CHAPITRE 6 SUITES NUMÉRIQUES

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1 CHAPITRE 6 SUITES NUMÉRIQUES I Généralités sur les suites 1) d'une suite numérique Une suite u associe à tout entier naturel n un nombre réel noté u n. Les nombres réels u n sont les termes de la suite. Les nombres entiers n sont les indices ou les rangs. La suite u peut également se noter (u n ). Remarque Intuitivement, une suite est une liste infinie et ordonnée de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite et les indices correspondent à la position du terme dans la liste. Par exemple la liste 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 5 ;... correspond à la suite (u n ) suivante : u 0 = 1,6 (terme de rang 0) u 1 = 2,4 (terme de rang 1) u 2 = 3,2 (terme de rang 2) u 3 = 5... Remarque Il ne faut pas confondre l'écriture (u n ) avec parenthèses qui désigne la suite et l'écriture u n sans parenthèse qui désigne le terme de rang n. 2) Modes de génération d'une suite Une suite est définie par une formule explicite lorsqu'on dispose d'une formule du type u n = f(n) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang. La suite (u n ) définie par la formule explicite u n = 2n+1 3 est telle que : u 0 = 1 3 u 1 = 3 3 =1... u 100 = =67

2 Une suite est définie par une formule de récurrence lorsqu'on dispose du premier terme et d'une formule du type u n+1 = f(u n ) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir du terme précédent. La suite (u n ) définie par la formule de récurrence : { u 0 =1 u n+1 =2u n 3 est telle que : u 0 =1 u 1 =2 u 0 3=2 1 3= 1 u 2 =2 u 1 3=2 ( 1) 3= 5 II Sens de variation d'une suite numérique Soit une suite numérique (u n ). - La suite (u n ) est croissante signifie que pour tout entier n, on a u n+1 u n. - La suite (u n ) est décroissante signifie que pour tout entier n, on a u n+1 u n. Reformulation - La suite (u n ) est croissante signifie que u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u n u n+1. - La suite (u n ) est décroissante signifie que u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u n u n+1. Méthode : Démontrer les variations d'une suite Pour tout n de N, on donne la suite (un) définie par : u n = n² + 4n + 4. Démontrer que la suite (u n ) est croissante On commence par calculer la différence u n+1 u n : u n+1 u n = (n+1)² + 4 (n+1) + 4 (n² + 4n + 4) = n² + 2n n n² 4n 4 = 2n + 5 On étudie ensuite le signe de u n+1 u n : Or pour tout n entier 2n donc u n+1 u n 0. On en déduit que la suite (u n ) est croissante.

3 Pour tout n de N, on donne la suite (v n ) définie par : v n = 1 n( n+1) Démontrer que la suite (v n ) est décroissante On commence par calculer le rapport v n+1 v n : 1 (n+1)(n+2) = = n(n+1) v n 1 (n+1)(n+2) = n n+2 n(n+1) v n+1 v n+1 Or 0 n < n + 2, on a : < 1 et donc v n+1 v n < 0 v n On en déduit que (v n ) est décroissante. III Suites arithmétiques 1) Une suite (u n ) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : Le nombre r est appelé raison de la suite. u n+1 = u n + r Reformulation A partir du terme initial u 0, on passe d'un terme de la suite au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre r. Calculer les cinq premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u 0 = -2 et de raison r = 3. Réponse : u 0 = -2 ; u 1 = 1 ; u 2 = 4 ; u 3 = 7 et u 4 = 10. Formule explicite du terme général en fonction de n u n = u 0 + n x r Calculer u 100, le terme de rang 100 de la suite arithmétique de l'exemple précédent (de premier terme u 0 = -2 et de raison r = 3). Réponse : u 100 = u x r = x 3 = 298

4 Illustration Remarques Il est possible d'exprimer u n en partant de u 1 : u n = u 1 + (n 1) x r. Il est possible d'exprimer u n en partant de u p : u n = u p + (n p) x r. Méthode : Démontrer si une suite est arithmétique La suite ( un) définie par : un = 7 9 n est-elle arithmétique? u n+1 u n = 7 9 (n+1) (7 9 n) = 7 9 n n = -9 La différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à -9. (un) est donc une suite arithmétique de raison -9. La suite (vn) définie par : vn = n² + 3 est-elle arithmétique? v n+1 v n = (n+1)² + 3 (n² + 3) = n² + 2 n n² 3 = 2 n + 1 La différence entre un terme et son précédent ne reste pas constante. (vn) n'est donc pas une suite arithmétique. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique Considérons la suite arithmétique (u n ) tel que u 5 = 7 et u 9 = 19. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (u n ) Les termes de la suite sont de la forme u n = u 0 + n r Ainsi u 5 = u r = 7 et u 9 = u r = 19. En soustrayant membre à membre, on obtient : 5 r 9 r = 7 19 donc r = 3. Comme u 0 + 5r = 7, on a : u x 3 = 7 et donc : u 0 = -8. Autre méthode pour déterminer la raison d'une suite arithmétique On écrit les termes en cascade u 5 = r u 6 =? u 7 =? donc r = 19 ssi r = 3 u 8 =? u 9 = 19

5 2) Variations Propriété Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (u n ) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (u n ) est décroissante. Démonstration On a u n+1 u n = u n + r u n = r : - Si r > 0 alors u n+1 u n > 0 et la suite (u n ) est croissante. - Si r < 0 alors u n+1 u n < 0 et la suite (u n ) est décroissante. La suite arithmétique (u n ) définie par u n = 5 4 n est décroissante car de raison négative et égale à -4. 3) Représentation graphique Propriété Les points de coordonnées (n ; u n ) de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés. On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme ,5 Remarque La raison r = -0,5 est le coefficient directeur et le premier terme u 0 = 4 est l'ordonnée à l'origine de la droite qui passe par ces points.

6 IV Suites géométriques 1) Une suite (u n ) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : Le nombre q est appelé raison de la suite. u n+1 = q x u n Reformulation A partir du terme initial u 0, on passe d'un terme de la suite au terme suivant en le multipliant toujours par le même nombre q. Calculer les cinq premiers termes de la suite géométrique de premier terme u 0 = -1 et de raison q = 2. Réponse : u 0 = -1 ; u 1 = -2 ; u 2 = -4 ; u 3 = -8 et u 4 = -16. Formule explicite du terme général en fonction de n u n = u 0 x q n Calculer u 20, le terme de rang 20 de la suite géométrique de l'exemple précédent (de premier terme u 0 = -1 et de raison q = 2). Réponse : u 20 = u 0 x 2 n = -1 x 2 20 = Illustration Remarques Il est possible d'exprimer u n en partant de u 1 : u n = u 1 x q n-1. Il est possible d'exprimer u n en partant de u p : u n = u p x q n-p.

7 Méthode : Démontrer si une suite est géométrique La suite (u n ) définie par : u n = 4 2n-1 est-elle géométrique? u n+1 = 42(n+1) 1 = 42n+1 u n 4 2n 1 4 2n 1=4²=16 Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à 16. (un) est donc une suite géométrique de raison 16 et de premier terme u 0 = 4 2x0-1 = 0,25. Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique Considérons la suite géométrique (u n ) tel que u 4 = 8 et u 7 = 512. Déterminer la raison et le premier terme de la suite (u n ) Les termes de la suite sont de la forme u n = q n x u 0 Ainsi u 4 = q 4 x u 0 = 8 et u 7 = q 7 x u 0 = 512. Ainsi : u 7 u 4 = q7 u 0 q 4 u 0 =q 3 et u 7 u 4 = =64 donc q3 = 64. On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au cube donne 64. Ainsi q = 64 = 4 Comme q 4 x u 0 = 8, on a : 4 4 x u 0 = 8 et donc : u 0 = Autre méthode pour déterminer la raison d'une suite géométrique On écrit les termes en cascade u 4 = 8 u 5 =? donc 8 x q 3 = 512 ssi q 3 = 64 ssi q = 4 x q 3 u 6 =? u 7 = 512 2) Variations Propriété Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u 0. Pour u 0 > 0 : - Si q > 1 alors la suite (u n ) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (u n ) est décroissante. Pour u 0 < 0 : - Si q > 1 alors la suite (u n ) est décroissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (u n ) est croissante.

8 Démonstration dans le cas où u 0 > 0 u n+1 u n = q n+1 u 0 q n u 0 = u 0 q n (q 1). - Si q > 1 alors u n+1 u n > 0 et la suite (u n ) est croissante. - Si 0 < q < 1 alors u n+1 u n < 0 et la suite (u n ) est décroissante. La suite géométrique (un) définie par un = 4 2 n est décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. Remarque Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone.