Fiche TD n 14 : Géométrie plane

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1 Fiche TD n 14 : Géométrie plane Prérequis : Equation d une droite dans le plan, vecteurs du plan, vecteur directeur d une droite, vecteur normal Objectifs : Maîtriser le langage et l utilisation des droites du plan, leur lecture graphique d équation, d éléments caractéristiques comme la pente d une droite (application à la mécanique). Exercice 1 Dans un repère orthonormé (O, i, j ) du plan, on donne les points A(1, 2), B(5,1) et C ( 2,4). (1) Déterminer par deux méthodes les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Méthode 1: ABCD est un parallélogramme =! "! $ =! %! & ' " ' $ = ' % '! & = = 6 -./0 ( 6,1) & ' & = = 1! $ +! % =! " +! & Méthode 2:ABCD est un parallélogramme ont le même milieu : 2 2 ' $ + ' % = ' " + ' & 2 2! & =! $ +! %! " = = 6 -./0 ( 6,1) ' & = ' $ + ' % ' " = = 1 (2) Déterminer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme. (Une seule méthode suffit.) ABEC est un parallélogramme = <! "! $ =! =! %! ' " ' $ = ' = ' = =! " +! %! $ = = 2 -./0 <(2,7) % ' = = ' " + ' % ' $ = = 7 (3) Montrer analytiquement que C = mil[de].! & +! = : 2 ' & + ' = 2 = = = 2 =! % = 4 = ' % donc = mil4<5 Exercice 2 oit (O, i, j ) un repère cartésien du plan. On donne les trois vecteurs suivants dans la base canonique (i, j 2) A(4, 1) B( 5,3) (1) Montrer + A + B = + A + B = ( , ) = (0,0) = 0 (2) Déterminer les coordonnées du point A tel que E = B ( 5,3) (3) Déterminer les coordonnées du point B tel que E = A (4, 1) (4) Déterminer les coordonnées du point C tel que E (1, 2) (5) Déterminer les coordonnées du point B' tel que E = 2@ E G = ( 2,4) ( 2,4) (6) Déterminer les coordonnées du point C' tel que G G + A G G = (5, 3)! % H! " H = 5 ' % H ' " H = 3! % H = = 3 donc (3,1) ' %G = 4 3 = 1 (7) Déterminer les coordonnées des centres de gravité des triangles ABC et AB'C'. oit G le centre de gravité du triangle ABC, on a :! I =! $ +! " +! % = = 0 : 3 3 ' I = ' $ + ' " + ' % = donc J = E = oit G le centre de gravité du triangle AB C, on a : 47/62

2 ! IG =! $ +! "G +! %G = : 3 3 ' IG = ' $ + ' "G + ' %G 3 = = 4 3 = 8 donc J L 4 3,8 3 M 3 Exercice 3 oit (!,4), (1, 2) et (4,! ) trois points dans un repère cartésien (O, i, j ). (1) Déterminer! tel que les points A, B et C soient alignés. = (1!, 2 4) = (1!, 6) 67 = (4 1,! + 2) = (3,! + 2) Les deux vecteurs seront donc colinéaires si et seulement si R 1! 3 R = 0 (1!)(! + 2) ! + 2 = 81 = 0!!! + 20 = 0 V = 1 9 T 2 = 4! = = 5 Les trois points seront donc alignés si et seulement si! = 4 ou! = 5 (2) Etablir pour chaque solution trouvée une relation de colinéarité entre les vecteurs et. i! = 4 alors = ( 3, 6) et = (0,0)donc = 0 i! = 5 alors = (6, 6) et = (9, 9)donc = X = Y Exercice 4 oit (O, i, j ) un repère cartésien du plan. On donne les quatre points ( 4, 3), (2, 1), (0,3) et ( 8,5). (1) Est-ce que ABCD est un trapèze? y D i ABCD est un trapèze alors deux de ses côtés sont parallèles. La figure 5 nous suggère que ce soit (BC)//(AD). 4 = [ 2 \ 67 = [ 4 C o 2 4 A B 4 8 \ On a donc = 2 donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles et donc ABCD est un trapèze de bases [AD] et [BC] (2) Est-ce que ABCD est un parallélogramme? La figure montre clairement que ABCD n est pas un parallélogramme! Nous pouvons le prouver en montrant que les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles : = [ 6 \ 67 = [ 8 \.] ( 8) = donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les droites ne sont pas parallèles (3) Déterminer les coordonnées du point E tel que ABCE soit un parallélogramme. Montrer analytiquement que A, E et D sont alignés. Pour que ABCE soit un parallélogramme, il faut que = < 6 = 0! =! = = 6 2 = 3 ' = ' = = 1 = [ 4 \ 67 < = [ \ = 1 2 donc les vecteurs et < sont colinéaires et donc les points, et < sont alignés. Exercice 5 oit ABC un triangle quelconque, I le milieu de [AB] et J le point tel que b = oit R le repère (,, ). (1) Quelles sont les coordonnées de I et de J dans R? En déduire les coordonnées de cb dans la base (, ) On a : c = V + 0 donc c [ V ;0\ -e/f g. C b = 0 -./0 b(0 ; 1) K (2) oit K le point tel que 2h + h = 0. Exprimer h en fonction de et en A I B déduire une construction de K sur votre figure. 2h + h = 0 2h + h + = 0 3h + = 0 J 3h = h = /62

3 (3) Déterminer les coordonnées de K dans R et en déduire celles de ch dans la base (, 3 h 1 3 * h 1 3 i * j h # 1 3 * * /0 h L 2 3 ; 1 3 M ch c * h #c * h # 1 2 * 2 3 * * 1 3 (4) Montrer que les points I, J et K sont alignés. cb c * b #c * b # 1 2 # On a donc cb #3 ch donc les vecteurs sont colinéaires et donc les points I, J et K sont alignés Exercice 6 oit ABCD un parallélogramme et I le milieu de [AD]. oit P le point défini par k V et soit Q le symétrique de I par rapport à A. Les points Q, P et C sont-ils alignés? On donnera une solution analytique dans un repère bien choisi! D C oit R le repère 1,, 3 ; les coordonnées de Q, P et C dans R sont : I l L0 ; # 1 M 0e] l #c # k L 1,0M 0e] k ;130e] * * V On a donc : lk m n et l o 1 p 3lk Les vecteurs lket l sont donc colinéaires et les points Q, P et C sont donc alignés. Exercice 7 A Q P B V Dans le repère orthonormé ci-contre, on donne les points A(5, 0), B(5,5), C (0,5). OABC est donc un carré de côté 5. (1) Déterminer les coordonnées de A', B ', C ' et I, milieux respectifs des côtés [BC], [CO], [OA] et [AB]. G 12,5;53 G 10 ;2,53 G 12,5;03 c15 ;2,53 (2) Déterminer une équation cartésienne des droites (AA'), (BB '), (CC ') et (OI ). 1 G 3:' #2! * 10 1 G 3:' 1 2! * G 3:' #2! * 5 1Ec3:' 1 2! (3) En déduire les coordonnées des points d intersection P, Q, R et de la figure. ' #2! * 5 k 1 G 3 1Ec3 donc les coordonnées de k vérifient le système t ' 1 2!! u 2 k12 ;13 ' u 1 49/62

4 ' #2! * 10 l = ( 3 1Ec3 donc les coordonnées de l vérifient le système t ' 1 2!! v 4 l14 ;23 ' v 2 ' #2! * 10 g donc les coordonnées de g vérifient le système t ' 1 2! * 5 2 ' #2! * 5 x 1 G donc les coordonnées de x vérifient le système t ' 1 2! * 5 2 (4) Justifier que : a) (R)//(PQ) et (P)//(QR) gx [ #2! w 3 g13 ;43 ' w 4! y 1 x11 ;33 ' y 3 #1 \ kl [ 2 1 \ #gx -./0 xg kl 67 donc klgx est un parallélogramme d G où 1kl3 1gx3 67 1kx3 1lg3 b) (PQ) (P) kl [ 2 1 \ kx [ #1 \ donc. kl kx 2 ^ 1#13 * 1 ^ Les vecteurs kl et kx sont donc orthogonaux et les droites (PQ) et (P) sont donc perpendiculaires. c)pq = P. En déduire la nature du quadrilatère PQR et calculer son aire. kl }2² * 1² 5 kx }1#13 * 2² 5 On a donc PQ = P. Le quadrilatère PQR est donc un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires, c est donc un rectangle ; comme de plus il a deux côtés consécutifs de même longueur, c est un carré. Exercice 8 ur la figure ci-dessus, OIKJ est un carré, OIA et IKB sont deux triangles équilatéraux, l un construit intérieurement sur le côté [OI], l autre construit extérieurement sur le côté [IK]. Dans tout l exercice on travaillera dans le repère 1E,Ec,Eb 3 (1) Déterminer les coordonnées des points O, I, J et K. E10 ;03 c11 ;03 b10 ;13 h11 ;13 (2) a) Etablir la formule qui donne la hauteur h d un triangle équilatéral en fonction de la longueur d un côté a. oit un triangle équilatéral de côté e ; le calcul de sa hauteur se fait à l aide du théorème de Pythagore : ² * [ e 2 \ e² e # e e e 3 2 b) En déduire les coordonnées des points A et B dans le repère. o 1 2 ; 3 3 p 67 o1 * 2 2 ;1 2 p (3) Déterminer une équation cartésienne de la droite (JA). 1! ;'3 1b3 ƒ b 50/62

5 ! V V Or = m n 67 b = m n -./0 (! ;') (b) [! V \[1 \ [' \[ V \ = 0 ' 1 (! ;') (b) o1 3 2 p! ' 1 2 = 0 Donc (b):i2 3j! + ' 1 = 0 (b):' = i 3 2j! + 1 (4) Que peut-on dire des points J, A et B? i 3 2j! " + 1 = i 3 2j o1 + 3 i 3 2ji2 + 3j p + 1 = + 1 = = 1 2 = ' " Les coordonnées de B vérifient l équation de la droite (JA) donc les points J, A et B sont alignés. 51/62

6 Fiche TD n 15 : Géométrie plane (2) Prérequis : Equation d une droite dans le plan, vecteurs du plan, vecteur directeur d une droite, vecteur normal Objectifs : Maîtriser le langage et l utilisation des droites du plan, leur lecture graphique d équation, d éléments caractéristiques comme la pente d une droite (application à la mécanique). Exercice 1 On donne les points A(1, 2), B( 2, 1) et C(0, 4). Déterminer au degré près. Méthode 1 : calculer AB, AC et BC et utiliser la formule d Al-Kashi pour calculer l angle = (! "! $ ) + (' " ' $ )² = }( 3)² + ( 1)² = 10 = (! %! $ ) + (' % ' $ )² = }( 1)² + (+2)² = 5 = (! %! " ) + (' % ' " )² = }2² + 3² = 13 ² + ² ² cos = = = Méthode 2 : Utilisation du produit scalaire = cos =! $"! $% + ' $" ' $% Donc on a : 10 5 cos = ( 3) ( 1) + ( 1) (+2) = 1 d où cos = ) Déterminer l aire du triangle (ABC). = V En effet, sin² + cos² = 1 donc sin² = 1 cos = 1 V = X Š Š La méthode la plus rapide est : () = V sin 52/ = = 3,5 Œ.. Š or l angle est l angle d un triangle, il mesure environ 82 donc son sinus est positif, d où sin = X = Š Š 3) Déterminer son isobarycentre, son orthocentre, le centre de son cercle circonscrit puis une équation de ce cercle. oit G l isobarycentre ou centre de gravité du triangle ABC. On sait que G est le point d intersection des médianes, mais si on utilise cette définition, cela implique de déterminer les coordonnées de deux milieux de côtés, les équations de deux médianes, puis de résoudre le système formé par les deux équations de droites, ce qui est un travail fastidieux. On sait aussi que J = h où h est le milieu de 45 ; cette méthode est beaucoup plus rapide que la précédente, mais nécessite le calcul des coordonnées de K puis de celles de G. On sait de plus que : J + J + J = 0 JE + E + JE + E + JE + E = 0 EJ = V ie + E + E j i on écrit cette relation avec les coordonnées des vecteurs : Ž! I = ' = = V = -./0 J [ V ; \ NB : La relation obtenue peut être retenue et utilisée sans avoir à la redémontrer, elle est à mettre en parallèle avec la formule donnant les coordonnées du milieu d un segment. oit H l orthocentre du triangle ABC On sait que H est le point d intersection des hauteurs du triangle. oit B la hauteur issue de B dans le triangle ; cette hauteur est perpendiculaire à (AC) et le vecteur est donc un vecteur normal à la droite B. Rappel : Une droite quelconque du plan a une équation de la forme + + š =. Les coefficients œ donnent la direction de la droite. i u est un vecteur directeur de la droite alors ses coordonnées sont de la forme ž(, ). De plus si n est un vecteur normal à la droite alors ses coordonnées sont de la forme : Ÿ(, ) Par conséquent, l équation de B s écrit :! + 2' + 0 = 0.

7 On sait de plus que la droite passe par le sommet B, donc les coordonnées de B doivent vérifier l équation de cette droite, ce qui va nous permettre de déterminer c : = 0 donc 0 = 4 et donc B :! + 2' 4 = 0.@! 2' + 4 = 0 oit C la hauteur issue de C dans le triangle ; cette hauteur est perpendiculaire à (AB) et le vecteur est donc un vecteur normal à la droite C. D où C : 3! ' + 0 = 0 or % donc = 0 d où 0 = 4 et C : 3! ' + 4 = 0 ou C : 3! + ' 4 = 0 Le point H est donc le point d intersection de B et C ; ses coordonnées vérifient donc le système : ' =! 2' = 4 3! + ' = 4 Pour résoudre ce système nous disposons de deux méthodes vues au lycée (substitution et combinaison), de la calculatrice («sysolv») ainsi que de la méthode de CRAMER qui est à connaître : 4 2 R! = 4 1 R ( 2) R 1 2 = 3 1 R ( 2) = 4 7 R R R 1 2 = 3 1 R ( 4) ( 2) = 16 7 Donc [, VY \ oit Ω le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. On sait que Ω est le point d intersection des médiatrices des côtés du triangle. oit D 1 la médiatrice de [AB] ; D 1 est perpendiculaire à (AB) donc D 1 : 3! ' + 0 = 0 et D 1 passe par I le milieu de [AB] et c [ V, \ donc + 0 = 0 dg où 0 = 0 et V : 3! ' = 0 ou V : 3! + ' = 0 oit D 2 la médiatrice de [AC]; D 2 est perpendiculaire à (AC) donc D 2 :! + 2' + 0 = 0 et D 2 passe par J le milieu de [AC] et b[ V,3\ donc V = 0 dg où 0 = VV et :! + 2' VV = 0 ou :! 2' + VV = 0 Ω est le point d intersection de D 1 et D 2 ; ses coordonnées vérifient donc le système : 0 1 3! + ' = 0! 2' = 11 11! = R 3 1 = 1 2 R ' = R 3 1 = 1 2 R 14 Donc Ω[ VV, \. V V Montrons que les points G, H et Ω sont alignés. JΩ L ; M = L19 14 ; 1 14 M J L ;16 Donc J = JΩ et les points G, H et Ω sont alignés M = L19 21 ; 1 21 M Remarque : On appelle droite d Euler d un triangle, la droite formée par les points G, H et Ω. oit C le cercle de centre Ω circonscrit à ABC. Rappel : L équation d un cercle de centre (, ) et de rayon R est : ( ) + ( ) = ² Le cercle C a pour rayon R = ΩA=ΩB=ΩC = [1 + VV V \ + [2 V \ = YŠ + Š = VXY VXY YŠ VXY L équation de C est donc : [! + VV V \ + [' V \ = YŠ VXY. 53/62

8 4) Déterminer une équation des bissectrices de l angle puis de la bissectrice intérieure à l angle ª. Rappel : Les bissectrices d un angle sont les droites D3 et D4 D 3 qui partagent les angles formés par les deux droites en 2 angles de même mesure. i M est un point de l une des bissectrices, alors M est à égale distances des deux droites qui définissent l angle. D i une droite D a pour équation : + + š = et que le 4 M point A a pour coordonnées ( «, «) alors la distance du point A à la droite D est : («, ) = «+ «+ š } ² + ² Une équation de la droite (AB) est :! + 3' + 0 = 0 et est sur la droite donc = 0 donc 0 = 5 Donc (AB):! + 3' 5 = 0.@! 3' + 5 = 0 Une équation de la droite (AC) est : 2! + ' + 0 = 0 et A est sur la droite donc = 0 d où 0 = 4 Donc (AC): 2! + ' 4 = 0 Un point (!,') appartiendra à une des bissectrices de si et seulement si :! 3' + 5 2! + ' 4! 3' + 5 2! + ' 4! 3' + 5 = = = 2! + ' ! 3' + 5 = 2(2! + ' 4)! 3' + 5 = 2 2! + ' 4! 3' + 5 = 2(2! + ' 4) 2 2j! i3 + 2j' = 0 i1 i j! i3 2j' = 0 Les deux équations ci-dessus sont les équations des deux bissectrices de l angle ª ; on peut vérifier que ces deux droites sont perpendiculaires car : i1 2 2ji j + i3 + 2ji3 2j = = 0 La bissectrice intérieure de l angle ª est l une de ces deux droites. Cherchons le point d intersection de ces droites avec l axe des ordonnées : i ji3 2j 2 2j 0 i3 + 2j' = 0 i1 i j 0 i3 2j' = 0 ' = = = = > ' = i5 4 2ji3 + 2j = = = 1 2 < La bissectrice intérieure est donc la droite d équation : i1 2 2j! i3 + 2j' = 0 Exercice 2 Déterminer le projeté orthogonal du point (!,' ) sur la droite (D) d équation! + 3' 5 = 0 ainsi que son symétrique orthogonal. symétrique orthogonal. oit H(e,²) le projeté orthogonal de M sur (D). On a (MH) (D) et H (). Or un vecteur directeur de (D) 3;1) et (e! ;² ' ) donc :.@ = 0 e 3² 5 = 0 ³ 3(e! ) + ² ' = 0 ³ 3e + ² = ' 3! e 3² 5 = 0 e 3² = 5 R ' 3! 1 e = 5 3 R 9! 3' 5 R 3 1 = 1 3 R 8 R 3 ' - 3! G.ù L 9! 3' 5 R 8 ² = 1 5 3! ' 15 R 3 1 = 1 3 R 8 oit M (0,-) le symétrique orthogonal de M par rapport à la droite (D); on a alors H=mil[MM ] donc : ; 3! ' 15 M 8 Ž e = µ ² = Ž 0 = 2e! = X µ µ Š! = Š µ µ Š µ - = 2² ' = µ µ VŠ ' = µ Š donc M µ VŠ [Š µ µ Š, µ Š µ VŠ \ 54/62

9 Exercice 3 oit C la courbe d équation!² + '² 2! + 4' + 1 = 0. 1) Montrer que C est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon 2) Déterminer une équation de la tangente au point de C de coordonnées i2, 2 + 3j. 3) Déterminer l intersection de C et du cercle de centre (1, 0) et de rayon 2. Exercice 4 1) La courbe C est un cercle ; en effet!² 2! + 1 = (! 1) et '² + 4' = (' + 2) 4 Donc l équation de C peut s écrire : (! 1) + (' + 2) = 4 C est donc le cercle de centre c(1 ; 2) et de rayon 2. 2) La tangente au point A de C de coordonnées (2, 2 + 3) est la droite perpendiculaire à (IA) passant par A ; Or c i1; 3j donc son équation est de la forme :! + ' = 0 Comme A appartient à cette tangente, ses coordonnées vérifient l équation donc : 2 + i 2 + 3j = 0 Et donc 0 = 2 3 5, l équation de la tangente en A à C est donc :! + ' = 0 3) Le cercle C de centre b(1,0) et de rayon 2 a pour équation : (! 1) + '² = 4. L intersection des deux cercles C et C a pour coordonnées les solutions du système : (! 1) + (' + 2) = 4 (! 1) + '² = 4 '² = (' + 2)² Ce qui équivaut à (! 1) + '² = 4 ' = 1 (! 1) = 3 ' = 1! = @! = 1 3 Les deux cercles se coupent donc en deux points : i1 + 3 ; 1j 67 i1 3; 1j Dans un repère orthonormé (O, i, j ), on considère les points (0,0),( 2,0),( 2,1 ) et (0,1). 1. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AB]. 2. Les droites (AC) et (DI) sont-elles perpendiculaires? 1. Les coordonnées du milieu I de [AB] sont : Ž! ¹ = 2. i 2, 1j 67 c [ Les deux droites sont donc perpendiculaires. ' ¹ = = = 0, 1\ d où. c = 2 1 1=1-1=0 donc c [,0\ 55/62

10 Exercice 5 Dans le plan muni d'un repère (O,i, j ), on considère les points A(1 ; 4), B(2 ; 1) et C(6 ; 5). 1) Déterminer une équation de la droite (AI) où I est le milieu du segment [BC]. 2) Déterminer une équation de la droite D passant par B et parallèle à la droite (AC).! + 3' 13 = 0 3) Résoudre le système suivant :! + 5' 3 = 0 4) Interpréter graphiquement le résultat. 5) Montrer que les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont [3 ; V \. 6) oit D le point tel que BGCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D. 7) Montrer que le point D appartient à la droite (AI). 1) c(4 ;3) donc (!;') (c) deti;c j = 0 º! 1 3 ' 4 1 º = 0 Une équation cartésienne de (AI) est donc : (! 1) 3(' 4) = 0 ou! + 3' 13 = 0 2) i! ;'j () deti ; j = 0 º! 2 5 ' 1 1 º = 0! 2 5(' 1) = 0! 5' + 3 = 0! + 3' 13 = 0! + 5' 3 = 0 R 13 3! = 3 5 R! + 3' = 13 R 1 3 =! 5' = R R 1 13 ' = 1 3 R R 1 3 = 1 5 R = 56 8 = 7 = 16 8 = 2 Le point d intersection des deux droites des questions 1 et 2 est donc le point b(7;2) 5) Le centre de gravité du triangle ABC est situé aux deux tiers de la médiane [AI] à partir du sommet A donc J = 2! I 1 = 2 (4 1) 3 c : 3 ' I 4 = 2 t 3 (3 4)! I = 3 ' I = 10 3 donc J L3; 10 3 M 6) Comme I est le milieu de [BC], BGCD sera un parallélogramme si et seulement si le point I est aussi le milieu de [GD]. 4 =» = 5 Il faut donc que :Ž ¼µ ½ 3 =!&» ' & = ¾ donc [5; ¾ \. 7) G, I et D sont alignés, d une part et A, G et I sont aussi alignés donc les 4 points A, G, I et D sont alignés. Exercice 6 On considère les points ( 3 ; 3) ; (1 ; 1) et ( 4 ; 4). 1) Déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites (AB) et (AC); 2) Déterminer la distance de A à (BC) et les coordonnées du projeté orthogonal de A sur la droite (BC). 1) (4; 2) et ( 1;1) donc les équations des droites (AB) et (AC) sont de la forme : (): 2! 4' + 0 = 0 et ():! + ' + 0 G = 0 A appartient à ces deux droites donc ses coordonnées vérifient les deux équations : = 0 donc 0 = 6 et G = 0 donc 0 G = 0 On a donc : (): 2! 4' + 6 = 0 et ():! + ' = 0 2) ( 5;3) donc (BC): 3! + 5' + 0 = 0 et B appartient à la droite donc 0 = 8 et donc ():3! + 5' 8 = 0 La distance de A à(bc) est égale à : -i,()j = ( ) Š ¾ }² Š² Le projeté orthogonal H de A sur (BC) a ses coordonnées telles que : Or (! + 3;' 3) donc H a ses coordonnées qui vérifient le système : = = V 3! + 5' 8 = 0. = 0 56/62

11 R! = 3! + 5' 8 = 0 5(! + 3) + 3(' 3) = 0 3! + 5' = 8 5! 3' = 24 X Š R R Š = V Š R X Š R R Š = Š Š R ' = R = X = VV donc [ X ; VV \ Exercice 7 Dans un repère orthonormé, placer les points A(3 ; 2), B(9 ; 7), C(0 ; 7). 1) Déterminer une équation de la perpendiculaire en A à la droite BC. oit ( ) cette droite ; 2) oient les points E(4 ; 6) et F(7 ; 4). a) Calculer EF, FB, EB. En déduire le nature du triangle EFB ; b) Calculer la pente de la droite (EF) puis une mesure en degré de l angle que fait la droite (EF) avec l horizontale. c) oit (d) la parallèle à (EF) passant par C. Déterminer une équation de (d). Que représente cette droite pour le triangle ABC? 3) oit H le point d intersection des droites ( ) et (d). a) Que représente ce point pour le triangle ABC? b) Déterminer les coordonnées de H. 1) Un point M appartient à la perpendiculaire à (BC) passant par A si et seulement si : = 0 L! 3 ' + 2 M [ 9 0 \ = 0 9(! 3) = 0! = 3 2) e) <À = }(7 4) + (4 6)² = = 13 À = = 13 On a alors tanâ =  = arctan[ \ = 33,69 < = }5 + 1² = 26 On a donc : <À = À 67 <² = <À² + À² Donc le triangle EFB est rectangle isocèle en F. b) La droite (EF) a pour vecteur directeur <À [ 3 \ donc l équation 2 de (EF) est de la forme : 2! 3' + 0 = 0 donc son équation réduite est : ' =! +? La pente est donc Á = c) La parallèle à (EF) passant par C a une équation de la forme : 2! 3' + 0 = 0 et comme le point C est sur cette droite = 0 0 = 21 donc (d) : 2! 3' + 21 = 0 La droite (d) est parallèle à (EF) et (EF) est perpendiculaire à (FB) donc (d) est perpendiculaire à (FB). Or À [ 4 \ et [ 6 \ donc = 6 9 À donc A, B et F sont alignés et donc (d) est perpendiculaire à (AB). La droite (d) est donc perpendiculaire à (AB) et passe par C c est donc une hauteur du triangle ABC. 3) a) Or est perpendiculaire à (BC) et passe par A donc est aussi une hauteur donc le point d intersection de d et de est l orthocentre du triangle ABC. b) Les coordonnées de H représentent le couple solution du système formé par les équations des deux hauteurs donc :! = 3 2! 3' + 21 = 0! = 3 3' = = 15! = 3 ' = 5 Donc (3,5) Exercice 8 Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, considérons le cercle d'équation: (! 2)² + (' 2)² = 16. 1) Déterminer les coordonnées de son centre et son rayon ; 2) Trouver les coordonnées des points d'intersection A et B du cercle avec la droite d'équation ' =! et celles des points diamétralement opposés A' et B'. Expliquer. 1) Le centre du cercle est le point c(2 ;2) et son rayon est g = 16 = 4. 57/62

12 2) Les points d intersection A et B du cercle avec la droite d équation ' =! ont des coordonnées qui vérifient le ' =! système : (! 2)² + (' 2)² = 16 ³ ' =!! 4! + 4 +! 4! + 4 = 16 ³ ' =! 2! 8! = 8 ' =! = 32 ' =! ³! 4! 4 = 0! T V = = 2 2 2! = = Les deux points d intersection ont donc pour coordonnées : (2 2;2 2) et (2 + 2;2 + 2). Le point A diamétralement opposé à A est le point B car le centre c est sur la droite ' =! et le point diamétralement opposé à B est donc A. Exercice 9 On considère l équation : (< à ):!² + '² 4Á! 2' + 4Á = 0 où Á est un nombre réel quelconque. 1) Démontrer que, pour toute valeur de Á, (< à ) est l équation d un cercle à dont on donnera le centre et le rayon ; 2) Démontrer que tous les cercles à sont tangents entre eux en un point fixe. 1) (< à ):! + ' 4Á! 2' + 4Á = 0 (< à ) (! 2Á) + (' 1) = 4Á 4Á + 1 = (2Á 1)² (< à ) est donc le cercle de centre c à (2Á;1) et de rayon g à = 2Á 1 2)! + ' 4Á! 2' + 4Á = 0 4Á! + 4Á +! + ' 2' = 0 4Á(! + 1) +! + ' 2' = 0 Cette équation est vérifiée pour tout Á R si et seulement si :! = 1! + ' 2' = 0! = 1 ' 2' + 1 = 0! = 1 (' 1) = 0! = 1 donc tous les cercles passent par le point ' = 1 (1,1). Or les cercles ont tous un centre dont l ordonnée est égale à 1 donc les centres ainsi que le point A sont alignés sur la droite d équation ' = 1 donc les cercles sont tous tangents entre eux en A. Exercice 10 Dans un repère orthonormé, on considère les trois droites suivantes: (- V )! 2' 7 = 0 (- )! + ' 22 = 0 (- ) 12! 5' 10 = 0 Déterminer l'équation du cercle ayant le centre au point d'intersection des droites (- V ) 67 (- ) et qui est tangent à la droite (- ). Déterminons les coordonnées du centre du cercle ; ses coordonnées vérifient le système :! 2' = 7! + ' = R! = = 22 1 R R 1 2 = 1 1 R ' = 1 7 R = 1 22 R R 1 2 = 1 1 R = 51 3 = = 15 3 = 5 donc c(17,5) i le cercle est tangent à la droite (d 3) alors le rayon du cercle est égal à la distance du point I à la droite (d 3). Or cette distance est : g = 12! ¹ 5' ¹ 10 }12 + 5² On a donc l équation du cercle de centre I et de rayon R : = (! 17) + (' 5) = 169 = = 13 58/62

13 Exercice 11 1) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne de la droite D passant par A(1, 2) et dirigée (1, 2). 2) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne de la droite D passant par A(2, 1) et ayant comme vecteur normal n (3, 2). 1) Un point M appartient à la droite D si et seulement si sont colinéaires donc si et seulement si : = ƒ@! 1 = ƒ 1 ' + 2 = ƒ 2! = 1 + ƒ ƒ R est une représentation paramétrique de la droite D. ' = 2 + 2ƒ Pour déterminer une équation cartésienne de D il suffit d G éliminer le paramètre k entre les deux équations de la représentation paramétrique : 2! ' = ! ' 4 = 0 Ou bien on peut traduire le fait que les vecteurs sont colinéaires en écrivant que leurs coordonnées sont proportionnelles donc :! 1 1 2(! 1) = ' + 2 2! ' 4 = 0 ' ) Un point M appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs et / sont orthogonaux donc comme le vecteur / est normal à la droite un vecteur directeur de D 2 \ et donc M appartient à la droite D si et 3 seulement si sont colinéaires donc si et seulement si : = ƒ@! 2 = ƒ ( 2) ' + 1 = ƒ 3! = 2 2ƒ ' = 1 + 3ƒ ƒ R Pour obtenir une équation cartésienne de la droite D il suffit d éliminer k entre les deux équations : 3! + 2' = 6 2 = 4 3! + 2' 4 = 0 ou on peut utiliser le fait que et / sont orthogonaux donc que. / = 0 L! 2 ' + 1 M.[3 2 \ = 0 donc 3(! 2) + 2(' + 1) = 0 3! + 2' 4 = 0 Exercice 12! = 1 + 3É oit D la droite d équation paramétrique, donner une équation cartésienne de D. ' = 1 + É Il suffit d éliminer λ entre les deux équations :! 3' = 4! 3' 4 = 0 Exercice 13 Déterminer les droites contenant A et tangentes à C lorsque : a) (2,3) et!² + '² 2! + Š = 0 b) (0,0) et!² + '² 2! 2' 2 = 0 c) (2,3) et!² + '² 2! + Š = 0 Donc C a pour centre Ωi1 ; 0jet pour rayon ] = V Š.!² + '² 2! = 0 (! 1) + ' = 1 5 i D est tangente au cercle C en T et passe par A et si son équation est de la forme e! + ²' + 0 = 0 alors on a : 2e + 3² + 0 = 0 67 Ê! Ë ² + ' Ë ² 2! Ë = 0 ΩÊ Ê ΩÊ. Ê = 0 (! Ë 1)(! Ë 2) + ' Ë (' Ë 3) = 0 Les deux dernières équations permettent de déterminer les coordonnées des points de tangence T 1 et T 2 de la droite sur le cercle.! t Ë + ' Ë 2! Ë = 0 (! Ë 1)(! Ë 2) + ' Ë (' Ë 3) = 0 Ž! Ë + ' Ë 2! Ë = 0! Ë + ' Ë 3! Ë 3' Ë + 2 = 0! Ž Ë + 3' Ë 6 5 = 0! Ë + ' Ë 3! Ë 3' Ë + 2 = 0 59/62

14 ! Ë = 3' Ë + 6! 5 Ë = 3' Ë + 6 L 3' Ë M + ' Ë 3L 3' Ë M 3' Ë + 2 = 0 10' Ë 6 5 ' Ë 4 25 = 0 Les deux points de tangence sont donc : Ê V [ Y ; \ 67 Ê Š Š [ ; V \ Š Š Les deux tangentes à C passant par A sont donc les droites (AT1) et (AT2). 14 Ê V = Ì! Ë = 3' Ë = T ' ËV = 2 T 25 ' Ë = Í -./0 (Ê V ): 77! + 14' + 0 = 0 ea = 0 -./0 0 = (Ê V ): 77! + 14' 112 = 0 (Ê V ): 11! 2' 16 = 0 + = 0 Š Î Vérification : ΩÊ.Ê V V = [ 36 1\[ V \ + 25 Š [ 2 \[ \ = VV V 25 Š Š Î 7 Ê = Ì Í -./0 (Ê ): 14! + 7' + 0 = 0 ea = 0 -./0 0 = 7 (Ê ): 14! + 7' + 7 = 0 (Ê ): 2! ' 1 = 0 a) (0,0) et!² + '² 2! 2' 2 = 0!² + '² 2! 2' 2 = 0 (! 1) + (' 1) = 4 Donc C a pour centre Ωi1 ; 1jet pour rayon ] = 4. i D est tangente au cercle C en T et passe par A et si son équation est de la forme e! + ²' + 0 = 0 alors on a : 0 = 0 67 Ê! Ë ² + ' Ë ² 2! Ë 2' Ë 2 = 0 ΩÊ Ê ΩÊ. Ê = 0! Ë (! Ë 1) + ' Ë (' Ë 1) = 0 Les deux dernières équations permettent de déterminer les coordonnées des points de tangence T 1 et T 2 de la droite sur le cercle.!ê² + ' Ê ² 2! Ê 2' Ê 2 = 0! Ê (! Ê 1)+' Ê i' Ê 1j = 0!ʲ + ' Ê ² 2! Ê 2' Ê 2 = 0! Ë + ' Ë! Ë ' Ë = 0! Ë + ' Ë + 2 = 0! Ë + ' Ë! Ë ' Ë = 0!! Ë = ' Ë 2 ( ' Ë 2) + ' Ë ( ' Ë 2) ' Ë = 0 t! Ë = ' Ë 2 Ë = ' Ë 2 2' Ë + 5' Ë + 6 = 0 t = 48 º Ïef -6 f.ð@7ñ./ Une simple figure aurait permis de constater que A est à l intérieur du cercle C et que donc aucune droite contenant A ne peut être tangente au cercle C. Exercice 14 Montrer que les droites Ò d'équations cartésiennes : Ò (1 ɲ)! + 2É' = 4É + 2,où É désigne un paramètre réel, sont toutes tangentes à un cercle fixe à préciser. Prenons 3 droites de cette famille de droites, correspondant à É = 0,É = 1 67 É = 1 Leurs équations sont :! = 2, ' = 3 67 ' = 1 Ces deux droites sont toutes à égale distance du point I de coordonnées (1, 2). Cette distance est égale à 1. Montrons que pour tout λ la distance du point I à la droite Ò est égale à 1. Cette distance est égale à : ÓiV ÒÎ j V Ò Ò Ó }(V Ò²) Î (Ò) Î = ÓV ÒÎ Ò Ò Ó }V Ò Î Ò Ô Ò² = V Ò² }V Ò² Ò Ô = V Ò² }(V Ò²) Î = V Ò² V Ò² =1 60/62

15 Les droites sont donc toutes tangentes au cercle de centre I et de rayon 1. Exercice 15 oit A(0, 0), B(2, 1) et C(2, 3). 1. Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB]. 2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC. 1. = }2² + 1² = 5 donc le rayon du cercle de diamètre 45est égal à Š. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : c [1; V \ donc le centre du cercle de diamètre [AB] est I. Le cercle de diamètre [AB] a donc pour équation : (! 1) + [' V \ = Š 2. Le centre I du cercle est le point situé à égale distance de A, B et C donc est tel que IA² = IB² = IC². Les coordonnées de I vérifient donc :! + ' = (! 2) + (' 1) = (! 2) + (' 3)!² + '² =!² 4! ' 2' + 1!² + '² =!² 4! ' 6' + 9 4' 8 = 0 ' = 2 4! + 2' 5 = 0 t 4! + 6' 13 = 0 t 4! 1 = 0! = 1 -./0 c L 1 4 ;2M 4 Le rayon du cercle est donc c = V VY + 4 = YŠ VY = YŠ Le cercle circonscrit au triangle ABC a donc pour équation : [! V \ + (' 2) = YŠ VY Exercice 16 oient A,B et C trois points du plan, déterminer l ensemble des points M tels que : i j. i2 + 3j = 0 oit G le barycentre de (A, 1),(B, 2) et (C, 1), on a alors : = 4 J D autre part, si I est le barycentre de (A, 2) et (B, 1) alors : = 3 c 3 = 3 c i j. i2 + 3j = 0 4. J 3 c = 0. J c = 0 L ensemble recherché est donc la perpendiculaire à la droite (CI) passant par G. 61/62

16 Exercice Déterminer les centres d'inertie des plaques homogènes dessinées ci-dessous. I est le milieu de [I1I2] I est le barycentre de (I1, 2) et (I2,3) c V c = 3 5 c Vc I est le barycentre de (I1, 1) et (I2,2) c V c = 2 3 c Vc I 1 I I 1 I 1 I 2 I I I 2 I 2 2- Plaque avec trou ABCD est un carré de centre O. On a formé la plaque en enlevant le triangle COD au carré. a) Montrer que l'aire de ABCD est égale à 4 fois l'aire de COD.i l aire d un des petits carrés est 1 alors l aire de ABCD est 4, l aire de COD est 1 car il est formé de 2 demi carrés, donc l aire de ABCD est égale à 4 fois l aire de COD.. b) Le centre d'inertie du carré est le point O. Appelons H le centre d'inertie du triangle COD et G le centre d'inertie de la plaque. Montrer que O est le barycentre de (G,3) et (H,1). L aire de la plaque est égale à 3, celle de COD vaut 1 donc le centre d inertie O du carré ABCD est égale au barycentre des centres d inertie G et H affectés des masses respectives des plaques qu ils représentent. Donc E = ²e]Õ(J,3),(,1)Ö c) Montrer que G est le barycentre de (O,4) et (H,-1). D après ce qui précède on peut écrire la relation vectorielle : 3EJ + E = 0 3EJ + EJ + J = 0 4EJ + J = 0 4JE J = 0 Donc G est bien le barycentre de (E,4) et (, 1) On peut donc considérer que la plaque est formée d'un carré et d'un triangle d'aire négative 3- Plaque percée En utilisant la remarque précédente, déterminer le centre d'inertie de la plaque homogène suivante : (le diamètre du petit cercle est un rayon du grand cercle) c = ²e] (c V, ]²),oc, ]² 4 pø = ²e]Õ(c V,4),(c, 1)Ö Donc c V c = V c Vc I I 1 I 2 62/62