ae z 3 Intégrale preière de la quantité de ouveent Dans un référentiel galiléen, le TR s écrit : dp = R, où P est la résultante cinétique du systèe et R la résultante des forces etérieures agissant sur le systèe Si = R 0 l intégrale preière de la quantité de ouveent s écrit : P = cte 31 Systèes isolés, chocs élastiques Pour un systèe isolé, R est nulle et P = hocs élastiques te est une intégrale preière onsidérons deu particules de asses et 1 en interaction dans un référentiel galiléen La preière ayant une vitesse v 1 rentre en collision avec la deuièe iobile ( v = 0 ) Dans ce problèe à deu corps, il y a conservation du oent cinétique et coe on l a vu au paragraphe précédent le ouveent est plan La conservation de la quantité de ouveent nous donne donc deu équations scalaires De plus le choc est élastique et l énergie cinétique se conserve, ce qui peret d avoir une troisièe équation Le problèe coporte quatre inconnues scalaires correspondant au coordonnées de v 1 et v après la collision Il y a donc un paraètre indéteriné

7 Leçon 1 7 Ecrivons les équations de conservation dans le référentiel du centre de asse qui est galiléen puisque le systèe est isolé : On en déduit ; p 1 + = p p1 p p p p p = 0 et + = p = p = p = p = p, 1 1 avec p = µ v1 v = µ v1, la nore de la quantité de ouveent de la particule fictive de asse réduite µ= 1 1+ (voir leçon n 6) On fie un paraètre suppléentaire en se donnant la direction de v 1 portée par un vecteur n dans le référentiel du centre de asse L epression des vitesses dans le référentiel du laboratoire se déduit de la loi de coposition des vitesses En rearquant que la vitesse du centre de asse est v = 1 v1 (1+ ) = µ v 1 puisque v = 0 il vient : v v v n v et 1 1 = 1 + = v v v v n v, 1 = + = v d où : v v =µ n+ v 1 et =µ v 1 v n v 1 3 Systèes pseudo isolés La résultante des forces R agissant sur le systèe, est nulle êe s il eiste des forces etérieures non nulles ette situation se produit lorsque le poids s oppose à la réaction On peut eploiter la conservation de la coposante horizontale de la quantité de ouveent sur plusieurs eeples ; Les chocs de boules de billard Les palets sur une table à coussin d air Le recul d un fusil ou d un canon Epérience La table à coussin d air peret de vérifier la conservation de la quantité de ouveent et de l énergie cinétique lors d un choc élastique entre deu palets L obtention des points est rapide ais il est plus coode d avoir analysé une feuille et tracé les vecteurs quantité de ouveent avant la présentation *33 Systèes ouverts, propulsion onsidérons un systèe ouvert qui échange de la atière à travers une surface ferée S (surface de contrôle) fie dans un référentiel galiléen A l instant t, sa asse est et sa vitesse v Entre les instants t et t +, il rentre dans ce systèe une asse d E à la vitesse relative v E et il sort une asse d S à la vitesse relative v S A l instant t+, la asse du systèe est + de ds et sa vitesse v+dv Pour le systèe feré de asse constante :

8 8 leçon 1 et donc Propulsion p(t) = v p(t + ) = ( + d d )( v+ d v) + d ( v + v+ d v) d ( v + v+ d v ), E S S S E E p(t + ) p(t) dv ds de = + vs ve = R onsidérons un obile de asse totale M, équipé d un réservoir contenant une asse M 0 de gaz sous pression et pouvant se déplacer sans frotteent sur un plan horizontal A l instant initial t = 0 le gaz est éjecté avec une vitesse horizontale relative v S et un débit assique D = ds La résultantes des forces etérieures R étant nulle ainsi que le débit assique entrant de, l équation du ouveent s écrit : a+ Dv = 0 S où a = dv est l accélération du obile La variation de la asse du obile d est égale à la variation de la asse du gaz donc, puisqu il y a diinution de la asse au cours du teps : Et le odule de l accélération est : = M Dt avec D > 0 D a = v M Dt S d S On en déduit ette relation s intègre en tenant copte du fait qu a l instant initial la vitesse du obile est nulle On obtient alors l epression de la vitesse : M = v vs ln M Dt Quand il n y a plus de gaz = M M0 et DtF = M0 La vitesse finale du obile est : M = vf vsln M M 0 Elle est indépendante du débit D Pour augenter sa valeur il faut augenter celle de v S ou la asse de gaz M 0 En conclusion, bien que la résultante des forces etérieures R soit nulle, le obile est accéléré avant d atteindre une vitesse liite Sa vitesse n est pas constante contraireent au systèes ferés *34 Référentiels non galiléens, apesanteur onsidérons un point atériel M de asse Dans un référentiel non galiléen, il est souis à la résultante des forces R, à la force d inertie d entraîneent a E et à la force d inertie de oriolis a Dans ce référentiel non galiléen le TR s écrit : d P = R a E a

9 Leçon 1 9 Apesanteur Une cabine d ascenseur est en chute libre (cas peu fréquent, heureuseent!) Son accélération d entraîneent est a E = g et son accélération de oriolis est nulle car le ouveent est rectiligne Par rapport au référentiel de l ascenseur : dp = g ae = 0 La résultante cinétique du point M est constante et localeent la gravité est nulle Dans l ascenseur les objets sont en apesanteur Ils sont aniés de ouveents rectilignes unifores et eeple ontre qu il eiste des référentiels dans lesquels la quantité de ouveent d un point atériel est constante bien que la résultante des forces etérieures agissant sur ce point soit non nulle onclusion Dans de nobreu problèes de physique il eiste des grandeurs constantes au cours du teps La recherche de ces constantes est iportante car les intégrales preières que l on peut alors écrire facilitent la copréhension du problèe et perettent de l'aborder plus sipleent que par l'utilisation du principe fondaental de la dynaique Bibliographie JP Pérez, Mécanique, Masson, 1997 M Bertin, JP Farou, J Renault, Mécanique 1 et, Dunod, 1994 I Berkès, La physique de tous les jours