1S Corrigé DS n o 14 2h. ( 4 points ) Exercice 1

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1 1S Corrigé DS n o 14 h Exercice 1 ( 4 points ) 1. Etudier le sens de variation de la suite (u n ) définie par u 0 = 3 et u n+1 = u n + u n + 3 pour tout n N. Pour tout entier n : u n+1 u n = u n + u n + 3 u n = u n + 3 u n 0 donc u n > 0 donc u n+1 u n > 0 donc (u n ) est strictement croissante.. (u n ) est une suite géométrique de raison q > 0 telle que u 1 = 1 et u 5 = 307 : calculer q puis u 7. (u n ) est une suite géométrique de raison q > 0 donc u n = u 0 q n = u 1 q n 1 u 5 = u 1 q 4 = q 4 = 307 q 4 = = 56 q = 4 ou bien q = 4 or q > 0 donc q = 4 donc u 7 = u = = Calculer Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raison r = 3. u n = u 0 + n r = + 3n Recherche de n tel que u n = 30 u n = + 3n = 30 3n = 300 n = 100 Calcul de la somme u 0 + u u 100 = u 0 + u u 100 = = 101 u 0 + u 100 =

2 = 1535 Remarque : On peut contrôler le résultat avec le menu RECUR de la calculatrice en saisissant la suite a n = + 3n 4. En utilisant une suite est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme, calculer Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison q =. u n = u 0 q n = n Recherche de n tel que u n = 3768 u n = n = 3768 Avec le menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction Y 1 = x puis en paramétrant dans SET le début à 0, la fin du tableau de valeur à 100 par exemple et en prenant pour pas 1 (pour n avoir que les valeurs de x entières, on obtient 15 = 3768 donc u 15 = 3768 On peut aussi utiliser le menu RECUR de la calculatrice avec la suite de type a n en saisissant a n = n... on obtient de même que a 15 = Calcul de la somme u 0 + u u 15 = u 0 + u u 15 = = u La raison est et il y a 15+1=16 termes = = 16 1 = Remarque : Comme pour la question précédente, on peut contrôler le résultat avec le menu RECUR de la calculatrice en saisissant la suite a n = n Exercice ( 5 points ) Le 1er janvier 01,on a placé 5000 euros à intérêts composés au taux annuel de 4%. (Cela signifie que les intérêts ajoutés au capital chaque nouvelle année sont égaux à 4% du capital de l année précédente). Chaque premier janvier, on place 00 euros supplémentaires sur ce compte. On note C 0 = 5000 le capital disponible au premier janvier de l année 01 et C n le capital disponible au 1er janvier de l année 01 + n.

3 1. Calculer les valeurs exactes de C 1 et C. C 1 = C C = 1, 04C = 1, = 5400 C = C C = 1, 04C = 1, = Justifier que pour tout entier n, C n+1 = 1, 04C n Comme pour le calcul de C 1 et C, on a : C n+1 = C n C n + 00 = C n + 0, 04C n + 00 = 1, 04C n Justifier que la suite (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique. Une suite (u n ) est arithmétique si pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + r. Une suite (u n ) est géométrique si pour tout entier naturel n, u n+1 = qu n. Ici on a C n+1 = 1, 04C n + 00, donc (C n ) n est ni arithmétique, ni géométrique. On peut aussi utiliser les termes C 0, C 1 et C, à savoir : C 1 C 0 = 400 et C C 1 = 416 donc (C n ) n est pas arithmétique. C 1 = 1, 08 et C 1, 077 C 0 C 1 donc (C n ) n est pas géométrique. 4. Pour tout entier n, on pose v n = C n a) Calculer v 0 v 0 = C = Montrer que (v n ) est une suite géométrique. Pour tout entier naturel n, on a : v n+1 = C n = 1, 04C n = 1, 04C n = 1, 04(C n ) = 1, 04v n donc (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = 1, 04

4 b) En déduire l expression de v n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = 1, 04 donc v n = v 0 q n = , 04 n puis de C n en fonction de n v n = C n donc C n = v n 5000 = , 04 n 5000 Pour les questions suivantes, toute démarche sera prise en compte dans l évaluation. 5. Calculer le capital disponible à la fin de l année 00 arrondie à l euro près. C n est le capital le premier janvier de l année 01 + n. donc pour la fin de l année 00, il faut prendre 01 = donc il faut calculer C 9 et enlever les 00 euros versés le premier janvier 01 pour obtenir la capital disponible fin 00. C 9 = , (capital au premier janvier 01) = 9033 Le capital disponible à la fin de l année 00 est 9033 euros environ (arrondi à l euro) 6. Quel nombre minimal d années devra-t-on attendre pour que le capital disponible dépassera-t-il euros euros? On veut C n > C n > , 04 n 5000 > , 04 n > , 04 n > , 04 n > 1, 5 Avec le menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction Y 1 = 1, 04 x puis en paramétrant dans SET le début à 0, la fin du tableau de valeur à 50 par exemple et en prenant pour pas 1 (pour n avoir que les valeurs de x entières, on obtient 1, , 48 et 1, , 54 donc n 11. Le capital disponible sera supérieur à euros le premier janvier = 03 On peut aussi utiliser le menu RECUR de la calculatrice avec la suite de type a n+1 en saisissant a n+1 = 1, 04a n + 00 puis en paramétrant le début à n = 0 et la fin à 50 par exemple et a 0 = 5000

5 Exercice 3 ( 6 points ) Soient (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n, par : u n = 1 4 (n + 4n 5) et v n = 1 4 (n 4n + 5) 1. Calculer u 0, u 1 u 0 = 1 4 ( ) = 4 4 = 1 u 1 = 1 4 ( ) = 1 4 puis v 0 et v 1 v 0 = 1 4 ( ) = 6 4 = 3 v 1 = 1 4 ( ) = 3 4. Montrer que la suite (a n ) de terme général a n = u n + v n est géométrique de raison. a n = u n + v n = 1 4 (n + 4n 5) (n 4n + 5) = 1 4 (n + 4n 5 + n 4n + 5) = 1 4 (n + n ) = 1 4 ( n ) = 1 n (forme explicite u n = u 0 q n ) donc (a n ) est une suite géométrique de premier terme a 0 = u 0 + v 0 = = 1 et de raison q =. On a donc a n = a 0 q n = 1 n = n 1 Exprimer la somme S a (n) = a 0 + a a n en fonction de n S a (n) = a 0 + a a n = a 0 1 n+1 1 = 1 1 n+1 1 = n Montrer que la suite (b n ) de terme général b n = u n v n est arithmétique ; b n = u n v n = 1 4 (n + 4n 5) 1 4 (n 4n + 5) = 1 4 (n + 4n 5 n + 4n 5) = 1 (8n 10) 4 = n 5 (forme explicite u n = u 0 + nr)

6 donc (b n ) est une suite arithmétique de premier terme b 0 = u 0 v 0 = 1 3 = 5 et de raison r =. b n = n 5 Exprimer la somme S b (n) = b 0 + b b n en fonction de n. S b (n) = b 0 + b b n = (n + 1) b 0 + b n 4. En déduire les sommes S u (n) = u 0 + u u n = (n + 1) 5 + n 5 = (n + 1) 5 + n S a (n) = a 0 + a a n = u 0 + v 0 + u 1 + v u n + v n S b (n) = b 0 + b b n = u 0 v 0 + u 1 v u n v n En ajoutant membre à membre les deux égalités ci-dessous on a : S a (n) = u 0 + v 0 + u 1 + v u n + v n S b (n) = u 0 v 0 + u 1 v u n v n S a (n) + S b (n) = u 0 + u u n donc u 0 + u u n = S a(n) + S b (n) = n (n + 1) 5 + n = n (n + 1) ( 5 + n) 4 et S v (n) = v 0 + v v n En soustrayant membre à membre les deux égalités ci-dessous on a : S a (n) = u 0 + v 0 + u 1 + v u n + v n S b (n) = u 0 v 0 + u 1 v u n v n S a (n) S b (n) = v 0 + v v n donc v 0 + v v n = S a(n) S b (n) = n+1 1 (n + 1) 5 + n = n (n + 1) (5 n) 4

7 Exercice 4 ( 5 points ) La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par u n = n n. On veut démontrer que la suite (u n ) est décroissante à partir du rang Calculer u n pour n 4 u 0 = = 4 6 = 3 u 1 = 3 3 = 1 u = 3 1 = 3 u 3 = 3 3 = 9 4 u 4 = = 7 8. Étudier le signe de f(x) = x + x + 1 sur [0; + [. Racines de f(x) = x + x + 1 = b 4ac = 4 ( 1) 1 = 8 > 0 donc il y a une deux racines : x 1 = b = 8 = = 1 + a et x = b + = + 8 = + = 1 et x / [0; + [ a Signe de f(x) = x + x + 1 x signe de a = 1 0 signe de a = 1 f(x) = x + x donc f(x) > 0 sur [1 + ; + [ 3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : u n+1 u n = n + n + 1 n+1 u n+1 u n = = (n + 1) n+1 n n+1 = (n + 1) n n+1 (n + 1) n+1 n n = n + n + 1 n n+1 = n + n + 1 n+1

8 4. En déduire que si n 3 alors u n+1 u n puis conclure. u n+1 u n = n + n + 1 n+1 = f(n) n+1 n+1 > 0 donc u n+1 u n est du signe de f(n). D après la question., f(x) < 0 pour x > 1 + donc f(n) < 0 pour n > 1 + soit pour n 3. On a donc u n+1 u n < 0 pour n 3 donc la suite (u n ) est strictement décroissante à partir de n = 3