Chaque fois qu on est confronté à une situation d évolutions successives d une grandeur de t%, on peut définir une suite géométrique de raison 1+ t
|
|
- Camille Jacques
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu une suite (u n ) est géométrique signifie qu il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, u n+1 = qu n Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique. ÉVOLUTION EN POURCENTAGE Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1+ t 100. Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1 t 100. Chaque fois qu on est confronté à une situation d évolutions successives d une grandeur de t%, on peut définir une suite géométrique de raison 1+ t t (augmentation) ou (diminution) EXEMPLES 1. Un capital de C est placé au taux d intérêt composé de 1,5% par an. On note C n le capital disponible au bout de n années alors : ( C n+1 = 1+ 1,5 ) C n = 1,015 C n 100 Ainsi, la suite (C n ) est une suite géométrique de premier terme C 0 = 2000 et de raison q=1, Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4% par an. En 2012, la quantité de rejets était de tonnes. On note r n la quantité de rejets l année 2012+n d où : ( r n+1 = 1 4 ) r n = 0,96 r n 100 Ainsi, la suite (r n ) est une suite géométrique de premier terme r 0 = et de raison 0,96. 2 PROPRIÉTÉ 1 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u n = u 0 q n EXEMPLE L objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à tonnes (soit une réduction de 40%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans? Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : r 10 = , Avec un réduction de 4 % par an, en 2022 l objectif du groupe industriel ne sera pas atteint. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 16
2 Lycée JANSON DE SAILLY 3 PROPRIÉTÉ 2 Si (u n ) une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n et pour tout entier p, u n = u p q n p 4 MONOTONIE Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 donc : u n+1 u n = u 0 q n+1 u 0 q n = u 0 q n (q 1) La monotonie de la suite dépend du signe de u 0, q n et (q 1) Si q<0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n est pas monotone. Si q>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u 0 (q 1). Si q>1 Si 0<q<1 Si u 0 > 0, alors la suite (u n ) est croissante Si u 0 < 0, alors la suite (u n ) est décroissante Si u 0 > 0, alors la suite (u n ) est décroissante Si u 0 < 0, alors la suite (u n ) est croissante u n n u n n u n n u n n Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants THÉORÈME 1 Soit q un réel non nul. Si q<0 alors la suite (q n ) n est pas monotone. Si q>1 alors la suite (q n ) est strictement croissante. Si 0<q<1 alors la suite (q n ) est strictement décroissante. Si q=1 alors la suite (q n ) est constante. THÉORÈME 2 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u 0 non nul Si q<0 alors la suite (u n ) n est pas monotone. Si q>0 et u 0 > 0 alors la suite (u n ) a le même sens de variation que la suite (q n ). Si q>0 et u 0 < 0 alors la suite (u n ) a le sens de variation contraire de celui de la suite (q n ). A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 16
3 Lycée JANSON DE SAILLY 5 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u 0 + u 1 + +u n = Cette formule peut se retenir de la façon suivante : n i=0 ( 1 q n+1) u i = u 0 1 q La somme S de termes consécutifs d une suite géométrique de raison q 1 est : S=premier terme 1 qnombre de termes 1 q II LIMITE D UNE SUITE On étudie le comportement d une suite (u n ) quand n prend de grandes valeurs. 1 LIMITE INFINIE DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à + quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n =+ n + Concrètement, une suite (u n ) tend vers + si u n est aussi grand que l on veut dès que n est suffisamment grand. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE On a représenté ci-dessous une suite (u n ) ayant une limite égale à+ u n A Pour tout entier n p, u n > A. p est le seuil à partir duquel u n > A p n A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 16
4 Lycée JANSON DE SAILLY DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n = n + 2 LIMITE FINIE DÉFINITION Soit (u n ) une suite définie sur Æ et l un réel. 1. Dire que la suite (u n ) admet pour limite le réel l signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]l r; l + r[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n =l n + 2. Une suite qui admet pour limite un réel l est dite convergente. Autrement dit, une suite (u n ) est convergente vers un réel l si tous les termes de la suite à partir d un certain rang p peuvent être aussi proches que voulu del. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d un certain rang p, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d équation y=l r et y=l+r. u n l+r l l r Le rang p est le seuil à partir duquel «u n est à une distance de l inférieure à r» p n PROPRIÉTÉ La suite (u n ) converge vers un réel l si, et seulement si, la suite (u n ) l est convergente vers un 0. REMARQUE Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général ( 1) n prend alternativement les valeurs 1 et 1. Elle n admet pas de limite. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 16
5 3 LIMITES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE THÉORÈME (admis) Soit q un nombre réel : Si 1<q<1 alors la suite géométrique de terme général q n converge vers 0 : lim n + qn = 0. Si q>1 alors la suite géométrique de terme général q n a pour limite + : lim n + qn =+. Si q< 1 alors la suite géométrique de terme général q n n admet pas de limite finie ou infinie. REMARQUE Pour q = 1, la suite (q n ) est constante et égale à 1 donc convergente. Pour q = 1, la suite (q n ) prend alternativement les valeurs 1 et 1 suivant la parité de n, elle n admet pas de limite. COROLLAIRE Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 non nul et de raison q strictement positive. Si 0<q<1 alors la suite (u n ) converge et lim n + u n = 0. Si q=1 alors la suite (u n ) est constante et égale à u 0. Si q>1 alors la suite (u n ) admet une limite infinie avec : lim u n = si u 0 < 0 et lim u n =+ si u 0 > 0 n + n + RECHERCHE D UN SEUIL À L AIDE D UN ALGORITHME EXEMPLE 1 Soit (r n ) la suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme r 0 = Comme 0<0,96<1 la suite (r n ) est décroissante et converge vers 0 : lim n ,96n = 0. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, ,96 n INITIALISATION : A=50000 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A > FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 0,96 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I Initialisation : A=50000 I = 0 PROGRAMME TEXAS CASIO PROGRAM : SEUIL ===== SEUIL ===== : A A : 0 I 0 I : While A > While A > : I + 1 I I + 1 I : 0.96*A A 0.96*A A : End WhileEnd : Disp I I Traitement : Tant que la condition A>30000 est vraie, on effectue la suite d instructions situées à l intérieur de la boucle "TANT_ QUE" et "FIN TANT_ QUE" A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 16
6 A > ? VRAI VRAI VRAI VRAI FAUX I = 1 A=48000 I = 2 A=46080 I = 13 A= 29410,... SORTIE BOUCLE TANT QUE Sortie : La calculatrice affiche 13. Donc pour tout entier n 13, ,96 n EXEMPLE 2 Soit (u n ) la suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme u 0 = ,015> 1 et u 0 > 0 donc la suite (u n ) est croissante et lim n ,015n =+. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur à C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, ,015 n > 3000 INITIALISATION : A=2000 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A 3000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,015 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I La calculatrice affiche 28. Donc pour tout entier n 28, ,015 n > III SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Soient a et b deux réels. La suite (u n ) définie pour tout entier n, par la relation de récurrence u n+1 = au n + b et de terme initial u 0 est une suite arithmético-géométrique REMARQUE Si a=1 la suite est arithmétique. Si b=0 la suite est géométrique. Dans les autres cas, la suite n est ni arithmétique ni géométrique. 2 ÉTUDIER UNE SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE a et b sont deux réels tels que a 1 et b 0. (u n ) est la suite arithmético-géométrique définie par u 0 et pour tout entier n, u n+1 = au n + b. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE On trace la courbe représentative de la fonction affine f : x ax + b et la droite d équation y = x A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 16
7 y a<0 y a>0 y=ax+b 1 y=ax+b 0 1 u 1 u 3 u 5 u 7 l u 8 u 6 u 4 u 2 u 0 x 0 1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 l x Le graphique permet d obtenir un certain nombre de conjectures à propos de la monotonie ou de la convergence de la suite. 1 UNE SUITE AUXILIAIRE PROPOSITION Soit l le réel tel que l=al+b. La suite (v n ) définie pour tout entier n, par v n = u n l est géométrique. PREUVE Pour tout entier n, v n+1 = u n+1 l = au n + b l = au n + b (al+b) = au n al = a (u n l) Ainsi, pour tout entier n, v n = a v n donc (v n ) est une suite géométrique de raison a. CONSÉQUENCE (v n ) est une suite géométrique de raison a et v 0 = u 0 l donc pour tout entier n, v n =(u 0 l) a n. Comme v n = u n l u n = v n +l, on en déduit que : Pour tout entier n, u n =l+a n (u 0 l). EXEMPLE Chloé dépose 1000 C sur un compte d épargne rémunéré au taux mensuel de 0,2% et choisit d y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 250 C. On note u n le montant, en euros, du capital acquis au bout de n mois. 1. Exprimer u n+1 en fonction de u n. Le coefficient multiplicateur associé à un taux d intérêt de 0,2% est 1,002. Donc pour tout entier n, u n+1 = 1,002 u n Soit (v n ) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n Montrer que v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout entier n, v n+1 = u n = 1,002 u n = 1,002 (u n ) = 1,002 v n A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 16
8 Ainsi, (v n ) est une suite géométrique de raison 1,002 et de premier terme v 0 = = Exprimer u n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison 1,002 et de premier terme v 0 = donc pour tout entier n, v n = ,002 n. Donc pour tout entier n, u n = ,002 n Étude de la suite (u n ). a) Variation Pour tout entier n, u n = ,002 n Donc pour tout entier n, u n+1 u n = ( ,002 n ) ( ,002 n ) = ,002 n ,002 n = ,002 n (1,002 1) = 252 1,002 n D où u n+1 u n > 0. Par conséquent, la suite (u n ) est strictement croissante. b) Limite Comme 1,002 > 1, lim n + 1,002n =+ donc lim n ,002n =+. c) Combien de mois sont nécessaires pour que le montant du capital disponible dépasse C? On cherche à déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout entier n n 0, u n > L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite (u n ) est supérieur à A=1000 ; I = 0; TANT_QUE A FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,002 A+250 ; FIN TANT_QUE Afficher I La calculatrice affiche 53. Donc le capital disponible dépassera C au bout de 53 mois. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 8 sur 16
9 EXERCICE 1 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 16 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 3 4 u n. PARTIE A 1. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? b) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. c) Étudier la monotonie de la suite (u n ). 2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=0,75x et la droite D d équation y=x. y D A1 M u 1 u 0 x a) Construire sur le graphique les termes de la suite u 2, u 3,,u 10. b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. On considère l algorithme suivant : Les variables sont l entier naturel N et le réel U. Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 16 Traitement : TANT QUE U > 0,01 Affecter à N la valeur N+ 1 Affecter à U la valeur 0,75 U Sortie : FIN TANT QUE Afficher N A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 9 sur 16
10 Par rapport à la suite (u n ), quelle est la signification de l entier N affiché? PARTIE B On note S n la somme des n+1 premiers termes de la suite u n : 1. Calculer S 4. S n = n k=0 u k = u 0 + u 1 + u u n. 2. Recopier et compléter l algorithme suivant pour qu il affiche la valeur de la somme S n pour un n donné. Les variables sont l entier naturel N, les réels U et S. Initialisation : Affecter à U la valeur... Affecter à S la valeur... Entrée : Saisir la valeur de l entier naturel N Traitement : POUR i variant de 1 à N FIN POUR Sortie : Afficher... U prend la valeur... S prend la valeur a) Montrer que pour tout entier n, S n = 64 ( 1 0,75 n+1). b) Vers quel réel tend S n quand n tend vers +? EXERCICE 2 Soit (u n ) la suite géométrique définie par : u 0 = 1 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 8 5 u n. 1. a) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. b) Étudier le sens de variation de la suite (u n ). 2. a) Dans le plan muni d un repère orthonormé, utiliser les droites d équations y = x et y = 1,6x pour construire les huit premiers termes de la suite (u n ). b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n On considère la suite (S n ) définie pour tout entier n par a) Calculer S 4. b) Exprimer S n en fonction de n. c) La suite (S n ) est-elle convergente? n 1 S n = k=0 u k = u 0 + u 1 + u u n 1. EXERCICE 3 Le premier jour ce chaque mois on effectue un versement de 300 C sur un compte épargne dont le taux d intérêt mensuel est égal à 0,1 %. Quelle est la somme disponible au terme du 12 e mois? EXERCICE 4 En 2012, la population d une ville était de habitants. Une étude portant sur l évolution démographique, a permis d établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et nouvelles personnes emménagent. On note u n le nombre de milliers d habitants de cette ville l année 2012+n; on a donc u 0 = 40. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 10 sur 16
11 1. Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013? 2. Justifier que pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,92 u n On considère l algorithme suivant : Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 40 Traitement : Tant_que U 44 : Affecter à N la valeur N+ 1 Affecter à U la valeur 0,92 U+ 4 Fin Tant_que Sortie : Afficher N Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l algorithme? Interpréter ce résultat. N U Test U 44 Vrai On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 50. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = ,92 n. 5. Étudier la monotonie de la suite u n. 6. Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter ce résultat. EXERCICE 5 Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85 % des abonnés renouvellent leur abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement. On note a n le nombre de milliers d adhérents pour l année 2010+n; on a donc a 0 = Pour tout entier naturel n, exprimer a n+1 en fonction de a n. 2. On considère l algorithme suivant : Variables : n et S sont des entiers naturels A est un réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de S Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à A la valeur 40 Traitement : Tant_que A S : Affecter à n la valeur n+1 Affecter à A la valeur 0,85 A+12 Fin Tant_que Sortie : Afficher n L utilisateur saisit en entrée le nombre S = 65. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie? Interpréter ce résultat. n A Test A S Vrai Soit la suite (u n ) définie par u n = a n 80 pour tout n 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 11 sur 16
12 a) Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, a n = ,85 n. c) Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 90 mille exemplaires? EXERCICE 6 (D après sujet bac 2016) Un centre de vacances possède une piscine de 600 m 3 soit litres. L eau du bassin contient du chlore qui joue le rôle de désinfectant. Toutefois le chlore se dégrade et 25 % de celui-ci disparaît chaque jour, en particulier sous l effet des ultra-violets et de l évaporation. Le 31 mai à 9 h, le responsable analyse l eau du bassin à l aide d un kit distribué par un magasin spécialisé. Le taux de chlore disponible dans l eau est alors de 1,25 mg/l (milligrammes par litre). DOCUMENT Réglementation des piscines publiques Paramètres contrôlés Seuils de qualité réglementaire Incidences sur la qualité de l eau < 2 mg/l : sous chloration Risque de Au minimum 2 mg/l Présence de Chlore prolifération bactérienne dans l eau > 4 mg/l : surchloration Irritation de la Au maximum 4 mg/l peau Source : Agence Régionale de Santé À partir du l er juin pour compenser la perte en chlore, la personne responsable de l entretien ajoute, chaque matin à 9 h, 570 g de chlore dans la piscine. Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsable souhaite savoir si cet apport journalier en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques. PARTIE A 1. Pour tout entier naturel n on note u n la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l eau du bassin le n ième jour suivant le jour de l analyse, immédiatement après l ajout de chlore. Ainsi u 0 est la quantité de chlore le 31 mai à 9 h et u 1 est la quantité de chlore le 1 er juin à 9 h après l ajout de chlore. a) Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans l eau du bassin le 31 mai à 9 h est u 0 = 750. Au regard des recommandations de l agence régionale de santé, le responsable pouvait-il donner l accès à la piscine le 31 mai? b) Montrer que u 1 = 1132,5. c) Justifier que pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,75u n d) La suite (u n ) est-elle géométrique? 2. Soit l algorithme ci-dessous : Variables u : un nombre réel N : un nombre entier naturel k : un nombre entier naturel Initialisation Saisir la valeur de N u prend la valeur 750 Traitement Pour k allant de 1 à N u prend la valeur 0,75u+570 Fin du Pour Sortie Afficher u A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 12 sur 16
13 a) Quel est le rôle de cet algorithme? b) Recopier et compléter le tableau suivant, par des valeurs exactes, en exécutant cet algorithme «pas à pas» pour N = 3 : Variables Initialisation Etape 1 Etape 2 Etape 3 u 750 Au regard des recommandations de l agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte? c) Calculer une valeur approchée à 10 3 près de la quantité de chlore le 15 ième jour juste après l ajout de chlore. PARTIE B Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On note d n l écart de quantité de chlore d un jour à l autre en grammes. Pour tout entier naturel n, on a d n = u n+1 u n. 1. a) Calculer d 0, d 1 et d 2. On donnera une valeur exacte. b) Justifier que d 0, d 1 et d 2 semblent être les termes d une suite géométrique. 2. Vérifier que u n+1 u n = 0,25u n Démontrer que la suite (d n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. a) Justifier que d n = 382,5 0,75 n. b) En déduire que pour tout entier naturel n, on a u n = ,75 n. c) Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter le résultat trouvé. EXERCICE 7 (D après sujet bac Polynésie 2013) On considère la suite numérique (u n ) définie par : u 0 = 8 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,4u n Calculer u 1 et u 2. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d écran sur laquelle les termes u 1 et u 2 ont été effacés est donnée ci-dessous. A B 1 n u(n) , , , , , , Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas? 3. En utilisant cette copie d écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite (u n )? 4. On considère l algorithme suivant : A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 13 sur 16
14 Les variables sont l entier naturel N et le réel U. Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8 Traitement : TANT QUE U 5>0,01 Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur 0,4U+3 Fin TANT QUE Sortie : Afficher N Par rapport à la suite (u n ), quelle est la signification de l entier N affiché? 5. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 5. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite (v n ). d) Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3? Pourquoi? EXERCICE 8 (D après sujet bac Antilles Guyane 2015) En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l opérateur perd 10 % de ses clients, mais regagne dans le même temps nouveaux clients. 1. a) On donne l algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l on obtient avec cet algorithme. VARIABLES : k, NbClients TRAITEMENT : Affecter à k la valeur 0 Affecter à NbClients la valeur Tant que k<8 Affecter à k la valeur k+1 Affecter à NbClients la valeur 0,9 NbClients Afficher NbClients Fin Tant que b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour k de 0 jusqu à 5. k NbClients 2. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite (U n ) définie pour tout entier naturel n, par : { U0 = 1000 U n+1 = 0,9U n Le terme U n donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l année 2010+n. Pour étudier la suite (U n ), on considère la suite (V n ) définie pour tout entier naturel n par V n = U n 600. a) Montrer que la suite (V n ) est géométrique de raison 0,9. b) Déterminer l expression de V n en fonction de n. c) Montrer que pour tout entier naturel n, on a U n = 400 0,9 n d) Montrer que la suite (U n ) est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème. 3. À la suite d une campagne publicitaire conduite en 2013, l opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients. Chaque année à compter de l année 2014, l opérateur ne perd plus que 8 % de ses clients et regagne nouveaux clients. On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d années nécessaire pour que l opérateur retrouve au moins un million de clients. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 14 sur 16
15 EXERCICE 9 (D après sujet bac Centres étrangers 2015) Depuis le 1 er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl Aime est chargée de l exploitation et de l entretien du parc de vélos. La commune disposait de 200 vélos au 1 er janvier La société estime que, chaque année, 15 % des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service. On modélise cette situation par une suite (u n ) où u n représente le nombre de vélos de cette commune au 1 er janvier de l année n. 1. Déterminer le nombre de vélos au 1 er janvier Justifier que la suite(u n ) est définie par u 0 = 200 et, pour tout entier naturel n, par u n+1 = 0,85u n On donne l algorithme suivant : VARIABLES : N entier U réel INITIALISATION : N prend la valeur 0 U prend la valeur 200 TRAITEMENT : Tant que N < 4 U prend la valeur 0,85 U+ 42 N prend la valeur N+ 1 Fin Tant que SORTIE : Afficher U a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l unité. Quel nombre obtient-on à l arrêt de l algorithme? U 200 N Condition N < 4 Vrai b) Interpréter la valeur du nombre U obtenue à l issue de l exécution de cet algorithme. 4. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier n par v n = u n 280. a) Montrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v 0 = 80. b) Pour tout entier naturel n, exprimer v n en fonction de n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a u n = 80 0,85 n d) Calculer la limite de la suite (u n ) et interpréter ce résultat. 5. La société Bicycl Aime facture chaque année à la commune 300 C par vélo en circulation au 1 er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1 er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (u n ) étant exprimé avec un nombre entier. EXERCICE 10 En raison de l évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d eau. On remplit ce bassin avec 90 m 3 d eau et, pour compenser la perte due à l évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m 3 d eau dans le bassin. 1. Calculer le volume d eau contenu dans ce bassin au bout de deux semaines. 2. On note u n le nombre de m 3 d eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines. Exprimer u n+1 en fonction de u n. 3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 80. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = ,97 n. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 15 sur 16
16 4. Étudier la monotonie de la suite u n. 5. Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter ce résultat. EXERCICE 11 (D après sujet bac Pondichéry 2014) Une association décide d ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le 1 er janvier 2013 avec 115 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier d une année restent présents le 1 er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s intéresse au nombre d oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite(u n ) admettant pour premier terme u 0 = 115, le terme u n donnant une estimation du nombre d oiseaux l année n. 1. Calculer u 1 et u 2. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats? 2. Les spécialistes déterminent le nombre d oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier de chaque année à l aide d un algorithme. a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le nombre d oiseaux présents au 1 er janvier de l année 2013+n. Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. Variables : Variables : Variables : U est un nombre réel U est un nombre réel U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers Début Début Début Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0,6 U à U Affecter 0,4 U à U Affecter 0,4 U+ 120 à U Fin Pour Fin Pour Fin Pour Afficher U Afficher U Afficher U Fin Fin Fin algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3 b) Donner, pour tout entier naturel n, l expression de u n+1 en fonction de u n. 3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 200. a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser v 0. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, u n = ,4 n. d) La capacité d accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant? Justifier la réponse. 4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1 er janvier. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1 er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l on suppose que l évolution du nombre d oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 16 sur 16
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailmathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailU102 Devoir sur les suites (TST2S)
LES SUITES - DEVOIR 1 EXERCICE 1 L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours d'une année. Pierre possède 500 euros d'économies le 1 er janvier. Il décide
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailLes suites numériques
Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailCours d algorithmique pour la classe de 2nde
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détail= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailTerminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader
Terminale STMG O. Lader Table des matières Interrogation 1 : Indice et taux d évolution........................... 2 Devoir maison 1 : Taux d évolution................................ 4 Devoir maison 1
Plus en détailmathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques SÉRIE ES ANNALES DES SUJETS DE MATHÉMATIQUES SESSION 2013
mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
Plus en détailCHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de
HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailSuites numériques Exercices
Première L 1. Exercice 9 2 2. Exercice 10 2 3. Exercice 11 2 4. Exercice 12 3 5. Exercice 13 3 6. France, septembre 2001 4 7. Asie juin 2002 5 8. Centres étrangers juin 2002 6 9. Pondichery, juin 2001
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailTRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale
TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale Déterminer la mesure principale d un angle orienté de mesure! 115" Problèmatique : Appelons θ la mesure principale, θ et! 115" sont deux mesures du même angle,
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailMa banque, mes emprunts et mes intérêts
Ma banque, mes emprunts et mes intérêts Alexandre Vial 0 janvier 2009 Les intérêts cumulés Je place 00 e à 4% par an pendant un an. Donc au bout d un an, j ai 00 + 00. 4 = 00 00( + 4 ) =04 e. 00 Cependant,
Plus en détailCollecter des informations statistiques
Collecter des informations statistiques FICHE MÉTHODE A I Les caractéristiques essentielles d un tableau statistique La statistique a un vocabulaire spécifique. L objet du tableau (la variable) s appelle
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailLes fonction affines
Les fonction affines EXERCICE 1 : Voir le cours EXERCICE 2 : Optimisation 1) Traduire, pour une semaine de location, chaque formule par une écriture de la forme (où x désigne le nombre de kilomètres parcourus
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailRessources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée général et technologique Ressources pour la classe de terminale générale et technologique Exercices de mathématiques Classes de terminale S, ES, STI2D, STMG Ces documents
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES. EXEMPLE DE SUJET n 2
Exemple de sujet n 2 Page 1/7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES EXEMPLE DE SUJET n 2 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailLes Conditions aux limites
Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailLogistique, Transports
Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailSéquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire
Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFrédéric Laroche 2009
Frédéric Laroche 2009 Les Entiers Caractériser les nombres : peut-être avec des figures géométriques? En triangle * * * * * * * * * * --------------- Une formule 1 3 6 10 --- En carré * * * * * * * * *
Plus en détailStatistique : Résumé de cours et méthodes
Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFICHE 1 Fiche à destination des enseignants
FICHE 1 Fiche à destination des enseignants 1S 8 (b) Un entretien d embauche autour de l eau de Dakin Type d'activité Activité expérimentale avec démarche d investigation Dans cette version, l élève est
Plus en détailChapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations
Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailNouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes
Nouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes Pages 4 à 48 barèmes 4 à 48 donnes Condensé en une page: Page 2 barèmes 4 à 32 ( nombre pair de donnes ) Page 3 Tous les autres barèmes ( PV de
Plus en détail