Exercices : Étude de fonctions

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1 Eercices : Étude de fonctions Eercice : Calculer les limites suivantes : (. lim 3 2 +(ln) 3 ) lim 3. lim ln(e +) ln lim 5. lim 6. lim 7. lim e e 3+ (ln) (e 4 3 ) + e2 ln+ ln+e 8. lim 9. lim 0 e 2 0. lim lim Eercice 2: Étudier les branches infinies des fonctions suivantes :. a() = 2 +e + en ± 2. b() = e e en ± e +e 3. c() = 2 +ln + en +. Eercice 3: Étudier la continuité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition. +. f() = 2 + si > 0 + si [ ;]\{0} 2. g() = si = 0 si = 0 Eercice 4: Déterminer si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en 0 (penser à bien déterminer le domaine de définition pour commencer) et le cas échéant, préciser la valeur en 0 qui rend la fonction continue. a() = en 0 = 2 b() = en 0 = en 0 = c() = Eercice 5: Soit f : [0;] [0;] continue. Montrer qu il eiste 0 [0;] tel que f( 0 ) = 0. Eercice 6: Soit f la fonction définie sur R par f() = e e e +e. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle J à epliciter. Eercice 7: Montrer que l équation ln()e 3 = Eercice 8: admet une unique solution sur ];+ [. 3 Montrer que l équation 2 + = admet une unique solution, que l on notera α, sur R+. Montrer que 0 α 2. Analyse : Chapitre Eercices Page Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

2 Eercice 9: Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition. 2 e si 0 +. f() = e 2 2. h() = 0 si = 0 e 4 (Rappel : lim = ) 0 si [ ;+ [\{0} si = 0 Eercice 0: Soit la fonction f définie sur R + par f() =. Montrer que f est continue sur R + 2. Montrer que f est dérivable sur ]0;+ [. { 2 ln si > 0 si = Étudier la dérivabilité de f en 0 et en donner une interprétation graphique. Eercice : On considère la fonction f définie par : f() =. a) Montrer que f est continue sur R +. { (+)e / si > 0 0 si = 0 b) Montrer que f est dérivable (à droite) en 0 et que f d (0) = a) Justifier que f est dérivable sur R + et calculer f () pour tout de R +. b) Déterminer la limite de f en +. c) Dresser le tableau de variations de f. Eercice 2:. Soit f la fonction définie sur R\{ } par f() = +. Montrer que pour tout n N, f est de classe C n sur R\{ } et f (n) () = ( )n n! (+) n+. 2. Soit la fonction g définie sur R\{ } par g() = +. Montrer que l on peut trouver deu réels a et b tels que R \ { } g() = a + b + déduire la dérivée n-ième de g pour tout entier n. et en Eercice 3: Montrer que les fonctions suivantes sont de classe C sur leur ensemble de définition et epliciter leurs dérivées.. f() = { + si 0 e si < 0 2. g() = e {e 3 si 0 e + 3. h() = 0 si = 0 Analyse : Chapitre Eercices Page 2 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

3 Eercice 4: On considère la fonction f définie sur R + par f() = 2 +3 ln.. Dresser le tableau de variations de f. 2. Étudier la conveité de f et déterminer les coordonnées du ou des points d infleion. 3. Déterminer les coordonnées du ou des points de la courbe représentative de f, C f présentant une tangente horizontale. 4. Tracer l allure de C f. (On donne 2 0,7) Eercice 5: Soit la fonction f définie sur ] ;+ [ par f() = Montrer que f est bijective. On note f sa bijection réciproque. Préciser le domaine de définition de f 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse Quel est l ensemble de dérivabilité de f 5. La courbe représentative de f admet-elle une tangente au point d abscisse? 6. Dresser les tableau de variation de f et f. 7. Tracer sur le même graphique l allure des courbes représentatives de f et f Analyse : Chapitre Eercices Page 3 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

4 Eercice : Correction. On a lim (ln)3 =, lim 3 2 = 0 et lim = ( Donc par somme, lim 3 2 +(ln) 3 ) = Ona lim ln(e +) = 0 et lim ln = + doncpar quotient de limites lim 3. D après la règle sur les limites des fractions rationnelles on a lim 3 Donc lim 2 + = 0. ln(e +) ln = = Effectuons le changement de variable X = 2. On a alors e2 3 = 4eX 2 3X2. Or lorsque + on a e X X + et d après les croissances comparées lim X + X = +. 2 e 2 Donc lim 3 = + 2 Dans une épreuve de concours s il n est pas demandé eplicitement de détailler le calcul, on peut répondre directement à ce calcul de limite grâce à l argument des croissances comparées. e (ln) = 4 (ln) e3 4 e. D après les croissances comparées lim Donc par produit lim e 3+ (ln) 4 = +. Même remarque que pour la question précédente. = + et lim (ln) 4 e 3 = Nous avons ici affaire à une forme indéterminée du type +, le plus souvent, pour contourner ce problème il faut identifier le terme de la somme qui est le plus fort, et le mettre en facteur. e 3 ( e 3 = e + e2 2 + ) ( = e 2 e ). e 2 e 2 e 2 e 2 e 2 Par composition de limite lim 3 = 0, par produit de limites lim = 0 et par croissances comparées lim = 0. Donc lim e ) e 2 ( e 2 = et par produit e 2 e 2 e (e 2 3 ) =. + e2 lim 7. La méthode est ici semblable à celle de la question précédente. Il faut au numérateur et au dénominateur mettre le terme le plus fort en facteur. Attention on ne met pas forcément le même terme en facteur au numérateur et au dénominateur. ln+ = (ln/+ /) ln+e ln(+e /ln) = ln ln +. + e ln Grâceaucroissances comparéeetàdeslimitesusuelles ona lim e et lim + ln =. ln ln = +, lim + = Analyse : Chapitre Eercices Page 4 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

5 Donc lim ln+ ln+e = On rappel que si a est un réel strictement positif et b un réel quelconque, alors a b = e bln(a). On a donc = e ln() ln(). Or d après les croissances comparées, lim = 0. En conclusion lim =. 9. Si on pose f() = e 2, on remarque que e2 = f() f(0). 0 Comme f est la composée de la fonction eponentielle et d un polynôme, f est dérivable en 0 donc : f() f(0) lim = f (0). Or f () = 2e 2 donc f (0) = On a donc lim Or lim 0 e = = ( 2 ) ( ) ( )( ) = + donc lim = (2 ) ( ) = (2 ) ( ) = = +. ( )( ) = = (2+)2 ( ) = Or lim = + donc lim = 0. Eercice 2:. lim a() = + car d après les croissances comparées lim a() e e ( 2 /e +) (+/) = + et lim e /e e = 0. e 2 /e + +/ lim +/ = +. Donc la courbe représentative de a admet, en +, une branche parabolique de direction l ae des ordonnées. 2 (+e / 2 ) / 2 lim a() (+/) +e =. (opération sur les limites) +/ Analyse : Chapitre Eercices Page 5 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

6 lim a() +e / 2 +/ =. e lim a() Donc la courbe représentative de a admet, en, une asymptote d équation y =. + e ( e 2 ) (e / ) (/+) e 2 e / +/ =. 2. lim b() e (+e 2 ) =. +e 2 Donc la courbe représentative de b admet en + asymptote d équation y =. e (e 2 ) e (e 2 +) e 2 e 2 + =. lim b() Donc la courbe représentative de b admet en asymptote d équation y =. 3. lim c() ln 2 (+ln/) (+/) +ln/ +/ = + car d après les croissances comparées lim = 0. c() lim +ln/ ln = car d après les croissances comparées lim +/ = 0. ln ln( /ln) lim c() + (/+) ln /ln +/ = +. Donc la courbe représentative de c admet une branche parabolique de direction la droite d équation y =. Eercice 3:. f est une fonction définie sur R + car 2 + ne s annule pas sur ]0;+ [. Les fonctions, 2 et sont continues sur ]0;+ [ donc les fonctions + et 2 + sont continues sur ]0;+ [. Comme de plus 2 + ne s annule pas sur cet intervalle, f est continue par quotient de fonctions continues sur ]0; + [. En 0 on a f(0) =. (/ +) (2 / +) = De plus lim f() On a donc lim f() = f(0) ce qui signifie que f est aussi continue en f est donc continue sur R g est définie sur [ ;]. Les fonctions, + et sont continues sur [ ;]\{0} donc les fonctions et + sont continues sur [ ;]\{0}. Comme de plus ne s annule pas sur cet ensemble, g est continue par quotient de fonctions continues sur [ ;]\{0}. En 0 on a g(0) =. ( De plus lim g() 0 0 lim = + )( ++ ) ( ++ ) 0 On a donc lim 0 g() = g(0) ce qui signifie que g est aussi continue en 0. g est donc continue sur [ ;]. Eercice 4: D a =]2;+ [ et on voit facilement que a est continue sur D a. 2 2 De plus lim a() 2 = Donc a est prolongeable par continuité en 2 en posant a(2) = 0. 2 ( ++ ) = Analyse : Chapitre Eercices Page 6 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

7 Pour trouver le domaine de définition de b il nous faut résoudre = 0. On remarque que est une solution évidente. Grâce à une division euclidienne on a = ( )( 2 ) = ( )( )(+). Ainsi les solutions de l équation sont et. Donc on a D b = R\{ ;} et b est bien continue sur D b. De plus lim 0 b() ( ) 2 (+) ( )(+) = ± Donc b n est pas prolongeable par continuité en. On a D c = [2;4[ ]4;+ [ et c est bien continue sur D c. De plus : ( 2+ 3)( 2++3)( 2+ 2) lim c() 0 4 ( 2 2)( 2+ 2)( 2++3) (2 8)( 2+ 2) 4 ( 4)( 2( 2+ 2) = ) Donc c est prolongeable par continuité en 4 en posant c(4) = Eercice 5: On pose g() = f(). On cherche donc à savoir s il eiste 0 tel que g( 0 ) = 0. Par différence de fonctions continues, g est continue sur [0; ]. De plus g(0) = f(0) 0 et g() = f() 0 car on sait que f() [0;]. Donc d après le théorème des valeurs intermédiaires il eiste bien 0 [0;] tel que g( 0 ) = 0. Il eiste bien 0 [0;] tels que f( 0 ) = 0. Eercice 6: Les fonctions e e et e +e sont continues sur R et comme e +e ne s annule pas sur R (eponentielle positive) par quotient de fonctions continues, f est continue sur R. f est aussi dérivable sur R et f () = (e +e ) 2 (e e ) 2 (e +e ) 2 = 4 (e +e ) 2 > 0 Donc f est strictement croissante sur R. D après le théorème de bijection monotone, f réalise donc une bijection de R sur f(r) =]lim f;lim f[. + De plus lim f = et lim f =. (cf. e 2) + f réalise une bijection de R sur J = ] ;[. Eercice 7: On considère la fonction définie sur ];+ [ par f() = lne 3. Montrons que f est bijective. f est continue sur ];+ [ comme somme de fonctions continues sur ];+ [. f est dérivable sur ];+ [ et f () = e +lne + > 0 (somme de termes strictement positifs). 2 Donc f est strictement croissante sur ]; + [. D après le théorème de bijection monotone, f réalise donc une bijection de ]; + [ sur J = f(];+ [) =]lim f;lim f[=] 4;+ [. + Comme 0 J, 0 admet un unique antécédent α par f. Cela signifie qu il eiste un unique réel α ];+ [ tel que f() = 0 lne 3 =. Analyse : Chapitre Eercices Page 7 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

8 Eercice 8: On considère la fonction f définie sur R + par f() = 3. Montrons que f est bijective. 2 + f est continue sur R + comme quotient de fonctions continues sur R + et dont le dénominateur ne s annule pas. f est aussi dérivable sur R + et f () = 32 ( 2 +) 3 2 = ( 2 +) 2 ( 2 +) 0. Comme 2 f ne s annule qu en 0 et est positive, f est strictement croissante sur R +. D après le théorème de bijection monotone, f réalise donc une bijection de R + sur f(r + ) = [f(0);lim f[= [0;+ [. + On cherche ici à résoudre l équation f() =. Comme R + = f(r + ), admet un unique antécédent α par f. Cela signifie qu il eiste un unique réel α R + solution de f() = =. De plus f(0) = 0 et f(2) = 8. On a donc 5 f(0) f(2) f(0) f(α) f(2) f (f(0)) f (f(α)) f (f(2)) car f est strictement croissante 0 α 2 Eercice 9:. f est définie sur R car e 2 ne s annule pas sur R. Les fonctions 2, e et e 2 sont dérivables sur R donc les fonctions 2 e et e 2 sont dérivables sur R. Comme de plus e 2 ne s annule pas sur cet ensemble, f est dérivables sur R par quotient de fonctions dérivables sur R. En 0 on a f(0) = 0. Donc lim 0 f() f(0) 0 0 e e e e 2 2 = 2 f() f(0) On a donc lim 0 0 f est donc dérivable sur R. qui est finie donc f est dérivable en 0 et f (0) = 2 2. h est définie sur [ ;+ [ car ne s annule pas sur [ ;+ [\{0} et + est positif sur [ ;+ [. Les fonctions et + sont dérivables sur [ ;+ [\{0} et ne s annule pas sur cet ensemble, donc h est dérivable sur [ ; + [\{0} par quotient de fonctions dérivables sur [ ;+ [\{0}. Astuce : commencer par vérifier la continuité en 0. On a : lim h() 0 0 ( + )( ++) ( ++) 0 ( ++) 0 ++ = 2 4 Donc h n est pas continue en 0 et donc ne peut pas être dérivable en 0. h est donc dérivable uniquement sur [ ; + [\{0}. Analyse : Chapitre Eercices Page 8 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

9 Eercice 0:. Les fonctions 2, et ln() sont continues sur R + donc, par produit et somme, f est continue sur R +. On a f(0) = et lim f() = car lim ln = Donc lim f() = = f(0) ce qui signifie que f est continue en f est donc continue sur R Les fonctions 2, et ln() sont dérivables sur R + donc, par produit et somme, f est dérivable sur R On a : lim 0 + f() f(0) 0 ln() = f() f(0) Donc f n est pas dérivable en 0 mais comme lim = + on peut dire que la courbe représentative de f admet en 0 une demi-tangente verticale. Eercice :. a) Les fonctions + et e / sont continues sur R + donc, par produit, f est continue sur R +. On a f(0) = 0 et lim f() (+)e / = 0 car lim =. Donc lim f() = 0 = f(0) ce qui signifie que f est continue en f est donc continue sur R +. f() f(0) b) lim (+) 0 + e / = 0card aprèslescroissances comparées lim 0 + e / = 0. f est donc dérivable à droite en 0 et f d (0) = Les fonctions + et e / sont dérivables sur R + donc, par produit, f est dérivable sur R +. De plus f () = 2 ++ e / On a lim + = + et lim e / = donc lim f() = Pour > 0, f () > 0 donc f est strictement croissante sur R +. On a donc le tableau de variation suivant : 0 + f () + f() 0 + Eercice 2:. Comme + ne s annule pas sur R\{ }, f est de classe C sur R\{ } donc pour tout entier n, f est bien de classe C n sur R\{ }. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : f (n) () = ( )n n! est vraie pour tout entier n. n+ Pour n = 0 : D une part f (0) () = f() = +. (+) Analyse : Chapitre Eercices Page 9 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

10 ( ) 0 0! D autre part (+) = Donc P(0) est bien vraie. Soit n un entier fié. Supposons que P(n) est vraie. On a alors : Donc P(n+) est alors vraie. f (n+) () = (f (n) ) () = ( ) n n! (n+) (+) = ( )n+ (n+)! n+2 (+) n+2 On a donc montré que pour tout entier n, f (n) () = ( )n n! (+) n+. 2. On remarque que a+ b + = a+a+b. On peut donc choisir a = et b = 2. + Ainsi on a g() = Donc pour tout entier n non nul, on a g (n) () = 2 ( )n n! (+) n+ Eercice 3:. La fonction + est de classe C sur ]0;+ [ et la fonction e est de classe C sur ] ;0[. Donc f est de classe C sur R. On a de plus lim f = = f(0) f donc f est continue en f est continue sur R. Pour tout > 0 on a f () = et pour tout < 0, f () = e. Donc lim 0 + f = 0 f D après{ le théorème de prolongement des fonctions de classe C f est de classe C sur R et on a f si 0 () = e si < Les fonctions e et e + sont de classe C sur R et e + ne s annule pas sur R. Par quotient de fonctions de classe C, g est donc de classe C sur R. On a de plus g 2e () = (e +) Lesfonctions et e 3/ sontdeclassec surr doncparproduith est de classe C sur R. On a de plus lim h = 0 = h(0) h car lim e 3/ = 0. Donc h est continue en 0. h est continue sur R. ( Pour tout > 0 on a h () = + 3 ) ( e 3/ et pour tout < 0, h () = 3 ) e 3/. Donc, grâce au croissances comparées, lim h = 0 h D après le( théorème de prolongement des fonctions de classe C h est de classe C sur R et on a + 3 ) e 3/ si 0 h () =. 0 si = 0 Analyse : Chapitre Eercices Page 0 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

11 Eercice 4:. f est dérivable sur R + et f () = 2+3 = = ( 2+)( ). ( De plus lim f() = + et lim f() ln ) = car grâce au croissances comparées lim ln =. 2 On a donc le tableau de variations suivant : 0 /2 + f () f() + 5 +ln f est de classe C 2 sur R + et f () = 2+ = 22. ] ] 2 ] 2 Donc sur 0; ], f est convee et sur 2 2 : +, f est concave. f ne s annule qu en = et f change bien de signe en ce point là. 2 ) 2 Doncf admetunpointd infleion,lepointdecoordonnées(,f(/ 2) = ( 2, ln2 ) 3. C f présente une tangente horizontale lorsque f () = 0 c est-à-dire lorsque = ou = ( 2. Les point où C f présente une tangente horizontale sont les points de coordonnées 2, 5 ) 4 +ln2 (,2). 4. Courbe : y et 0 Analyse : Chapitre Eercices Page Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

12 Eercice 5: Correction rapide. f est continue et strictement décroissante (f () = ]0;+ [. f est définie sur ]0;+ [. 2. y = (+ 3 ) 3/2) donc bijection de ] ;+ [ sur 3. Comme f(2) = 3, le point d abscisse 3 de la courbe de f est le symétrique par rapport à la droite d équation y = du point d abscisse 2 de la courbe de f. Comme la tangente à la courbe de f au point d abscisse 2 a pour équation y = , la tangente à la courbe de f au point d abscisse 3 a pour équation : = 2 4. Là où f ne s annule pas : donc sur ]0;+ [\{}. 9 y y = La courbe de f admet une tangente horizontale au point d abscisse 0 et comme f(0) =, la courbe de f admet une tangente verticale au point d abscisse. 6. Courbes : y C f C f 0 Analyse : Chapitre Eercices Page 2 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité