CLASSE DE SECONDE ACTIVITES GEOMETRIQUES. TRIANGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMBLABLES.

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1 LSSE E SEONE TIVITES GEOMETRIQUES. TRINGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMLLES. 1. L isométrie. 1.1 éfinition de l isométrie. Une isométrie du plan est une transformation du plan qui conserve les longueurs. tout point M fixé, la transformation associe M appelé «point image de M» 1.2 Propriété : Les translations, les symétries centrales, les réflexions, les rotations sont des isométries. 1.3 Propriétés des isométries ; Les isométries conservent les distances, les mesures d angles géométriques et les aires. Les isométries conservent les intersections, l alignement, le parallélisme et l orthogonalité. 2. Image d un point par une isométrie. 2.1 La translation éfinition. Soit la translation de vecteur notée t : M M ' tel que MM ' = t. onséquence : M M est un parallélogramme. M M' ssociation de la translation à une configuration. On donne parallélogramme de centre O On a : () // () = Les couples (,) et (,) sont dans le même sens O Les points,, et sont donc reliés par la translation de vecteur Les points et d une part, et d autre part sont liés par la symétrie de centre O. u mot parallélogramme, on peut donc associer : Une translation Une symétrie centrale. lasse de seconde 1

2 TRINGLES ISOMETRIQUES ET TRINGLES SEMLLES 2.2 La réflexion (ou symétrie axiale) éfinition. Par une symétrie axiale d axe () : Si M ( Δ ), alors M = M Si M ( Δ ) alors ( Δ ) est la médiatrice du segment [M ]. M M' 2.3 ssociation de la réflexion à une configuration. Il s agit d interpréter l affirmation : est un triangle isocèle en. Soit I le milieu de []. Que peut-on dire des points et I? Que peut-on dire de la droite ( Δ) passant par les points et I? I Que peut-on dire des points et par rapport à ( Δ )? Quelles sont les images des points et I? onclusion : u mot triangle isocèle, on associe une symétrie axiale. 3. La rotation. 3.1 éfinition. Par une rotation de centre O, d angle α et de sens positif, ou de sens négatif : Si M = 0, alors M = O (le centre de la rotation est invariant) Si M O, alors OM = OM 1 et MOM ' = α si on tourne dans le sens positif. ou OM = OM 2 et MOM ' = α, si on tourne dans le sens négatif 2

3 LSSE E SEONE TIVITES GEOMETRIQUES. 3.2 ssociation de la rotation à une configuration. On considère un triangle équilatéral.. onsidérons le sommet comme point fixe. Puisque = et que = 60, on peut dire que est l image de par quelle transformation? onclusion : u mot triangle équilatéral, on associe le mot rotation. Remarque, comme point fixe on aurait pu choisir ou! EXERIE 1 chercher est un carré, et les triangles I et J sont équilatéraux. Soit K le point tel que K soit équilatéral. En utilisant une rotation d angle bien choisie, de centre et de sens à définir, démontrer que les points, I et J sont alignés. lasse de seconde 3

4 TRINGLES ISOMETRIQUES ET TRINGLES SEMLLES EXERIE 2 chercher ompléter les affirmations suivantes par une figure et une conclusion. On sait que M est l image de M par une transformation. uuur 1. Si M est l image de M par la translation de vecteur, alors. 2. Si M est l image de M par un quart de tour de centre O, alors MOM est un 3. Si M est l image de M par une rotation de centre O et d angle 60, alors OMM est un 4. On sait que les point M est l intersection de deux lignes. Où sera son image M? 5. Où sera l image d une droite () de façon générale? 4

5 LSSE E SEONE TIVITES GEOMETRIQUES. 6. Où sera l image de la droite () si la transformation est une translation ou une symétrie centrale? (s aider d un point M de la droite ()) 7. eux triangles rectangles isocèles sont disposés comme l indique la figure ci-contre et on note R le quart de tour direct de centre. a. Quelles sont les images de et par R? b. En déduire que les droites () et (E) sont perpendiculaires. lasse de seconde 5

6 TRINGLES ISOMETRIQUES ET TRINGLES SEMLLES 4. Les triangles isométriques. 4.1 éfinition. es triangles isométriques sont des triangles qui ont leurs côtés deux à deux de même longueur. O Exemple : ans le parallélogramme, de part les propriétés du parallélogramme (côtés opposés égaux et diagonales se coupant en leur milieu) les triangles O et O sont isométriques. 4.2 Propriété : eux triangles isométriques ont leurs angles deux à deux de même mesure. 4.3 omment reconnaître deux triangles isométriques? On pourra dire que deux triangles sont isométriques lorsque l on reconnaît l une des situations suivantes : Les côtés des deux triangles sont deux à deux égaux. Les deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux. Les deux triangles ont un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux. 6

7 LSSE E SEONE TIVITES GEOMETRIQUES. 5. Les isométries dans les problèmes. 5.1 Se souvenir que : Les translations, les rotations, les symétries centrales et axiales sont des isométries. L image d un triangle par une ou plusieurs isométries est un triangle isométrique. 5.2 Utiliser une translation pour démontrer. Une translation transforme un triangle en un triangle isométrique. et EF sont deux parallélogrammes non confondus. Montrer que F = E. Solution guidée : uuur onsidérons la translation de vecteur est un parallélogramme, donc : F E EF est un parallélogramme, donc : Par la translation tuuur : a a F a L image du triangle F est le triangle.. onclusion : Les deux triangles F et E sont. Puisque l image du segment [F] est le segment [E], alors 5.3 Utiliser une symétrie axiale pour démontrer. est un triangle isocèle en. Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [] et []. Montrer que les triangles I et J sont isométriques. Solution guidée : La médiatrice (Δ) du segment [] est axe de symétrie du triangle. J I Le point est sur l axe de symétrie, et de plus une isométrie conserve les milieux. onc dans la symétrie d axe ( ) : a lasse de seconde 7

8 TRINGLES ISOMETRIQUES ET TRINGLES SEMLLES a J a Les triangles I et J sont images l un de l autre par. La symétrie axiale étant une isométrie, ces deux triangles sont 6. Les triangles semblables. 6.1 éfinition. eux triangles semblables sont des triangles qui ont des angles deux à deux égaux. Les angles égaux sont appelés angles homologues. F et et E sont des angles homologues et F$ E Les côtés situés en face d angles homologues sont des côtés homologues. Leurs longueurs sont dans le même rapport. insi : il suffit d écrire les triangles en plaçant l un en dessous de l autre les angles homologues, et de composer les segments en prenant les lettres dans le même ordre. Triangle Triangle EF E EF F Les côtés homologues étant dans le même rapport, on écrira : = = = k E EF F 6.2 Propriétés : es triangles semblables sont aussi appelés triangles de même forme. eux triangles semblables à un troisième sont semblables entre eux. eux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs des côtés de l un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l autre. Le coefficient k trouvé est un coefficient d agrandissement (si k > 1) ou de réduction (si k < 1) 6.3 omment reconnaître si deux triangles sont semblables? Il faut retenir les trois cas de similitude suivants : 1. eux triangles sont semblables s ils ont deux angles égaux (les troisièmes angles sont alors forcément égaux). 2. eux triangles sont semblables s ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels. 3. eux triangles sont semblables s ils ont leurs côtés deux à deux proportionnels. 8

9 LSSE E SEONE TIVITES GEOMETRIQUES. 6.4 Triangles semblables particuliers. eux triangles isométriques sont semblables : ils ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d angles. eux triangles sont semblables s ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels. eux triangles équilatéraux sont semblables, car leurs angles sont tous égaux à 60 eux triangles rectangles et isocèles sont semblables, car leurs angles sont égaux deux à deux. eux triangles rectangles ayant un angle aigu de même mesure sont semblables. EXERIE 3 chercher. est un triangle quelconque. E est un point du segment [] et un point du segment [] tel que : E = Montrer que les triangles E et sont semblables. E est un triangle rectangle en et H le pied de la hauteur issue de sur []. Montrer que cette configuration contient trois triangles rectangles semblables. H lasse de seconde 9

10 TRINGLES ISOMETRIQUES ET TRINGLES SEMLLES 6.5 ires et triangles semblables. Si et EF sont deux triangles semblables et si k est le rapport de réduction ou d agrandissement qui permet de passer des longueurs de à celles de EF, alors k² est le rapport qui permet de passer de l aire de à celle de EF. 6.6 Reconnaître des triangles semblables. eux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs des côtés de l un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l autre. Il faut donc rechercher une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés des deux triangles. On peut s aider d un tableau. EXERIE 4 chercher. et sont deux triangles définis à l aide de la figure ci-dessous. es triangles ont-ils la même forme? 4,8 cm 4,0 cm 5,0 cm 3,2 cm 6,0 cm 10