Généralités sur les fonctions Image d un nombre Exercices corrigés

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1 Généralités sur les fonctions Image d un nombre Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : calcul de l image d un nombre par une fonction Exercice 2 : lecture graphique de l image d un nombre Exercice 3 : algorithme permettant de calculer l image d un réel par une fonction Exercice 4 : image, antécédent et tableau de valeurs Exercice 5 : représentation graphique d une fonction Exercice 6 : appartenance d un point à une courbe Exercice 7 : algorithme permettant d indiquer si un point appartient à une courbe 1

2 Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile 1) Calculer l image de par la fonction définie sur par. 2) Calculer l image de par la fonction définie sur par. 3) Calculer l image de par la fonction définie sur par. Correction de l exercice 1 Rappel : Image d un nombre Soit une fonction définie sur un ensemble. L image de tout nombre de est le nombre. 1) Pour tout,. L ensemble de définition de la fonction est et donc l image de par, notée, existe. Pour calculer, on remplace par dans l expression de, c est-à-dire dans l expression. Donc l image de par est. On dit aussi que est un antécédent de par. 2) Pour tout,. L ensemble de définition de la fonction est et donc l image de par, notée, existe. Pour calculer, on remplace par dans l expression de, à savoir dans l expression. Donc l image de par est. On dit aussi que est un antécédent de par. 3) Pour tout,. ] [ L ensemble de définition de la fonction est et donc l image de par, notée, existe. Pour calculer, on remplace par dans l expression de, à savoir dans l expression. Donc l image de par est. On dit aussi que est un antécédent de par. 2

3 Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile La courbe ci-contre est la représentation graphique, dans un repère orthonormé ( ) du plan, d une fonction définie sur. 1) Donner une valeur approchée de l image de par. 2) Donner un encadrement de l image par de par deux entiers consécutifs. Remarque : La fonction polynôme». est une «fonction Correction de l exercice 2 1) Donnons, par lecture graphique, une valeur approchée de l image de par. Représentation graphique d une fonction Soit une fonction définie sur un ensemble. La représentation graphique (aussi appelée courbe représentative) de dans un repère est l ensemble des points de coordonnées ( ) où. Une équation de la courbe représentative de est alors. La courbe ci-contre représente une fonction. On cherche à donner une valeur approchée de l image de par, c est-à-dire, qui peut être lue en suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis rouges. On obtient ainsi. L image de par est donc environ égale à. Rappel : Coordonnées d un point Dans un repère, chaque point peut être repéré par son abscisse et son ordonnée. 3

4 Remarque importante : Lecture graphique Un graphique ne permet pas d obtenir des valeurs exactes mais des valeurs approchées. En effet, dans le cas présent, par lecture graphique, on ne peut pas affirmer si est exactement égale à ou si est égale à une valeur très proche de, comme ; ; etc. 2) Proposons un encadrement de l image par de par deux entiers consécutifs. On cherche à donner un encadrement de l image de par, c est-à-dire à encadrer, qui peut être lue en suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis rouges. On obtient ainsi. L image de par est donc encadrée par les entiers consécutifs et. Remarque : La fonction représentée est définie par. A la lumière de cette information, on peut vérifier que et. D une part, D autre part, On a donc et. 4

5 Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur par. 1) Préciser l ensemble de définition. 2) Ecrire un algorithme permettant de calculer l image de tout réel et d afficher un message d erreur pour tout. Correction de l exercice 3 1) Précisons l ensemble de définition. existe si et seulement si La fonction est définie sur par ; elle est donc définie si et seulement si le radicande est positif ou nul. Or,. Il vient donc que [ [. 2) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de calculer l image de tout réel et permettant par ailleurs d afficher un message d erreur pour tout. 1 VARIABLES 2 x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 image_de_x EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 AFFICHER "Donner un nombre : " 6 LIRE x 7 AFFICHER x 8 SI (x<4) ALORS 9 DEBUT_SI 10 AFFICHER "On ne peut pas calculer l'image du nombre " 11 AFFICHER x 12 FIN_SI 13 SINON 14 DEBUT_SINON 15 image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x) 16 AFFICHER "L'image du nombre " 17 AFFICHER x 18 AFFICHER " est : " 19 AFFICHER image_de_x 20 FIN_SINON 21 FIN_ALGORITHME Fonction numérique utilisée : F1(x)=sqrt(x-4) sqrt(x) correspond à la racine carrée du nombre X Si, alors et on ne peut alors pas calculer l image de. Dans le cas contraire, on peut calculer et afficher l image de. On peut remplacer l instruction d affectation «image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x)» (Attention! La fonction numérique doit dans ce cas être déclarée par «F1(x)=sqrt(x-4)») par «image_de_x PREND_LA_VALEUR sqrt(x-4)» Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox ***Algorithme lancé*** Donner un nombre : 2 On ne peut pas calculer l'image du nombre 2 ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Donner un nombre : 8 L'image du nombre 8 est : 2 ***Algorithme terminé*** 5

6 Exercice 4 (8 questions) Niveau : facile Une fonction est définie sur l intervalle [ ]. On donne le tableau de valeurs suivant. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, tout en justifiant. 1) 2) L image de par est. 3) n a pas d image par sur [ ]. 4) et ont même image. 5) Seuls deux nombres ont des images opposées. 6) Un antécédent de par est. 7) n a pas d antécédent par. 8) a au moins deux antécédents par. Correction de l exercice 4 1) D après le tableau de valeurs,. L affirmation est vraie. 2) D après le tableau de valeurs,. Autrement dit, l image de par est. L affirmation est fausse. Remarque : On a en revanche, qui se traduit par «un antécédent de par est» Il ne fallait donc pas confondre «l image de par est» et «un antécédent de par est.» 3) Le tableau de valeurs proposé dans l énoncé ne concerne que l ensemble fini { }. Or, d après l énoncé, la fonction est définie sur l intervalle [ ]. Aussi, même si le tableau de valeurs ne consigne pas la valeur, [ ] donc existe. Autrement dit, a une image par, qui n est en revanche pas renseignée dans le tableau de valeurs. L affirmation est fausse. 4) D après le tableau de valeurs, et. Autrement dit, a pour image et a pour image. Finalement, et ont même image, à savoir le nombre. L affirmation est vraie. 6

7 5) D après le tableau de valeurs, seules deux images sont opposées ; il s agit des nombres et. On lit en outre, et. Autrement dit, d une part et ont des images opposées et, d autre part, et ont des images opposées. L affirmation est fausse. 3 Rappel : Antécédent d un nombre Soit une fonction définie sur un ensemble. Si, on dit que : est l image de par est un antécédent de par 6) D après le tableau de valeurs,. Autrement dit, un antécédent de par est. L affirmation est fausse. Remarque : On a en revanche, qui se traduit par «l image de par est». Il ne fallait donc pas confondre «un antécédent de par est» et «l image de par est». 7) D après le tableau de valeurs,. Autrement dit, il existe (au moins) un antécédent de par ; cet antécédent est. L affirmation est fausse. 3 8) D après le tableau de valeurs, et. Autrement dit, a deux antécédents par sur { } : les nombres et. Pour autant, il convient de remarquer que l on ignore s il existe d autres antécédents de par sur [ ]. En définitive, a au moins deux antécédents par sur [ ]. L affirmation est vraie. 2 7

8 Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Représenter dans un repère orthonormé ( ) du plan la fonction définie sur par. Correction de l exercice 5 La fonction est définie sur par. Pour tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé ( ) du plan, il convient de trouver plusieurs points de coordonnées ( ) appartenant à puis de les relier afin de former une courbe harmonieuse. Pour ce faire, 1) calculons quelques images de (en choisissant arbitrairement différentes valeurs de ) 2) puis consignons les résultats dans un tableau de valeurs 3) puis plaçons les points de coordonnées ( ) dans le repère 4) puis relions ces points en formant une courbe harmonieuse 1 ère étape : Calculs d images par Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors Si, alors 2 e étape : Remplissage d un tableau de valeurs 3 e étape : Placement de points Il faut donc placer dans le repère orthonormé ( ) les points de coordonnées suivantes : ; ; ; ; ; ; ; ; et. 8

9 Remarque : Axe des ordonnées Les 3 premiers points de la liste ci-dessus ne sont ici pas visibles car leurs ordonnées sont trop grandes pour qu ils soient placés dans le repère choisi. Axe des abscisses 4 e étape : Tracé de la courbe représentative de la fonction Reste à relier les points placés en traçant une courbe harmonieuse. Remarque : La courbe représentée est une parabole ; elle est la représentation graphique d une fonction polynôme de degré 2 définie ici par sa forme canonique (avec, et réels tels que ). 9

10 Exercice 6 (4 questions) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur par. On note sa courbe représentative dans un repère du plan. 1) Le point appartient-il à? 2) Le point appartient-il à? 3) est le point de, d abscisse nulle. Quelle est l ordonnée de? 4) Existe-t-il un point de, d ordonnée? Si oui, lequel? Sinon, pourquoi? Correction de l exercice 6 Rappel : Appartenance d un point à une courbe Soit une fonction définie sur un ensemble et soit sa courbe représentative dans un repère du plan. Soit, un point du plan, de coordonnées avec, on a : si, alors si, alors si, alors si, alors 1) Vérifions si le point de coordonnées appartient à. Ainsi, donc. 2) Vérifions si le point de coordonnées appartient à. Or,. Ainsi, donc. 3) Calculons l ordonnée de. est un point d abscisse nulle donc a pour abscisse. 10

11 En outre, donc. Le point a donc pour ordonnée, c est-à-dire pour coordonnées. 4) Etudions l éventuelle existence d un point de, d ordonnée. Il existe un point de, d abscisse et d ordonnée, si et seulement si. Or, pour tout réel,. Ce résultat est absurde! Par conséquent, l équation n admet pas de solution. Il n existe donc pas de point de, d ordonnée. Remarque : Ci-dessous est représentée la fonction dans un repère orthonormé ( ) du plan. On observe alors que la courbe est toujours située strictement au-dessus de l axe des abscisses. Par conséquent, graphiquement, il ne peut pas exister de point de d ordonnée. 11

12 Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen Ecrire un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( représentative de la fonction définie sur par. ) appartient ou non à la courbe Correction de l exercice 7 Ecrivons avec AlgoBox un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( non à la courbe représentative de la fonction définie sur par. ) appartient ou 1 VARIABLES 2 x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 AFFICHER "Soit un point M de coordonnées (x ; y)." 6 AFFICHER "Saisir l'abscisse x de M : " 7 LIRE x 8 AFFICHER x 9 AFFICHER "Saisir l'ordonnée y de M : " 10 LIRE y 11 AFFICHER y 12 SI (F1(x)==y) ALORS 13 DEBUT_SI 14 AFFICHER "Le point M appartient à la courbe représentative de f." 15 FIN_SI 16 SINON 17 DEBUT_SINON 18 AFFICHER "M n'appartient pas à la courbe représentative de f." 19 FIN_SINON 20 FIN_ALGORITHME Fonction numérique utilisée : F1(x)=pow(x,3)-2*pow(x,2)+3*x-1 pow(x,n) correspond à la puissance n ème de X, c est-à-dire à X n Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox ***Algorithme lancé*** Soit un point M de coordonnées (x ; y). Saisir l'abscisse x de M : 3 Saisir l'ordonnée y de M : 17 Le point M appartient à la courbe représentative de f. ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Soit un point M de coordonnées (x ; y). Saisir l'abscisse x de M : -2 Saisir l'ordonnée y de M : -22 M n'appartient pas à la courbe représentative de f. ***Algorithme terminé*** Remarque : Il suffit de modifier l expression de la fonction F1 pour pouvoir tester l appartenance ou non d un point de coordonnées (x ; y) à la courbe représentative de F1, sans avoir à changer le reste de l algorithme. 12