COURS DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

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1 UNIVERSITE PROTESTANTE AU CONGO CENTRE CONGOLAIS-ALLEMAND DE MICROFINANCE COURS DE STATISTIQUE APPLIQUÉE Professeur Daniel MUKOKO Samba

2 La Value at Risk (VaR) 1. Intérêt de la VaR 2. Définition de la VaR 3. Méthodes de calcul de la VaR 4. Tests sur la VaR

3 Intérêt de la VaR: une mesure de risque, un indicateur simple et facilement interprétable Représentation du risque par un chiffre Comparaison possible entre différents instruments, portefeuilles, activités, entreprises Ce chiffre s exprime dans une unité facile à appréhender (généralement un montant dans une devise donnée) La VaR est devenu un standard en finance Proposé par JP Morgan dans les années 90 (RiskMetrics ) S est peu à peu étendu à l ensemble de la communauté financière Champ d application de plus en plus vaste : activités de marché, gestion de portefeuille, financement...

4 Intérêt de la VaR: une mesure de risque, un indicateur adapté aux différents types de risque Nécessité de pouvoir suivre de manière homogène l ensemble des risques liés à l activité financière Risque de marché : variation de la valeur d un portefeuille d actifs due aux mouvements de marché (prix, taux, volatilité ) Risque de crédit : non respect d un engagement par une contrepartie Risque de liquidité : impossibilité d échanger un titre sur les marchés Risque opérationnel : défaillance dans le traitement d une opération (erreur humaine, problème informatique, fraude ) Certaines opérations présentent parfois de manière indissociable plusieurs types de risque Par exemple, une firme peut être exposée à la fois à un risque de marché et un risque de crédit

5 Intérêt de la VaR: une mesure de risque, un outil de gestion du risque à tous les niveaux Au sein des institutions financières, la VaR est aussi bien utilisée par les opérationnelsque par la direction générale Calcul de la VaR sur une position ou sur l ensemble d un portefeuille Suivi du risque pour les différents métiers d une banque Allocation de fonds propres économiques en couverture des risques Mesure de la performance La VaR répond également à une exigence réglementaire sur le niveau de fonds propres des établissements bancaires Les directives du comité de Bâle (en 1995 puis en 2004) préconisent le recours de plus en plus systématique à des modèles internes fondés sur la VaR pour le calcul des risques d une banque

6 Définition de la VàR 6 Une mesure statistique du risque de perte: La VaR, c est la perte que risque de subir une position à un horizon donné et à un certain niveau de probabilité. Pr[L T < VaR] = p La perte L T est égale à la différence entre la valeur V 0 de la position aujourd hui et sa valeur V T à l horizon T (L T est une variable aléatoire). La VaR représente généralement un niveau de perte à court terme qu on atteint assez rarement. L horizon associé à la VaR est de quelques jours : 1 jour pour RiskMetrics, le comité de Bâle recommande 10 jours ouvrables. Le niveau de probabilité est typiquement de 95% ou 99%.

7 Représentation graphique de la VaR: Une surface de la densité de probabilité des pertes

8 Calcul de la VaR: Calculer la VaR, c est estimer la distribution de pertes Une fois que le distribution de pertes à horizon T est estimée, la VaR est donnée par le quantile au niveau de probabilité associé à la VaR 3 méthodes de calcul sont généralement utilisées pour estimer la distribution de pertes La méthode paramétrique (approche variance-covariance) La méthode historique La méthode de Monte Carlo

9 La méthode paramétrique La méthode paramétrique se déroule en 2 étapes La première étape consiste à décomposer les instruments de la position en fonction des différents facteurs de risque (indices actions, taux de différentes maturité, taux de change ) La distribution de probabilité des facteurs de risque doit être spécifiée et estimée Le cas de la loi normale Les rendements sont généralement distribués selon la loi normale, sous la forme de marche aléatoire. Le rendement: La moyenne est habituellement supposée égale à zéro.

10 Estimation de la volatilité Méthode de Moyenne Mobile Simple (SMA) Soit une série temporelle des rendements d un prix d actif donné Estimer la volatilité: Inconvénient: tous les rendements ont le même coefficient de pondération.

11 Estimation de la volatilité Méthode des Moyennes Mobiles Exponentiellement Pondérés (EWMA) On donne des coefficients de pondération plus petits aux rendements les plus anciens Estimer la volatilité: Puisque, la formule de EWMA devient Le paramètre est appelé facteur d oubli (decay factor)

12 Facteur d oubli Selon RiskMetrics, utiliser 0,94 pour les valeurs quotidiennes et 0,97 pour les valeurs mensuelles.

13 Estimation des Covariances et des Corrélations La covariance est estimée par: µ 1 En supposant que µ 1 et µ 2 sont nulles, la forme EWMA récursive s écrit: Par définition de la corrélation:

14 Exemple de calcul de la VaR: Cas d un seul actif Calculer la VaR à 1 jour à 95% de confiance d une position de pétrole brut de USD 100 million. 1). Calculer l exposition au risque de marché. Ici USD 100 million 2). Evaluer le risque de la position sachant que la volatilité journalière du prix du pétrole brut est de 2,5% et en supposant que les rendements sont normalement distribués. 3). VaR(95%, 1j)= $100 million* 1.65*2.5%=$4.125 million

15 Exemple de calcul: cas de deux actifs Supposons maintenant que la société pétrolière qui détient la position de USD 100 million de pétrole brut détient ses encaisses en monnaie vénézuélienne (Bolivar Vénézuélien), calculer la VaR (95%, 1j). 1) Calculer la VaR de la position. Le risque de marché du pétrole brut est de $4.125 million, soit BOL million au taux de change de 500 BOL/USD). Il faut aussi tenir compte du risque de change, dont la volatilité journalière est de 0,5%, le rendement sur le tux de change étant aussi supposé normalement distribué. Var (95%, 1j) FX position= 1.65*0.5%*500*100 million=bol million 2). Calculer la VaR totale. Celle-ci n est pas égale à la somme des VaR individuelles car il faut tenir compte de la corrélation, ici -0.25

16 La conversion des niveaux de confiance En utilisant le tableau pour la distribution normale standardisée on sait que la VàR à 95% correspond à fois l écart type; le VàR 99% correspond à fois l écart type; et ainsi de suite. Alors, pour convertir la VàR à 99% à une VàR à 95% on utilise: VaR(95%) = VaR(99%)

17 La transformation de l horizon du temps La VàR croît avec l horizon du temps La variance des rendements sur T jours est T fois la variance quotidienne Alors, la VàR peut être ajustée comme il suit: VaR(95%, 10 jours) = Var(95%, 1 jour) 10 VaR(95%, 1 an) = Var(95%, 1 mois) 12

18 L approche Variance-Covariance (Delta VaR) On suppose que les rendements de tous les actifs sont normalement distribués. Les valeurs possibles des actifs peuvent être capturées par la matrice Variance-Covariance Matrix M des rendements. Celle-ci peut être calculée selon le modèle SMA ou EWMA. Illustration: Cassidy, C et Gizycki, M (1997), Measuring traded market risk: value-at-risk and Backtesting techniques, Research Discussion Paper 9708, Reserve Bank of Australia

19 Illustration Soit un portefeuille de devises étrangères avec deux positions: spot long position (spéculation à la hausse) en Yen japonais et spot short position (spéculation à la baisse) en $US Calculons la VaR en utilisant des données sur une période de 250 jours (du 9 juin 1995 au 5 juin 1996), durée conforme aux recommandations du Comité de Bâle.

20 Illustration (suite) 1 ère étape: calculer la matrice de variance-covariance en utilisant les séries des taux de change Yen/AU$ et $US/AU$ sur la période considérée.

21 Illustration (suite) 2 ème étape: calculer la sensibilité des prix du marché (les deltas du portefeuille), de combien la valeur de chaque position varie si le prix varie d un montant donné, par ex. 1%

22 Illustration (suite) 3 ème étape: Calculer la volatilité de la variation totale de la valeur du portefeuille, càd l écart-type qui dépend des deltas, et de la matrice M (variance-covariance), soit v = δ ' Mδ La VaR se calcule alors:

23 La validation des modèles 23 Bâle II autorise les banques à déterminer leur capital nécessaire pour répondre au risque du marché par un modèle interne utilisant la VaR(99%, 10j). Il est donc important de s assurer que le modèle utilisé est suffisamment valide pour une meilleure garantir contre le risque du mrché. Les modèles peuvent être validés de deux manières: stress testing et backtesting. «Stress-testing» est un processus d identification et de gestion des situations susceptibles à entraîner des pertes extrêmes Analyse de scénarios Accentuer des variables clés comme les volatilités et les corrélations «Backtesting» vérifie si les pertes subies actuellement correspondent aux pertes projetées

24 Backtesting Le Backtesting constitue donc une mesure de la performance du modèle. Il peut être réalisé pour: Vérifier l adéquation du capital, conformément à la réglementation de Bale; Tester les «exceptions», càd le nombre de fois que les pertes réelles excèdent les maxima estimés par la VaR; Tester la variance, en comparant l estimateur de la variance des pertes et profits qui est implicite dans la VaR avec la variance des pertes et profits réellement observés; Tester la normalité de la série des pertes et profits.

25 Backtesting: Illustrations En noir, les VaR journalières, en gris les pertes et profits réellement observés.

26 Regulatory Backtest Bale II recommande que chaque banque détienne en fonds propres, le maximum de: i) la moyenne des VaR des 60 derniers jours, ajustée par un facteur qui varie de 3 à 4; et ii) la VaR du jour précédent. Le facteur d ajustement dépend du nombre de jours pendant lesquels les pertes réelles ont dépassé la VaR.

27 Exceptions testing (Kupiec, 1995) Pour Kupiec, le fait que la perte réelle dépsse ou ne dépasse pas la VaR équivaut à une expérience binomiale. Si la perte réelle dépasse la VaR, c est un échec, dans le cas contraire, il s agit d un succès. Si l on fait l hypothèse que les VaR journalières sont indépendantes, alors les résultats binomiaux représentent une séquence des essais de Bernouilli indépendants les uns des autres, avec une probabilité d échec égale à 1 moins le niveau de confiance spécifié dans le modèle VaR. Par ex, pour une VaR (95%), la probabilité d échec pour chaque essai est de 5%. Tester la précision du modèle équivaut donc à tester l hypothèse nulle que la probabilité d échec pour chaque essai égale la probabilité spécifiée par le modèle. Kupiec utilise deux tests pour examiner cette hypothèse: 1) le test du temps entre échecs, et 2) le test de la proportiond échecs.

28 Test du temps entre échecs Soit v: le nombre de jours entre échecs; p: la probabilité vraie; p*: la probabilité spécifiée dans le modèle VaR, càd (100-intervalle de confiance)%; p~ : l estimateur de vraisemblance de p, donné par 1/v On peut construire un test du ratio de vraisemblance (LR) pour vérifier l hypothèse nulle selon laquelle p=p* v 1 La statistique du test s écrit: p*. ( 1 p* ) ( ) LR = 2ln ~ ~ v 1 p. 1 p La statistique LR suit la distribution de Chi-carré avec 1 degré de liberté.

29 Test de la proportion d échecs La statistique du test s écrit: 2ln n x ( 1 p* ) ( ) n x 1 ~ p = x Où n est le nombre de résultats et x le nombre d échecs; dans ce cas p~ est donné par x/n (x 1) La statistique LR suit la distribution de Chi-carré avec 1 degré de liberté. LR p* ~ p x..