Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine

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1 Titre du dossier : Calculs de dérivées Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Société : Ecole de la deuième Chance Marseille Mots clés : Maths, math, mathématiques, ceinture rouge, degré 3, FR_MA_RO_3_, Calcul de dérivées, équation de la tangente, sens de variation, etremums. Commentaires : Ce dossier doit permettre de calculer des dérivées, de donner l équation de la tangente à la courbe, de donner le sens de variation et d étudier les etremums. Date de création : mars 2003 Date de modification : 5 juin 2008 Nom du fichier : Calculs_de_derivees.doc Site : e2c-marseille.net

2 Ecole de la Deuième Chance MARSEILLE 360, Chemin de la Madrague Ville 305 Marseille & : : NOM : PRENOM : SESSION : GROUPE : 3 LA FONCTION DERIVEE NIVEAU : IV CEINTURE : rouge DEGRE : 3 COMPETENCES EXIGIBLES : - Calcul de dérivées - Equation de la tangente - Sens de variation - Etudier les etremums DATE D EVALUATION : ACQUIS EN VOIE D ACQUISITION NON ACQUIS 2

3 DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE..Tangente et nombre dérivé Au origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente d'une droite particulière à une courbe qu'on appelle la tangente. La pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque b tend vers a du quotient Cette pente est aussi appelée nombre dérivé de la fonction f en a. Il est noté f'( a ). Quand il eiste, on dit que la fonction f est dérivable en a. Définition : Dire que la fonction f est dérivable en 0 signifie que la limite lorsque tend vers 0 du quotient : f ( ) f ( 0 ) eiste et qu'elle est finie. 0 Lorsque c'est le cas, elle porte l'appellation de nombre dérivé de la fonction f en 0. Il est noté f'( 0 ). f Autrement écrit : f'( 0 ) = lim, ( ) f ( ) La dérivation par la pratique Déterminons le nombre dérivé en = de la fonction f définie par : f() = 2² + Pour trouver ce nombre, nous allons suivre la définition d'un nombre dérivé : nous allons f ( ) f () étudier la limite lorsque tend vers du quotient f ( ) f () Donc lorsque tend vers, le quotient tend vers 2 ( + ) = 4. Conclusion : La fonction f() = est dérivable en =. Le nombre dérivé de cette fonction en vaut 4 : f '() = 4. 3

4 .2. Fonction dérivée. Imaginons qu'une fonction f soit dérivable sur tout un ensemble I. Cela signifie que tout réel de cet ensemble I, il eiste un nombre dérivé f '(). C'est ainsi que l'on construit la fonction dérivée de la fonction f. Définition : f est une fonction dérivable sur un ensemble I (autrement écrit, f est dérivable en tout réel de cet ensemble). La fonction dérivée de la fonction f est la fonction notée f ' et définie pour tout réel de I par : f ' : Nombre dérivé de f en.3. Equation d'une tangente Théorème : Si la fonction f est dérivable en 0 alors la courbe de la fonction f admet au point M( 0 ; f ( 0 )) une tangente dont l'équation réduite est : y = f '( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) Eemple : Soit la fonction f est définie par : f () = Déterminons l'équation de la tangente Δ à sa courbe en 0 = f () = 3 f '() = 4 L'équation réduite de la droite Δ est donc : y = f '( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) = 4( ) + 3 = 4 II. DERIVEES USUELLES Fonction Dérivée Ensemble de dérivation k 0 ] - ; + [ ] - ; + [ 2 2 ] - ; + [ ] - ; + [ n n n ] - ; + [ ] - ; 0 [ ] 0 ; + [ ² ] 0 ; + [ 2 4

5 III. OPERATIONS SUR LES DERIVEES Fonction Dérivée Eemple au n a.n.u n u + v u + v 2 uv u v + uv 3 u' 4 u u² u u'. v u. v' 5 v v² Eemples : Eemple : f() = 7 5 La dérivée de la fonction 5 est égale à 5 4. D'où : f'() = 7 ( 5 )' = 7 (5. 4 ) = 35 4 Eemple 2 : f() = Les dérivées des fonctions 3, 2 et 3 sont respectivement 3 2, 2. et 0. f '() = (7 3 )' (3 2 )' + (3)' = 7 ( 3 )' 3 ( 2 )' + (3)' = 7 (3 2 ) 3. (2) + 0 = Eemple 3 : f() = ( 3 +). ( 2 ) Pour calculer la dérivée de cette fonction f, on a le choi entre un développement ou appliquer la formule. La fonction f est le produit des fonctions : u() = 3 + dont la dérivée est 3 2 v() = 2 dont la dérivée est 2 2 f '() = u(). v'() + u'(). v() = ( 3 +)(2) + ( 2 )(3 2 ) = = Eemple 4 : f() = ² + Cette fonction est l'inverse de la fonction u() = 2 + dont la dérivée est 2 5

6 2 + Eemple 5 : f() = ² + La fonction f est le quotient des fonctions : u() = 2 + dont la dérivée est 2 v() = 2 + dont la dérivée est 2 IV. DERIVEE ET VARIATION Le grand intérêt de la dérivée est que son signe permet de connaître le sens de variation de la fonction initiale. C'est l'objet du théorème suivant : Théorème : La fonction f est dérivable sur l'intervalle I Si sa dérivée f ' est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I Si sa dérivée f ' est nulle sur I alors f est constante sur I Si sa dérivée f ' est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I Eemple : voyons ce qu'il en est avec la fonction sinus. En =, la fonction sinus est croissante. La pente de la tangente est positive. En = π/2, la fonction n'est ni croissante, ni décroissante. La pente de la tangente est nulle. En = 3, la fonction sinus est décroissante. La pente de la tangente est négative. Eemple : ² + 6 Soit f() = ( ) La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est définie là où son dénominateur est non nul. C'est-à-dire partout sauf en D f = ] - ; [ ] ; + [ 6

7 Dans le cas présent, nous nous intéressons au limites de f en l infini et au voisinage de. Limites au infinis Les limites de f au infinis sont : Comme pour tout réel différent de, la droite D d'équation y = est une asymptote à la courbe de f au voisinage de l infini Limites en La droite verticale D' d'équation = est donc une asymptote verticale à la courbe de la fonction f Pour tout réel différent de, on a donc que : Sous cette forme, la dérivée f' est ineploitable car ce qui nous intéresse est don signe. Nous devons donc factoriser le numérateur Cela se fait tout seul en utilisant les formules du trinôme. On obtient : = ( + 3)( 5) Au final, pour tout réel différent de : Nous voulons connaître le signe de f'(). Nous allons donc dresser son tableau de signes. Théorème : f est une fonction dérivable sur l'intervalle ] a ; b [. 0 est un réel de cet intervalle. Si f admet un maimum ou un minimum local en 0 alors f'( 0 ) = 0 7

8 V. APPLICATION DE LA DERIVATION Soit f une fonction définie sur un intervalle I et c un réel de I distinct des etrémités. On dit que f admet un maimum local ( resp. minimum local ) en c si f ( c ) est le maimum ( resp. minimum ) de f restreinte à un intervalle ouvert contenant c. 5.. DERIVEE ET SENS DE VARIATION 5... DU SENS DE VARIATION AU SIGNE DE LA DERIVEE Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est croissante sur I, alors pour tout de I, f ( ) 0 Si f est décroissante sur I, alors pour tout de I, f ( ) 0 Si f est constante sur I, alors pour tout de I, f ( ) = DU SIGNE DE LA DERIVEE AU SENS DE VARIATION : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout de I, f ( ) 0, alors f est croissante sur I. Si pour tout de I, f ( ) 0, alors f est décroissante sur I. Si pour tout de I, f ( ) = 0, alors f est constante sur I. E : Soit f la fonction définie sur IR par f : f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur IR et pour tout réel, f ( ) = 3 ² - f ( 0 ) = 0 - Pour tout réel 0, f ( ) > 0. Ainsi f est strictement croissante sur IR. On résume ces résultats dans un tableau de variation : f ( ) f ( ) 9 Attention : Il est fondamentale de se placer sur un intervalle. E : La fonction inverse f : est définie et dérivable sur ] - ; 0 [ ] 0 ; + [ Et pour tout réel 0, f ( ) =, ce qui est strictement négatif sur IR *. ² Comme vous le savez f n est pas décroissante sur IR * ; elle l est indépendamment sur ] - ; 0 [ et sur ] 0 ; + [ 5.2. EXTREMUM D UNE FONCTION LA NOTION D EXTREMUM LOCAL ( ou relatif ) Cf a O c d e g b Sur l intervalle [ a ; b ], la fonction f représentée cicontre admet un maimum en e et un minimum en d. «Autour» de c et de g, on remarque que le comportement de f n est pas banal On constate que localement (? ) f admet un maimum en c et un minimum en g. Plus précisément : 8

9 Remarque sur les etrémités : Sur un intervalle fermé [ a ; b ], on peut définir un etremum local en a ou en b. Par eemple, dire que f ( a ) est un maimum local signifie que f ( a ) est le maimum de f sur un intervalle [ a ; α [, où α b. Les fonctions que nous étudierons cette année admettront toujours un etremum en a et en b, mais ce n est pas toujours le cas QUEL LIEN AVEC LA DERIVATION? On admet : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I. Si f admet un etremum local en c, alors f ( c ) = 0. y f ( c ) C Cf Conséquences graphiques : On a f ( c ) = 0, ainsi le coefficient directeur de la tangente à Cf en C est nul ; la tangente est horizontale. 0 c Rem : Il est important que I soit ouvert. E : f : ² et I = [ 0 ; ], f ( ) = est le maimum de f sur I et pourtant f ( ) = 2 Une fonction non dérivable en un réel, peut admettre un etremum en ce réel. E : Pensez à la fonction valeur absolue qui n est pas dérivable en 0 La réciproque de ce théorème est fausse. ( Si f ( c ) = 0, on n a pas forcément un etremum en c ) E : f : 3, f ( 0 ) = 0 et pourtant f ( 0 ) n est pas un etremum local de f Pour fier les idées, on choisit les etremums éventuels de f parmi les réels c vérifiant : - c est une borne de I, - c est un réel où f n est pas dérivable, - c est un réel où f est dérivable et tel que f ( c ) = 0 mais comment choisir? Deu configurations à retenir : Supposons que l on puisse etraire du tableau de variation d une fonction une telle configuration c c f ( ) 0 f ( ) + 0 f ( c ) f ( ) f ( c ) f ( ) La dérivée s annule et change de signe il semble que l on soit en présence d un etremum local. On admet : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I. Si la dérivée f s annule en c en changeant de signe, alors f ( c ) est un etremum local de f sur I. 9

10 VI. Eercices Eercice Fonction initiale Fonction dérivée f() = f '() = f() = ² f '() = f() = 7² f '() = f() = -3 ² f '() = f() = (3 + )² f '() = f() = 3-3 f '() = f() = 4 + 5² f '() = f() = + 2 5,6 f '() = f() = 2 ², 45 f '() = f() = - 45 ² 0,5 4 f '() = Eercice 2. Dérivée d'une fonction : Rechercher les dérivées des fonctions f définies par f() = f() =

11 f() = (réécrire sous la forme d'une somme de deu fonctions) ² 2 f() = Tableau de variation d'une fonction et recherche des etremums : Soit la fonction f définie sur l'intervalle [ 3 ; 4] par f() = 2 2. Construire le tableau de variation de f Quel est le maimum de la fonction g définie sur [ 3 ; 5] par g() = 0,5 ² Rechercher les etremums de la fonction h définie sur [ 4 ; ] par h() = 0,2 3 + ² + 2 Montrer que la fonction f définie sur [ 3 ; 6] par f() = 2 ² passe par un minimum dont on précisera les coordonnées.

12 3. Etude de fonction On considère la fonction f définie sur]0 ; 0] par f() = ² 5 + Réécrire f() sous la forme d'un somme de 2 fonctions. Calculer f '() où f ' désigne la dérivée de f. Rechercher dans l intervalle] 0 ; 0] pour quelle valeur de la dérivée f ' s'annule. Dresser le tableau de variation de f Construire la courbe Χ représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 2

13 y O 3