ENSEMBLES, FONCTIONS, SUITES 1. ENSEMBLES {1,2,2,4,3} = {1,2,3,4}

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1 ENSEMBLES, FONCTIONS, SUITES IFT1065 AUT SEMAINE 3 1. ENSEMBLES 1.1. Définition par extension. On peut définir un ensemble en listant ces éléments. Une telle définition est dite par extension. Par exemple A = {1,2,3,4}. L ordre est sans importance i..e. {1,2,3,4} = {1,2,3,4}. Si on liste un élément deux fois, on dit deux fois qu il est dans l ensemble mais ca ne change pas l ensemble. {1,2,2,4,3} = {1,2,3,4} 1.2. Définition par propriété. Soit P(x) un prédicat ; on peut poser B = {x P(x)} ; par exemple B = {n n N n impair} Pour B = {x P(x)}, on a x B si et seulement si P(x) est vrai. Plus formellement : x(x B P(x)) En particulier P(x) est (x = 2) (x = 3) (x = 5) (x = 7) {2,3,5,7} = {x P(x)} = {x (x = 2) (x = 3) (x = 5) (x = 7)} L ensemble vide = { } n a pas d éléments. Si X est un ensemble fini, alors X = nombre d éléments dans X Par exemple {a,b,c,d} = Egalité. Deux ensembles X et Y sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments. L ordre ne compte pas. X = Y x,(x X x Y) X = Y x, ( (x X x Y) (x Y x X) ) Exemple 1. (2.1.1 dans le manuel) Montrez que les ensembles suivants sont égaux A = {x x 2 + x 6 = 0}, 1 B = {2, 3}

2 1.4. Inclusion. On dit que X est sous-ensemble de Y et on note X Y (et en France on note X Y) si x,(x X x Y) Exemple 2. Si C = {1,3} et A = {1,2,3,4} alors C A. Exemple 3. (1) Est-ce que X = {x x 2 + x 2 = 0} est un sous-ensemble de Z (entiers relatifs). (2) Qu en est-il de X = {x 3x 2 x 2}? Rep : (1) Voir Johnsonbaugh (2) Pour x numérique, 3x 2 x 2 prend une valeur numérique, et non V ou F ; 3x 2 x 2 n est donc pas un prédicat en x et l expression {x 3x 2 x 2} est par conséquent syntaxiquement incorrecte, elle ne définit pas un ensemble. On dit que X est un sous ensemble propre de Y si X Y mais X Y et on peut noter X Y (pour éviter la confusion avec la notation française de sous-ensemble). Exemple 4. {1,2} {1,2} = {2,1} {1} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {1,2} 1.5. Ensemble des parties. On note P(A) l ensemble défini comme suit P(A) = {X X A} Exemple 5 (Johnsonbaugh 2.1.5). Si A = {a, b, c}, alors P(A) = {,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} } A = 3 P(A) = 8 Théorème 1 (Johnsonbaugh 2.1.6). Si X est un ensemble fini et X = n alors P(X) = 2 n Démonstration. Par induction mathématique Union, intersection, complément. L union de X et Y est X Y = {x x X x Y} L intersection de X et Y est X Y = {x x X x Y} X et Y sont dits disjoints si X Y =. On note X Y l ensemble {x (x X) (x Y)} Le complémentaire X de X est U X pour un ensemble universel U conventionnellement fixé à l avance. Exemple 6. Si A = {1,3,5} et B = {4,5,6}, alors A B = {1,3,4,5,6}, A B = {5}, A B = {1,3} et B A = {4,6}. Exemple 7. Les ensemble {1,4,5} et {2,6} sont disjoints. Exemple 8. Les ensembles de S = { {1,4,5}, {2,6}, {3}, {7,8} } sont deux à deux disjoints. 2

3 On a la correspondance suivante 1. V F U A gauche, on a la propriété pour les ensembles (Johnsonbaugh, p. 82). A droite, la propriété correspondante pour des propositions. Commutativité A B = B A p q q p A B = B A p q q p Idempotence A A = A p p p A A = A p p p Identités A = A p F p A U = A p V p Absorption A (A B) = A p (q q) p A (A B) = A p (p q) p De Morgan A B = A B (p q) p q A B = A B (p q) p q Involution A = A p p Complément A A = U p p V A A = p p F Loi 0/1 = U F V U = V F Distributivité A (B C) = (A B) (A C) p (q r ) (p q) (p r ) A (B C) = (A B) (A C) p (q r ) (p q) (p r ) 1.7. Partitions. Si X est un ensemble et si S = {X 1,...,X n }, on dit que S est une partition de X si Les X i sont des sous-ensembles non vides de X La réunion X 1... X n des X i est égale à X Les X i sont deux à deux disjoints (i.e. X i X j = si i j ). Exemple 9. Si X = {1,2,3,4,5,6,7,8}, alors S = { {1,4,5}, {2,6}, {3}, {7,8} } est une partition de X. Exemple 10. Si X = Z, et si S = {P, I} avec P = {n n est pair} et I = {n n est impair}, alors S est une partition de Z Produit. Si x X et y Y, (x, y) est appelé paire ordonnée. Si X = Y = {1,2} alors (1,2) (2,1). Définition 1. Si X est Y sont deux ensembles, leur produit est l ensemble X Y = {(x, y) x X y Y} 1 Certains manuels utilisent 0 au lieu de F, 1 au lieu de V et en algèbre booléenne, on écrit p au lieu de p ; notre table est conforme aux notations logiques vues en classe. 3

4 Exemple 11. Remarque 1. {1,2} {a,b,c} = {(1, a), (1,b), (1,c), (2, a), (2,b), (2,c)} {1,2} {1,2} = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} X Y = X Y 2. FONCTIONS 2.1. Généralités. Dans plusieurs textes élémentaires, on dit qu une fonction f : X Y (de X à Y) est une règle qui associe à chaque x X, un et un seul y Y dénoté f (x). Cette définition manque de rigueur. Une fonction est caractérisée par son graphe qui correspond à l ensemble des (x, y) tels que y = f (x). Formellement, nous allons définir une fonction par son graphe. Définition 2. Une fonction f de X à Y, est un sous-ensemble f de X Y tel que pour tout x X il existe un et un seul y Y tel que (x, y) f. On note f : X Y. X est appelé domaine de f On note f (x) = y pour dire (x, y) f. L image de f est {y x(x X y = f (x))} Exemple 12. Soit f de domaine X = {1,2,3}, d ensemble d arrivée Y = {a,b,c} et telle que f (1) = a, f (2) = b et f (3) = a on a f = {(1, a),(2,b),(3, a)} Exemple 13. Soient X = {1,2,3} et Y = {a,b,c}, lesquels de ensembles suivantes représentent des fonctions de X à Y? (1) {(1, a),(2,b),(3, a)} (2) {1, a),(2, a)} (3) {(1, a),(2,b),(3,c),(1,b)} Exemple 14. Quel ensemble de couples correspond à la fonction réelle f qui à x associe x 2 (x x 2 ), donc telle que f (x) = x 2? 2.2. La fonction plafond et plancher. Définition 3 (Jonhnsonbaugh ). Soit x R. Le plancher (ou la partie entière) de x, noté x, est le plus grand entier naturel inférieur ou égal à x : x x < x + 1. Le plafond de x, noté x, est le plus petit entier naturel supérieur ou égal à x : x 1 < x x. Exemple = 8 ; 10 = 10 ; 8.4 = 9 ; 11.3 = 12, 11 = 11, 11.3 = 11. Exemple 16. Le prix d une lettre de moins de 13 onces est de 37 cents pour la première once et de 23 cents pour les onces additionnelles. Ecrire le prix P(w) d une lettre de poids w t.q 0 < w < 13. Rép : P(w) = w 1 4

5 2.3. L opérateur modulo. Théorème 2. Soient n Z et d N, d > 0. Alors il existe un unique q et un unique r tels que n = d q + r Le reste r est noté r = n mod d et lu n modulo d. 0 r < d Exemple mod 2 = 0, 5 mod 1 = 0, 8 mod 12 = 8, mod 2 = 1. Remarque 2. On voit facilement que q = n/d et donc n mod d = n d n/d Exemple 18. Nous sommes lundi. Quel jour sera-t-on dans 365 jours? Exemple 19. Calculer mod 9 Exemple /2427 = donc q = = 15 et r = mod 2427 = = 439. Définition 4. Si n et m sont deux entiers, on dit qu ils sont congrus modulo d si m mod d = n mod d et on écrit m n (mod d) i.e. s ils ont le même reste quand on les divise par d Propriétés des fonctions. Définition 5. Une fonction f : X Y est dite injective si pour tout y Y il existe au plus un x X tel que y = f (x) Plus formellement f injective x 1 x 2 ( f (x1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 ) Donc, pour montrer que f n est pas injective, il faut x 1 x 2 tel que f (x 1 ) = f (x 2 ). Exemple 21. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont injectives (1) f (n) = 2n + 1 (f : Z Z) (2) f (n) = 2 n n 2 (f : Z Z) (3) f (n,m) = n mod m (f : Z Z Z) Définition 6. Une fonction f : X Y est dite surjective si pour tout y Y il existe au moins un x X tel que y = f (x) Exemple 22. Pour d fixé, est-ce que la fonction f : Z Z définie par f (n) = n mod d est surjective? Exemple 23. (1) Montrer que f : R + R + définie par x 1/x2 est surjective. (2) Montrer que la fonction f : N + N + définie par n 2n 1 n est pas surjective. Définition 7. Une fonction f : X Y est bijective si elle est injective et surjective. Définition 8. Si f : X Y est bijective, son inverse est la fonction f 1 : Y X telle que f 1 (y) = x si et seulement si f (x) = y. Exemple 24. Quelle est la fonction inverse de f : R R + définie par x 2x? 5

6 Définition 9. Soient g : X Y et f : Y Z, la composée f g (f rond g ) est la fonction f g : X Z x f (g (x)) Exemple 25. Si f : R R est telle que f (x) = x 2 et g : R R est telle que g (x) = x 3, alors que vaut (f g )(x)? 2.5. Opérateurs unaires et binaires. Une fonction f : X X est appelé opérateur unaire. Par exemple x x est un opérateur unaire. Une fonction f : X X X est appelée opérateur binaire. Par exemple La manuel définit une opération binaire sur X comme une fonction de X X dans X. Par exemple (x, y) x + y (l addition dans les réels) est un opérateur binaire. 3. SUITES Elles correspondent à des tables définies sur un intervalle (fini ou infini) d entiers. Voici un exemple distance coût : Distance Coût On note la valeur associée à n avec un indice : C n = (n 1) et C n est dit le nième terme de la suite C = {C n } 10 n=1. La suite {x n } 4 n= 1 donnée par x n = 1 2 n pour 1 n 4 peut être représentée par un tableau fini n s n 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 La suite dite de Fibonacci {F n } n=1 telle que F 1 = 1,F 2 = 1, et F n = F n 1 + F n 2 pour n 3 est infinie. Elle commence ainsi : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,.... Exemple 26 (2.3.6, page 105). Soit S la suit définie par S n = 2 n n pour n 0. Montrez que S n = 5S n 1 6S n 2 Définition 10. Une suite {s n } est dite Croissante si s n s n+1 tout n Décroissante si s n s n+1 tout n Strictement croissante si s n < s n+1 pour tout n (en anglais increasing ) Strictement décroissante si s n > s n+1 tout n (en anglais decreasing ). 6

7 Exemple 27. La suite {S n } n=1 avec S n = n 2 est strictement croissante ; la suite {S n } n=1 avec S n = 1/n 2 est strictement décroissante Notations Σ et Π. On note n a i = a m a n i=m n a i = a m... a n i=m Exemple 28. La somme géométrique a + ar + ar ar n peut être réécrite n ar i i=0 Exemple 29. Soit {a i } i=0 définie par a i = 2( 1) i. Trouver une forme explicite pour la somme n i=0 a i. Indications : En calculant les sommes pour n = 0,1,2, on se convainc que { n 2 si n est pair a i = 0 si n est impair i=0 Si l on n aime pas distinguer les cas, on peut écrire plus directement n a i = 1 + ( 1) n La démonstration se fait dans chaque cas par induction mathématique. i=0 7