CUEEP. Théorème de Pythagore Département Mathématiques. Juin 2006 GEOMETRIE E 325 1/14 DIVERS PROBLEMES. 1 - Les barreaux

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1 006 E 35 1/14 Situations DIVERS PROBLEMES 1 - Les barreaux 7 barreaux équidistants forment un porche en demi-cercle. Calculer la longueur totale des barreaux. - La tente Une tente canadienne est large de 1,50 m, haute de 1,50 m également et longue de,10 m. Quelle est la largeur des panneaux latéraux? 3 - Le toit Calculer l'aire de la surface à couvrir sachant que h,5 m. 4 - Les cylindres 5 cylindres, dont la base est un disque de rayon 5 cm, ont été placés dans une boîte de la manière ci-contre. Calculer la longueur et la largeur de la boîte.

2 006 E 35 /14 Situations 5 - La mare Les hachures représentent une mare. Pour aller du point A au point B, on peut passer par D ou par C. Quel est le chemin le plus court? 6 - Le croissant Calculer l'aire du croissant hachuré. Comparer avec celle du triangle. 7 - Le triangle Calculer le périmètre d'un triangle rectangle en A dont - la hauteur [AH] mesure 4 cm et - la médiane [AI] mesure 5 cm. 8 - Le cube Calculer les longueurs : - d'une diagonale d'une face - d'une diagonale du cube (1 carreau vaut 0,5 cm).

3 006 E 35 3/14 Situations 9 - Le prisme Un prisme a pour bases des triangles rectangles en A et en D, dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm. La hauteur du prisme est 6 cm. Calculer le périmètre du triangle AEC. Est-il rectangle? 10 - Calotte sphérique La section d'une sphère de centre O et de rayon 5 cm par un plan est un cercle de centre H et de rayon 3 cm. Calculer la hauteur HK de la calotte sphérique La Géode La Géode est une salle de cinéma installée à la Cité des Sciences à Paris. Elle a la forme d'une calotte sphérique reposant sur le sol horizontal. La sphère dont elle est issue a un diamètre de 36 m. La distance entre le sol et le point le plus haut de la calotte est 9 m. Calculer l'aire de la surface au sol occupée par la Géode. Sur la figure, O est le centre de la sphère.

4 006 E 35 4/14 Aide 1 - Les barreaux Tracer des rayons pour faire apparaître des triangles rectangles puis utiliser le théorème de. - La tente Calculer BC largeur du panneau latéral en utilisant le théorème de. 3 - Le toit Calculer BC qui correspond à la largeur d'un pan de toiture. Ne pas oublier que la surface à couvrir est composée de pans. 4 - Les cylindres Remarquer que les centres des disques forment un rectangle dont la longueur des diagonales est facile à calculer. 5 - La mare Calculer AB dans le triangle ADB puis calculer AC dans le triangle ABC. 6 - Le croissant - Calculer l'aire du triangle ABC. Calculer l'aire du quart de disque de rayon AC. En déduire l'aire du secteur circulaire de corde BC. - Calculer l'aire du demi disque de diamètre BC. - En déduire l'aire du croissant.

5 006 E 35 5/14 Aide 7 - Le triangle La médiane passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Pour calculer BI et BC : - Utiliser la propriété : le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle passant par les sommets d'un triangle rectangle. - Calculer HI dans le triangle AHI. - En déduire BH et CH. - Calculer AB dans le triangle ABH. - Calculer AC dans le triangle AHC. 8 - Le cube DE,5 cm (5 carreaux) - Calculer EG diagonale d'une face du carré EFGH. - Calculer DG diagonale du cube dans le triangle DEG rectangle en E. 9 - Le prisme - Calculer BC dans ABC. - Calculer AE dans BAE. - Calculer EC dans BCE La calotte sphérique Faire le schéma du triangle rectangle obtenu. Calculer OH. En déduire HK hauteur de la calotte sphérique La Géode Surface du cercle πr ici R HM - Calculer OM. - Calculer OH. Utiliser le théorème de pour calculer le rayon HM de la surface au sol occupée par la Géode.

6 006 E 35 6/ Les barreaux Par symétrie, par rapport à OG, les barreaux sont de même longueur à sauf celui du milieu. En traçant les rayons OB, OD et OF, on obtient des triangles rectangles et on peut ainsi utiliser le théorème de. AB - OB OA 4-3 7,65 CD - OD OC 4-1 3,46 EF - OF OE ,87 d'où la longueur totale des barreaux : AB + CD + EF + OG (,65 + 3,46 + 3,87) + 4 3,96 fi La longueur totale des barreaux est 3,96 m. - La tente BC AB + AC 1,5 + 0,75,815 1,68 fi La largeur des panneaux latéraux est 1,68 m. 3 - Le toit La surface à couvrir est formée de rectangles de longueur 10 m et dont la largeur BC peut être calculée à l'aide du théorème de. BC +,5 + AB AC 6 4,5 BC 6,5 On en déduit l'aire des deux rectangles. 6, fi L'aire de la surface à couvrir est 130 m

7 006 E 35 7/ Les cylindres - La largeur de la boîte est égale à diamètres, soit Les centres des disques A, B, C, D forment un rectangle dont E est le centre ; on a donc : AC CD 5 50 AD AC - CD ,6 d'où la longueur de la boîte : JA + AD + DK , ,6 fi La boite a pour dimensions : - longueur 136,6 cm - largeur 100 cm 5 - La mare Le chemin passant par D mesure 10 m (AD + DB ) (AD DB car ADB est un triangle rectangle ayant angles égaux à 45, il est donc isocèle rectangle, les côtés AD et DB sont égaux.) Pour le chemin passant par C, il faut d'abord connaître AB pour pouvoir calculer AC. Dans le triangle ADB rectangle en D, on a : AB AD + DB Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : AC AB + BC 50 +,5 56,5 d'où AC 56,5 7,5 Le chemin, passant par C, mesure donc 10 m AC + CB 7,5 +,5 10 fi Les chemins ont la même longueur.

8 006 E 35 8/ Le croissant (les résultats son exprimés en m ) L'aire du croissant est égale à l'aire du demi-disque de diamètre BC diminuée de l'aire du secteur circulaire limité par la corde BC. * Calculons d'abord l'aire du demi disque : 1 1 π BC. 4 Or BC AB + AC On en déduit l'aire du demi disque de diamètre BC 1 1 π BC 50 π 6,5 π 4 8 * Calculer l'aire du secteur circulaire limitée par la corde BC : elle est égale à l'aire du quart de disque de rayon AC diminuée de l'aire du triangle ABC, soit : 1 AB AC π AC π 5-4 6,5 π -1,5 D'où, l'aire du croissant est : 1-6,5 π - (6,5 π - 1,5) 1, 5 fi On constate que l'aire du croissant est égale à l'aire du triangle ABC, soit 1,5 m. 7 - Le triangle (les résultats sont exprimés en cm) BI et AI sont deux rayons d'un même cercle. BI AI BC BI 5 10 HI AI - AH BH IB - HI 5-3 CH BC - BH 10-8 AB AH +BH ,5 AC AH +HC ,9 (ABC) AB + AC + BC 4,5 + 8, ,4 fi Le périmètre du triangle ABC mesure donc 3,4 cm.

9 006 E 35 9/ Le cube * Longueur de la diagonale d'une face EG est la diagonale d'une face carrée EFGH de,5 cm de côté. EG,5 +,5 1,5 EG 1,5 3,5 fi La diagonale d'une face mesure 3,5 cm. * Longueur de la diagonale du cube DG est la diagonale du cube. DG est l'hypoténuse du triangle DEG, rectangle en E. DG DE + EG,5 + 1,5 18,75 DG 18,75 4,3 fi La diagonale du cube mesure 4,3 cm. 9 - Le prisme. Pour calculer le périmètre du triangle AEC, on peut calculer : - AE, diagonale d'un rectangle de 3 cm sur 6 cm - BC, hypoténuse d'un triangle rectangle de 3 cm sur 4 cm - CE, diagonale d'un rectangle de BC cm sur 6 cm.

10 006 E 35 10/14. Calcul du périmètre de AEC AE ,7 BC (règle du 3, 4, 5) EC ,8 (AEC) AC + AE + CE 4 + 6,7 + 7,8 18,5 fi Le périmètre du triangle AEC est 18,5 cm.. AEC est-il rectangle? AEC est rectangle en A car CE 61 et AE + AC donc CE AE + AC fi D'après le théorème de, le triangle AEC est rectangle en A La calotte On peut dessiner le triangle OHM rectangle en H en vraie grandeur, puisque l'on sait que OM 5 cm (rayon de la sphère) et que HM 3 cm (rayon de la section). Pour calculer HK, on remarque que HK OK - OH. On connaît OK 5 cm. Calculons OH à l'aide du théorème de : OM OH + HM OH OM - HM OH OM - HM 5-3 OH 5-9 donc OH 16 4 (C'est encore la règle du 3, 4, 5.) On en déduit HK : puisque OK est un rayon de la sphère OK 5 cm et HK OK - OH 1 cm. fi La hauteur de la calotte est de 1 cm.

11 006 E 35 11/ La Géode L'aire de la surface au sol est : π HM On cherche donc à calculer HM. On connaît OM et OK, rayons de la sphère. 36 OK OM 18 m On connaît HK 9 m. On calcule OH HK - OK 11 m.. Le triangle OHM, étant rectangle en H, on peut calculer HM à l'aide du théorème de. HM OM - OH HM OM - OH , donc π HM π ,74 fi L'aire de la surface au sol occupée par la Géode est donc de 637,74 m.

12 006 E 35 1/14 Poser les problèmes Formule du Héron POSER LES PROBLEMES POUR UTILISER LE THEOREME DE PYTHAGORE FORMULE DE HERON 1 - Triangle quelconque Calculer le périmètre et l'aire du triangle ci-contre. Vérifier que l'aire est égale à : p(p - a)(p -b)(p - c) où p désigne le demi-périmètre du triangle, et a, b, c les longueurs des côtés du triangle. La formule p(p - a)(p -b)(p - c) est appelée formule de Héron. - Triangle équilatéral Calculer l'aire d'un triangle équilatéral de côté 4 cm. Vérifier la formule de Héron. 3 - Triangle rectangle Calculer l'aire d'un triangle ABC rectangle en A tel que : AB 3 cm et AC 4 cm. Vérifier la formule de Héron. 4 - Triangle isocèle Calculer l'aire d'un triangle isocèle ABC : de sommet A (AB BC) tel que BC 8 cm et de hauteur 3 cm. Vérifier la formule de Héron.

13 006 E 35 13/14 Poser les problèmes 1 - Triangle quelconque En traçant la hauteur issue de A, on fait apparaître triangles rectangles AHB et AHC. * On peut alors utiliser le théorème de : AB ,83 c AC ,81 b BC 9 a * Le périmètre du triangle est donc : (ABC) a + b + c 5,83 + 7,81 + 9,64 carreaux * L'aire du triangle est (ABC) BC AH 9 5,5 carrés * Le demi-périmètre est donc,64 p 11,3 carreaux donc p - a 11,3-9,3 p - b 11,3-7,81 3,51 p - c 11,3-5,83 5,49 et p(p - a)(p -b)(p - c) 11,3,3 3,51 5,49,49 carrés,5 carrés * On peut donc écrire p(p - a)(p -b)(p - c) - Triangle équilatéral Les 3 côtés du triangle sont égaux à 4 cm : Le périmètre est 1 cm ( 4 3 1) La hauteur issue de A est d environ 3,46 cm AH ,46 L'aire du triangle ABC est de 6,9 cm² : BC AH 4 3,46 6,9 1 Le demi-périmètre est 6 cm ( p 6 ) donc p - a p - b p - c On vérifie la formule de Héron : p(p - a)(p -b)(p - c) 6 6,9

14 006 E 35 14/14 Poser les problèmes 3 - Triangle rectangle On calcule : * BC BC 5cm * Le périmètre cm 3 4 * L'aire 6 6 cm 1 * Le demi-périmètre P 6 P 6 cm p - a 6-4 p - b p - c * On vérifie la formule de Héron p(p - a)(p -b)(p - c) cm 4 - Triangle isocèle On calcule : * Les deux côtés égaux AC AB * Le périmètre cm BC AH 8 3 * L'aire 1 1 cm 18 * Le demi-périmètre p 9 p 9 cm donc p - a p - b p - c * On vérifie la formule de Héron p(p - a)(p -b)(p - c) cm Remarque : Règle du 3, 4, 5 : un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités de longueur est un triangle rectangle : On utilise cette propriété dans le bâtiment pour vérifier si deux murs sont perpendiculaires. Remarque : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet est en même temps médiane.

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