Discrétisation des équations. de Stokes et de Navier-Stokes. en formulation tourbillon-vitesse-pression. Christine Bernardi

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1 Discrétisation des équations de Stokes et de Navier-Stokes en formulation tourbillon-vitesse-pression Christine Bernardi Laboratoire Jacques-Louis Lions C.N.R.S. et Université Pierre et Marie Curie Travail commun avec K. Amoura (Annaba), M. Azaïez (Bordeaux), N. Chorfi (Tunis), S.Saadi (Annaba),... 1

2 Les équations de Stokes et de Navier Stokes sont le plus souvent munies de conditions aux limites de type Dirichlet sur la vitesse. Mais d autres types de conditions aux limites interviennent dans un grand nombre de situations physiques et peuvent concerner le tourbillon ou la pression. C. Bègue, C. Conca, F. Murat, O. Pironneau On s intéresse ici au cas de conditions aux limites sur la composante normale de la vitesse et les composantes tangentielles du tourbillon. La première formulation tourbillon-vitesse-pression Sa discrétisation spectrale Extension aux éléments spectraux Extension aux équations de Navier Stokes Autres formulations tourbillon-vitesse-pression 2

3 La première formulation tourbillon-vitesse-pression S. Salmon, F. Dubois, M. Salaün Soit Ω un ouvert borné connexe de R 3, simplement connexe. à frontière Ω lipschitzienne et connexe (pour simplifier l exposé). Pour une viscosité ν > et une donnée f suffisamment régulière, ν u + grad p = f dans Ω, div u = dans Ω, u n = rot u n = sur Ω, sur Ω. Les inconnues sont la vitesse u et la pression p. 3

4 L idée de S. Salmon consiste à introduire le tourbillon ω = rot u comme nouvelle inconnue. ν rot ω + grad p = f dans Ω, div u = dans Ω, ω = rot u dans Ω, u n = ω n = sur Ω, sur Ω. 4

5 Formulation variationnelle On introduit les espaces H(div, Ω) = { v L 2 (Ω) 3 ; div v L 2 (Ω) }, H (div, Ω) = { v H(div, Ω); v n = sur Ω }. et H(rot, Ω) = { θ L 2 (Ω) 3 ; rot θ L 2 (Ω) 3}, H (rot, Ω) = { θ H(rot, Ω); θ n = sur Ω }. On rappelle la densité de D(Ω) 3 à la fois dans H (div, Ω) et H (rot, Ω). 5

6 A-t-on le droit de chercher ω dans H(rot, Ω)? Oui, lorsque la donnée f appartient à L 2 (Ω) 2. En effet, soit ψ la solution dans H 1 (Ω) L 2 (Ω) du problème ψ = div f dans Ω, n ψ = f n La fonction z = ν rot ω f grad ψ vérifie sur Ω. rot z = dans Ω, div z = dans Ω, z n = sir Ω. Elle est donc nulle sur Ω, d où le résultat. 6

7 Le problème précédent admet la formulation variationnelle équivalente Trouver (ω, u, p) dans H (rot, Ω) H (div, Ω) L 2 (Ω) tel que v H (div, Ω), a(ω, u; v) + b(v, p) = f, v, q L 2 (Ω), b(u, q) =, ϕ H (rot, Ω), c(ω, u; ϕ) =, pour les formes bilinéaires définies par a(ω, u; v) = ν Ω (rot ω)(x) v(x) dx, b(v, q) = c(ω, u; ϕ) = Ω ω(x) ϕ(x) dx Ω Ω (div v)(x)q(x) dx, u(x) (rot ϕ)(x) dx. Aucune hypothèse de régularité sur la solution n est nécessaire pour prouver l équivalence. 7

8 Existence et unicité de la solution Le noyau V = { v H (div, Ω); q L 2 (Ω), b(v, q) = }, est égal à l ensemble des fonctions à divergence nulle dans H (div, Ω). Le noyau W = { (θ, w) H (rot, Ω) V ; ϕ H (rot, Ω), c(θ, w; ϕ) = } est formé des couples (θ, w) de H (rot, Ω) V tels que θ = rot w. On considère le problème réduit Trouver (ω, u) dans W tel que v V, a(ω, u; v) = f, v. 8

9 Lemme. Il existe une constante α > telle que v V \ {}, sup (ω,u) W a(ω, u; v) >, (ω, u) W, sup v V a(ω, u; v) α ( ) ω v H(rot,Ω) + u L 2 L 2 (Ω) d (Ω) d. Démonstration. La propriété de positivité est établie grâce à une double inversion du rotationnel. La condition inf-sup résulte du choix qui appartient bien à V. v = u + rot ω Par conséquent, le problème réduit admet une solution unique. 9

10 Lemme. Il existe une constante β > telle que q L 2 (Ω), sup v H (div,ω) b(v, q) v H(div,Ω) β q L 2 (Ω). Démonstration. On résout l équation de Laplace et on prend v égal à grad µ. µ = q dans Ω, n µ = sur Ω, Théorème. Pour toute donnée f dans H (div, Ω), le problème de Stokes en formulation tourbillon vitesse pression admet une solution unique (ω, u, p) dans H (rot, Ω) H (div, (Ω) L 2 (Ω). En outre, ω H(rot,Ω) + u H(div,Ω) + p L 2 (Ω) c f H (div,ω). 1

11 Quelques propriétés de régularité C. Amrouche, C.B., M. Dauge, V. Girault Lorsque la donnée f est assez régulière, la solution (ω, u, p) vérifie les propriétés suivantes : Les fonctions ω, rot ω et la vitesse u appartiennnent à H s (Ω) 3, La pression p appartient à H s+1 (Ω), avec s 1 2 en général et s 1 lorsque Ω est convexe ou régulier. 11

12 La discrétisation spectrale Le domaine de base des méthodes spectrales est un parallélépipède rectangle. Ω =] 1, 1[ 3. Intégration numérique ξ = 1, ξ N = 1. À partir des nœuds ξ j et des poids ρ j, j N, de la formule de Gauss Lobatto sur ] 1, 1[, exacte sur P 2N 1 ( 1, 1), on construit le produit discret (u, v) N = N N N i= j= k= u(ξ i, ξ j, ξ k )v(ξ i, ξ j, ξ k ) ρ i ρ j ρ k. La forme bilinéaire (, ) N est en fait un produit scalaire sur P N (Ω), équivalent au produit scalaire de L 2 (Ω). 12

13 Choix des espaces discrets J.-C. Nédélec C N = ( P N 1,N,N (Ω) P N,N 1,N (Ω) P N,N,N 1 (Ω) ) H (rot, Ω). D N = ( P N,N 1,N 1 (Ω) P N 1,N,N 1 (Ω) P N 1,N 1,N (Ω) ) H (div, Ω). M N = P N 1 (Ω) L 2 (Ω). Le choix de ces espaces est justifié par les propriétés suivantes : L opérateur divergence envoie D N dans M N, L opérateur rotationnel envoie C N dans D N. 13

14 Le problème discret Trouver (ω N, u N, p N ) dans C N D N M N tel que v N D N, a N (ω N, u N ; v N ) + b N (v N, p N ) = (f, v N ) N, q N M N, b N (u N, q N ) =, ϕ N C N, c N (ω N, u N ; ϕ N ) =, pour les formes bilinéaires maintenant définies par a N (ω N, u N ; v N ) = ν (rot ω N, v N ) N, b N (v N, q N ) = (div v N, q N ) N, c N (ω N, u N ; ϕ N ) = (ω N, ϕ N ) N (u N, rot ϕ N ) N. 14

15 Existence et unicité de la solution M. Azaïez, F. Ben Belgacem, M. Grundmann, H. Khallouf Lemme. Il existe une constante β > indépendante de N telle que q N M N, b sup N (v N, q N ) β q N v N D N v N L 2 (Ω). H(div,Ω) L opérateur divergence envoie D N sur M N. Dans le cas de conditions aux limites de Dirichlet, la constante de la condition inf-sup dépend en général de N. 15

16 Le noyau V N = { v N D N ; q N M N, b N (v N, q N ) = }, est égal à l ensemble des fonctions à divergence nulle dans D N. Il est donc contenu dans V. On introduit également le noyau W N = { (θ N, w N ) C N V N ; ϕ N C N, c N (θ N, w N ; ϕ N ) = }. On considère le problème discret réduit Trouver (ω N, u N ) dans W N tel que v N V N, a N (ω N, u N ; v N ) = (f, v N ) N. 16

17 Lemme. Le noyau de l opérateur rotationnel dans C N est constitué des grad µ N, lorsque µ N parcourt P N (Ω) H 1 (Ω). Lemme. L opérateur rotationnel envoie C N sur V N. Pour tout v N dans V N, soit A N (v N ) l élément de C N tel que rot A N (v N ) = v N et µ N P N (Ω) H 1 (Ω), (A N(v N ), grad µ N ) N =. Lemme. Il existe une constante c > indépendante de N telle que v N V N, A N (v N ) H(rot,Ω) c v N L 2 (Ω) 3. L opérateur A N est un inverse du rotationnel dans les espaces discrets. 17

18 Lemme. Il existe une constante α > indépendante de N telle que v N V N \ {}, sup a N (ω N, u N ; v N ) >, (ω N,u N ) W N (ω N, u N ) W N, a(ω sup N, u N ; v N ) v N V N v N L 2 (Ω) d α ( ωn H(rot,Ω) + u N L 2 (Ω) d ). Démonstration. La propriété de positivité est établie grâce à une inversion et demie du rotationnel réalisée grâce à l opérateur A N. La condition inf-sup résulte du choix et utilise la continuité de A N. v N = u N + rot ω N Par conséquent, le problème discret réduit admet une solution unique. Plus la condition inf-sup sur b N (, ). 18

19 Théorème. Pour toute donnée f continue sur Ω, le problème discret admet une solution unique (ω N, u N, p N ) dans C N D N M N. En outre, ω N H(rot,Ω) + u N H(div,Ω) + p N L 2 (Ω) c I Nf L 2 (Ω) 3. Estimations d erreur Théorème. On suppose la donnée f dans H σ (Ω) 3, σ > 3 2, la solution (ω, u, p) dans H s (Ω) 3 H s (Ω) 3 H s (Ω) et rot ω dans H s (Ω) 3, s 2. On a l estimation d erreur suivante ω ω N H(rot,Ω) + u u N H(div,Ω) + p p N L 2 (Ω) c(ω, u, p) N s + c(f) N σ. 19

20 Conclusions Les estimations d erreur sont parfaitement optimales. En particulier, l erreur sur la pression est du même ordre que celles sur la vitesse et le tourbillon. La régularité demandée pour la solution est un peu forte. Mais on déduit des estimations qui précèdent la convergence de la méthode même pour des solutions peu régulières. Les résultats précédents sont encore vrais dans le cas d une condition aux limites non homogène sur la vitesse u n = k sur Ω, pour un choix approprié d approximation de k. 2

21 Extension aux éléments spectraux On considère une décomposition sans recouvrement du domaine Ω Ω = K k=1 Ω k and Ω k Ω k =, 1 k < k K, qui vérifie en outre les conditions suivantes : (i) Chaque Ω k, 1 k K, est un rectangle en dimension d = 2 ou un parallélépipède rectangle en dimension d = 3, (ii) L intersection de deux sous-domaines Ω k et Ω k, 1 k < k K, est soit vide, soit un sommet, soit un côté entier, soit une face entière de Ω k et Ω k. 21

22 Intégration numérique Un produit discret ((, )) N est défini comme la somme de produits discrets analogues ceux introduits précédemment sur chaque Ω k : ((u, v)) N = K k=1 (u Ωk, v Ωk ) k N. Les espaces discrets locaux C k N = P N 1,N,N(Ω k ) P N,N 1,N (Ω k ) P N,N,N 1 (Ω k ), D k N = P N,N 1,N 1(Ω k ) P N 1,N,N 1 (Ω k ) P N 1,N 1,N (Ω k ), M k N = P N 1(Ω k ). 22

23 Les espaces discrets globaux C N = { ϕ N H (rot, Ω); ϕ N Ωk C k N, 1 k K}, D N = { v N H (div, Ω); v N Ωk D k N, 1 k K}, M N = { q N L 2 (Ω); q N Ωk M k N, 1 k K}. Le problème discret Trouver (ω N, u N, p N ) dans C N D N M N tel que v N D N, a N (ω N, u N ; v N ) + b N (v N, p N ) = ((f, v N )) N, q N M N, b N (u N, q N ) =, ϕ N C N, c N (ω N, u N ; ϕ N ) =. 23

24 Lemma. Il existe un opérateur A N de V N dans C N (i) qui vérifie (ii) tel que, en dimension d = 3, v N V N, rot A N (v N ) = v N ; µ N P N (Ω) H 1 (Ω), ((A N(v N ), grad µ N )) N = ; (iii) qui vérifie, pur une constante c indépendante de N, v N V N, A N (v N ) H(rot,Ω) c v N L 2 (Ω) d. La démonstration de ce lemme est abominablement technique, surtout en dimension d = 3. A. Buffa, P. Ciarlet, Jr. 24

25 Théorème. Pour toute donnée f continue sur Ω, le problème discret admet une solution unique (ω N, u N, p N ) dans C N D N M N. En outre, ω N H(rot,Ω) + u N H(div,Ω) + p N L 2 (Ω) c I Nf L 2 (Ω) 3. Estimations d erreur Théorème. On suppose que, pour 1 k K, la donnée f Ωk appartient à H σ (Ω k ) 3, σ > d 2, la solution (ω, u, p) Ωk appartient à H s (Ω k ) 3 H s (Ω k ) 3 H s (Ω k ) et rot ω appartient ausi à H s (Ω k ) 3, s d+1 2. On a l estimation d erreur suivante ω ω N H(rot,Ω) + u u N H(div,Ω) + p p N L 2 (Ω) c(ω, u, p) N s + c(f) N σ. 25

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28 Extension aux équations de Navier Stokes Soit Ω un ouvert borné connexe de R 2, simplement connexe et à frontière Ω lipschitzienne. Lorsque l on remplace p par p u 2, ν rot ω + ω u + grad p = f dans Ω, div u = dans Ω, ω = rot u dans Ω, u n = ω n = sur Ω, sur Ω. 28

29 Formulation variationnelle Le système précédent admet la formulation variationnelle équivalente Trouver (ω, u, p) dans H (rot, Ω) H (div, Ω) L 2 (Ω) tel que v H (div, Ω), a(ω, u; v) + K(ω, u; v) + b(v, p) = f, v, q L 2 (Ω), b(u, q) =, ϕ H (rot, Ω), c(ω, u; ϕ) =, où la forme trilinéaire K(, ; ) est définie par K(ω, u; v) = Ω (ω u)(x) v(x) dx. 29

30 Lemme. La forme K(, ; ) est continue sur W L 2 (Ω) 2 propriétés suivantes et vérifie les (ω, u) W, K(ω, u; u) = K(ω, u; rot ω) =. On a le droit de chercher ω dans H(rot, Ω). Théorème. Dans le cas bi-dimensionnel, pour toute donnée f dans H (div, Ω), les équations de Navier Stokes en formulation tourbillon vitesse pression admettent une solution (ω, u, p) dans H (rot, Ω) H (div, (Ω) L 2 (Ω). En outre, ω H(rot,Ω) + u H(div,Ω) + p L 2 (Ω) c( f H (div,ω) ). L unicité de la solution n est vraie que pour des données assez petites. 3

31 Le problème discret Trouver (ω N, u N, p N ) dans C N D N M N tel que v N D N, a N (ω N, u N ; v N ) + K N (ω N, u N ; v N ) + b N (v N, p N ) = (f, v N ) N, q N M N, b N (u N, q N ) =, ϕ N C N, c N (ω N, u N ; ϕ N ) =, où la forme trilinéaire K N (, ; ) est définie par K N (ω N, u N ; v N ) = (ω N u N, v N ) N. 31

32 F. Brezzi, J. Rappaz, P.-A. Raviart Theorem. Dans le cas bi-dimensionnel, on supposeque la donnée f appartient à H σ (Ω) d, σ > 1, et que la solution (ω, u, p) st localement unique et appartient àh s+1 (Ω) H s (Ω) 2 H s (Ω), s > 1. Il existe alors un entier N et une constante c tels que, pour tout N N, the discrete problem has a unique solution (ω N, u N, p N ) vérifiant ω ω N H(rot,Ω) + u u N H(div,Ω) c log N 1 2. En outre, cette solution vérifie l estimation d erreur ω ω N H(rot,Ω) + u u N H(div,Ω) + log N 1 2 p p N L 2 (Ω) ( c(f) N s ( ω H s+1 (Ω) + u ) ) H s (Ω) 2 + p H s (Ω) + N σ f H σ (Ω) 2. 32

33 !1!.5.5 1!1!.5.5 1!.15!.1!.5.5!1!.5.5 1!1!.5.5 1!.5.5!1!.5.5 1!1! !1!.5.5 1!1!.5.5 1!1!

34 Domaine en forme U, donnée f = et conditions aux limites non homogènes sur la vitesse, ν = 1 2. Ω 1 Ω 5 Ω 2 Ω 3 Ω 4 34

35 !2!1 1 2!2!1 1!.4!.2.2.4!2!1 1 2!2!1 1!2!1 1!2!1 1 2!2!1 1!2!1 1 2!2!1 1 2!2!1.5!1!.5.5 1!

36 Autres formulations tourbillon-vitesse-pression Pour optimiser les estimations a posteriori en éléments finis C.B., F. Hecht, F.Z. Nouri, O. Pironneau Lorsque ω appartient à H(rot, Ω), la pression p appartient à H 1 (Ω), donc est a priori plus régulière que la vitesse. Trouver (ω, u, p) dans H (rot, Ω) L 2 (Ω) d ( H 1 (Ω) L 2 (Ω)) tel que v L 2 (Ω) d, Ω), a(ω, u; v) + b(v, p) = f, v, q H 1 (Ω) L 2 (Ω), b(u, q) =, ϕ H (rot, Ω), c(ω, u; ϕ) =, la forme bilinéaire b( ; ) étant maintenant définie par b(v, q) = Ω v(x) (grad q)(x) dx. 36

37 Lemme. Le noyau V = { v L 2 (Ω) d ; q H 1 (Ω) L 2 (Ω), b(v, q) = }, est égal à V = { v H (div, Ω); divv = in Ω }. Le noyau V est donc le même que pour la formulation précédente, donc le problème réduit est le même. En outre, la condition inf-sup sur la forme b( ; ) est évidente. = Problème bien posé. La nouvelle formulation facilite le couplage avec les équations de Darcy. 37

38 Les équations de Navier Stokes en dimension 3 Avec les formulations variationnelles précédentes : existence de solutions pour un domaine à frontière régulière et des données suffisamment petites, un travail en cours concernant l existence d écoulemens axisymétriques en domaine axisymétrique. N. Chorfi, S. Trabelsi Pourquoi? Le tourbillon ω n a aucune raison d appartenir à H(rot, Ω). 38

39 M. Amara, D. Capatina-Papaghiuc, D. Trujillo Trouver (ω, u, p) dans L 2 (Ω) 3 ( H (div, Ω) H(rot, Ω) ) L 2 (Ω) tel que v H (div, Ω) H(rot, Ω), a(ω, u; v) + K(ω, u; v) + b(v, p) = f, v, q L 2 (Ω), b(u, q) =, ϕ L 2 (Ω) 3, c(ω, u; ϕ) =, pour les formes bilinéaires maintenant définies par a(ω, u; v) = ν Ω ω(x) (rot v)(x) dx, b(v, q) = c(ω, u; ϕ) = Ω ω(x) ϕ(x) dx Ω Ω (div v)(x)q(x) dx, (rot u)(x) ϕ(x) dx. 39

40 Traitement de conditions aux limites mixtes Soit Ω un ouvert borné connexe de R 3, simplement connexe. à frontière Ω lipschitzienne et connexe. On suppose que Ω = Γ m Γ et Γ m Γ =, et que la frontière de Γ m est suffisamment régulière. ν rot ω + grad p = f dans Ω, div u = dans Ω, ω = rot u dans Ω, u = sur Γ, u n = sur Γ m, ω n = sur Γ m. 4

41 Le tourbillon ω n a aucune raison d appartenir à H(rot, Ω). H (rot, Ω) = { v H(rot, Ω); v n = on Γ }, X(Ω) = H (div, Ω) H (rot, Ω). Trouver (ω, u, p) dans L 2 (Ω) 3 X(Ω) L 2 (Ω) tel que v X(Ω), a(ω, u; v) + b(v, p) = f, v, q L 2 (Ω), b(u, q) =, ϕ L 2 (Ω) 3, c(ω, u; ϕ) =, pour les formes bilinéaires encore définies par a(ω, u; v) = ν Ω ω(x) (rot v)(x) dx, b(v, q) = c(ω, u; ϕ) = Ω ω(x) ϕ(x) dx Ω Ω (div v)(x)q(x) dx, (rot u)(x) ϕ(x) dx. 41

42 Lemme. Il existe une constante α > telle que (ω, u) W, sup v V a(ω, u; v) v X(Ω) α ( ω L 2 (Ω) 3 + u X(Ω) ). Démonstration. La condition inf-sup résulte du choix v = u qui appartient bien à V. Théorème. Pour toute donnée f dans L 2 (Ω) 3, le problème de Stokes avec conditions aux limites mixtes et en formulation tourbillon vitesse pression admet une solution unique (ω, u, p) dans L 2 (Ω) 3 X(Ω) L 2 (Ω). En outre, ω L 2 (Ω) 3 + u X(Ω) + p L 2 (Ω) c f L 2 (Ω) 3. 42

43 Discrétisation La preuve d estimations d erreur optimales à la fois pour le tourbillon et la vitesse semble requérir que : V N V. À voir! Merci pour votre attention 43