Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré

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1 Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Extrait du programme : I. Forme canonique d un polynôme du second degré Définition : Dire qu une fonction f définie sur est une fonction polynôme de degré signifie qu il existe trois nombres réels a (a0), b et c tels que pour tout x : f ( x ) = ax² + bx + c L écriture ax² + bx + c est la forme développée de f ( x ). Exemple : si g ( x ) = 3x² 4x + alors g fonction polynôme de degré avec a = 3 ; b = 4 et c = Si h ( x ) = x² + 7 alors h fonction polynôme de degré avec a =, b = 0 et c = 7 Représentation graphique : Dans un repère orthogonal, la représentation graphique c f d une fonction polynôme de degré est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées. Le sommet S de la parabole est le point d intersection de la parabole avec son axe de symétrie. Si le sommet S a pour coordonnées (;alors : = f ( ) et la fonction f atteint son extremum en. L axe de symétrie de la parabole a pour équation x = Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré définie par f ( x ) = ax² + bx + c. Il existe deux nombres réels et tels que, pour tout réel x, f ( x ) = a ( x ) ² + L écriture a ( x ) ² + est appelée la forme canonique de f ( x ). ( ;) sont alors les coordonnées du sommet S de la parabole c f. est l extremum de f et on montre que = b a

2 Propriété : Sens de variation Si a > 0 Si a < 0 x + x + f (x) f (x) Point-méthode 5 : Utiliser la forme canonique Considérons les fonctions f ( x ) = x² + 4x 3 et g ( x ) = x² + 5x 3. Vérifier que la forme canonique de f est : ( x ) ² +. Déterminer la forme canonique de g 3. Construire alors le tableau de variation de f et de g et préciser les extremums des fonctions.. Pour montrer que f ( x ) = ( x ) ² +, il suffit de développer la forme donnée dans l énoncé et vérifier qu elle est bien égale à la forme développée de départ. Attention, il ne faut cependant pas commencer par écrire l égalité! Ne jamais mettre f ( x )= au début! ( x ) ² + = ( x² 4x + 4 ) + = x² + 4x 4 + = x² + 4x 3 = f ( x ) On a donc pour la fonction f : a =, = et =. Si la forme canonique n est pas donnée dans l énoncé, on la retrouver en calculant les valeur de et de. g ( x ) = x² + 5x 3 donc a =, b = 5 et c = 3 = b a = 5 = 5 = g ( ) = g ( 5 ) = = 3 3. Une fois que les trois valeurs de a, et sont identifiées, on peut connaitre le sens de variation ainsi que la valeur de l extremum (= ) et la valeur de x pour laquelle il est atteint (= )

3 Pour f, a < 0 donc Pour g, a > 0 donc x + x -5 + f (x) g(x) 3 Ainsi, l extremum de f est un maximum qui vaut pour x = et l extremum de g est un minimum qui vaut 9 pour x = 5. Point-méthode 6 : Faire le lien entre forme canonique et représentation graphique Par lecture graphique, donner la forme canonique de la fonction du nd degré f représentée ci-contre. f étant une fonction du nd degré, il existe trois réels a, et tels que pour tout réel x, f ( x ) a = ( x ) ² + On recherche la valeur de et en lisant les coordonnées du sommet de la parabole. Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (-3 ;) Donc = 3 et =, ainsi on peut écrire f ( x ) = a( x + 3 ) ² + On trouve un autre point dont on peut lire distinctement les coordonnées (valeurs entières) pour trouver la valeur de a. A l aide du graphique, on lit : f ( ) = 4 Or f ( ) = a ( + 3 ) ² + = 4 4a + = 4 4a = et donc a = (on retrouve a > 0, ce qui est cohérent avec le sens de la parabole) Par conséquent, f ( x ) = ( x + 3 ) ² + pour tout réel x

4 II. Equation du second degré. Définitions On appelle équation du second degré, une équation de la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des réels et a0. Lorsque l équation ax² + bx + c = 0 admet des solutions, celles-ci sont appelées les racines du polynôme ax² + bx + c. On appelle discriminant du polynôme ax² + bx + c le réel noté et défini par : = b² 4ac Exemple : L équation x² x est une équation du second degré dont les solutions sont et On dit alors que le trinôme x² x admet deux racines : et. Le discriminant du trinôme x² x est = b² ac 5² - 4 = 9. Résolution de l équation ax² + bx + c = 0 et factorisation du trinôme signe de solutions l équation a x² + b x + c = 0 factorisation de a x² + b x + c < 0 pas de solution f (x) ne se factorise pas = 0 une solution double : x 0 = b a f (x) = a (x x 0 )² deux solutions : > 0 = b a ; x = b + a f (x) = a (x ) (x x ) Point-méthode 7 : Résoudre une équation du second degré Résoudre chacune des équations suivantes : a. 4x² + 8x 5 = 0 b. x + x² + = 0 c. 4x² + 9 = x. On réécrit l équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et on identifie les coefficients. On calcule et les solutions s il y en a en utilisant les formules. 3. On conclut en écrivant l ensemble solution. a. 4x² + 8x 5 = 0 a = 4, b = 8 et c = 5 Donc = 8² 4 4 ( 5 ) = 44 > 0 donc il y a deux solutions : = b a Ainsi s= = ; = 5 et x = b + a = =

5 b. x + x² + = 0 x² x + = 0 a =, b = et c = Donc = ( ) ² 4 = 7 < 0 donc l équation n a pas de solution. s= c. 4x² + 9 = x 4x² x + 9 = 0 a = 4, b = et c = 9 Donc = ( ) ² = 0 = 0 donc l équation a une solution double : x 0 = b a = 8 = 3 Donc s= 3 III. Signe d un trinôme On note f une fonction polynôme de degré définie par : f ( x ) = ax² + bx + c On note (P) la parabole qui représente f dans le repère orthogonal (O ;I ;J) Dessin lecture Signe <0 La parabole (P) est entièrement située audessus de l axe des abscisses x + f ( x ) + a>0 =0 La parabole (P) est située au-dessus de l axe des abscisses qu elle touche au point d abscisse x 0 x x 0 + f ( x ) >0 La parabole (P) coupe l axe des abscisses en deux points distincts d abscisses et x x x + f ( x ) <0 La parabole (P) est entièrement située audessous de l axe des abscisses x + f ( x ) a<0 =0 La parabole (P) est située au-dessous de l axe des abscisses qu elle touche au point d abscisse x 0 x x 0 + f ( x ) La parabole P coupe l axe des abscisses en deux points distincts d abscisses x et x x x + f ( x )

6 On peut alors résumer les tableaux de signes de ax² + bx + c en fonction du signe de a : < 0 = 0 > 0 x x + - x x + signe signe signe signe signe f x signe de a de a 0 de a de a 0 de a 0 de a Point-méthode 8 : Résoudre une inéquation du second degré Résoudre l inéquation : x² x6. On fait en sorte d avoir 0 d un côté de l inéquation x² x 6 x² x 6 0. On commence par chercher les racines du polynôme x² x 6 a =, b =, c = 6 = ( ) ² 4 ( 6 ) = 5 >0 donc il y a deux racines : = 5 = x = + 5 = 3 3. On construit le tableau de signe en fonction du signe de a : ici a > 0 donc : x f ( x ) On n oublie surtout pas de conclure! Il faut bien identifier quel est le signe que nous cherchons, puis écrire les solutions sous forme d intervalle en faisant attention aux crochets. x² x 6 0 : s= ]- ;-] [3 ;+[ (ici les crochets sont fermés car l inégalité est large (supérieur OU EGAL)) Point-méthode 9 : Résoudre une inéquation avec l inconnue au dénominateur Résoudre l inéquation : x² + x + 3. On fait en sorte d avoir 0 d un côté de l inéquation, et uniquement une fraction de l autre : x² + x + 3 x² + x ( x² + x + 3 ) 0 x² + x x² x 3 0 On fait attention au devant la parenthèse x² + x + 3 x² x x² + x On s occupe de trouver les racines de chacun des polynômes du numérateur puis du dénominateur : x² x : = ( ) ² 4 ( ) = >0 donc racines distinctes : = = 3 = 3 et x = + = + 3

7 x² + x + 3 : = ² 4 ( ) 3=6 > 0 donc racines distinctes : = 4 = 3 x = + 4 = (3 et - seront donc les valeurs interdites) 3. On crée un tableau avec les 4 racines, en faisant attention à l ordre. Une ligne pour chaque polynôme, puis une ligne pour le quotient. On peut mettre dès le début les 0 et surtout les valeurs interdites (là où le dénominateur s annule). x x² x x² + x x² x x² + x Car a > 0 4. On n oublie pas de conclure avec l ensemble des solutions en ayant identifié le signe voulu, et en faisant attention aux crochets, notamment les mettre toujours ouverts pour les valeurs interdites : x² x 0 s= ] ; 3] [ + 3 ;3[ x² + x + 3

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