Ch. 03 MATRICES et SUITES

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1 Ch 03 MATRICES et SUITES I Notion de matrice Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes, de taille (n, p) ou n p Notation La matrice M ci-dessous peut être notée M = (a ij ) où a ij désigne le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ième colonne a 11 a 1 j a 1p M = a i1 a ij a ip a n1 a nj a np Remarques Ø Si n = p, alors M est une matrice carrée d ordre n Ø Si p = 1, alors M est une matrice ou vecteur colonne Ø Si n = 1, alors M est une matrice ou vecteur ligne Ø La matrice carrée d ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle : elle se note 0 n Ø Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale Ø La matrice diagonale d ordre n dont les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est Propriété appelée matrice identité d ordre n et est notée I n : I 2 = I = Dire que deux matrices sont égales signifie que : Elles ont la même taille I 4 = Les nombres qui occupent la même position dans chaque matrice sont égaux deux à deux Ch 03 Matrices et Suites 1

2 II Opérations sur les matrices Addition, différence de deux matrices A et B désignent deux matrices de même format La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice obtenue en additionnant deux à deux les coefficients qui occupent la même position La différence des matrices A et B, notée A - B, est la matrice obtenue en soustrayant deux à deux les coefficients qui occupent la même position A = et B = Calculer A + B et A B Ch 03 Matrices et Suites 2

3 Multiplication d une matrice par un réel Le produit d une matrice A par un réel k est la matrice, notée ka, obtenue en multipliant chaque coefficient de A par k A = Calculer 3A Produit de deux matrices Le produit d une matrice A de dimension m p par une matrice B de dimension p n est une matrice, notée A B, de dimension m n ) A = 1 4 et B = ) A = et B = Calculer A B Ch 03 Matrices et Suites 3

4 Propriétés (admises) n désigne un entier naturel non nul A, B, C sont trois matrice carrées d ordre n Ø Distributivité : (A + B) C = A C + B C C (A + B) = C A + C B Ø Associativité : A (B C) = (A B) C Ø Multiplication par un réel k : k (A B) = (k A) B = A (k B) Ø Matrice identité : A I n = I n A = A III Matrice unité ou matrice identité d ordre n n désigne un nombre entier naturel, n 2 La matrice unité I n est la matrice carrée d ordre n qui contient des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs Pour toute matrice carrée A d ordre n, A I n = I n A = A IV Matrice inverse d une matrice carrée A est une matrice carrée d ordre n S il existe une matrice carrée A' d ordre n telle que A' A = I n, on dit que A' est la matrice inverse de A et on la note A 1 La matrice A 1 est unique si elle existe et A A 1 = A 1 A = I n Le calcul de A 1 se fait habituellement à la calculatrice A = Calculer A Ch 03 Matrices et Suites 4

5 V Résolution d un système d inéquations 2x 3y =1 (S) est le système de deux équations à deux inconnues 5x + 7y = 3 Avec A = , X = x y et B = 1 Le système (S) s écrit : A X = B 3 Propriété A est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A 1 Le système d équations linéaires dont l écriture matricielle est A X = B admet une solution unique : X = A 1 B Il est important de bien respecter le sens des opérations Résoudre le système à trois inconnues x + y z = 2 x + y + z = 4 2x y + z = 5 VI Puissance n-ième d une matrice carrée Soit un entier naturel n et soit une matrice carré A La puissance n-ième de A, est la matrice : Remarque A n +1 = A n A = A A n A n = A A A A n facteurs Conséquence Pour tous entiers naturels n et p et pour toute matrice carrée A : A n A p = A n + p Ch 03 Matrices et Suites 5

6 Cas de matrices diagonales a a 2 Soit une matrice diagonale A d ordre k : A = Pour tout entier naturel n : a k n a n 0 a A n = 2 0 n 0 0 a k Dans le cas général, il n existe pas de formule pour calculer A n, il est possible d utiliser le raisonnement par récurrence ou des propriétés particulières de la matrice A VII s d études d une suite de matrices Théorème Soit une matrice carrée A dont tous les coefficients sont positifs ou nuls (1) Si les sommes des coefficients de chaque colonne de A sont égales à 1, alors : Il existe une matrice colonne U à coefficients positifs ou nuls (unique si tous les coefficients de A sont non nuls), de somme égale à 1, telle que A U = U Pour toute matrice colonne U 0 à coefficients positifs ou nuls, de somme égale à 1, on définit la suite (U n ) sur IN par U n +1 = A U n Si la suite de matrices (U n ) converge alors sa limite U vérifie : A U = U (la convergence est assurée si aucun coefficient de A n est nul) (2) Si les sommes des coefficients de chaque colonne de A sont strictement inférieures à 1, alors la suite (A n ) converge vers la matrice nulle Ch 03 Matrices et Suites 6