Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n

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1 Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n 1 E1 Savoir travailler avec une réflexion. P 229 n 18. ABC est un triangle isocèle en A. d est son axe de symétrie. E est le point d'intersection de la perpendiculaire à ( AB ) en B et de d. 1. Image de ( BE ) par la réflexion d'axe d. notons f la réflexion d'axe d. alors f ( B ) = C car le segment [ BC ] est la médiatrice de d. et f ( E ) = E car E est un point de l'axe de la réflexion. Or l'image d'une droite et est une droite par la réflexion d'axe d. Donc l'image de la droite ( BE ) est la droite ( CE ). 2. Les droites ( BE ) et ( AB ) sont perpendiculaires. L'image de la droite ( BE ) par f est la droite ( CE ). L'image de la droite ( AB ) par f est la droite ( AC ) car A d et f ( B ) = C. Or par une réflexion d'axe d les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires. Donc les droites ( CE ) et ( AC ) sont perpendiculaires.

2 Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n 2 P 234 n 36. et ' sont deux droites sécantes en O. d et d' sont les bissectrices des angles formés par ces deux droites. M est un point de. 1. N est l'image de M par le réflexion d'axe d. P est l'image de M par la réflexion d'axe d'. Voir construction ci-dessus. 2. N est l'image de M par la réflexion d'axe d donc ( MN ) d. P est l'image de M par la réflexion d'axe d' donc ( MP ) d'. Or d et d' sont les bissectrices des angles formés par ces deux droites. Donc d d'. Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc ( MN ) // d'. Or si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc ( MN ) ( MP ). Autrement dit le triangle PMN est un triangle rectangle en M.

3 Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n 3 P 234 n 39. ABC est un triangle isocèle en A. H est le projeté orthogonal de A sur [ BC ]. M est un point du segment [ AH ] distinct de A et de H. La droite ( BM ) coupe la droite ( AC ) en I. La droite ( CM ) coupe la droite ( AB ) en J. s est la réflexion d'axe ( AH ). 1. a. s ( B ) = C car ABC est isocèle en A. s ( M ) = M car M ( AH ). or l'image d'une droite par une réflexion est une droite. Donc l'image de la droite ( BM ) par la réflexion s est la droite passant par ( CM ). Autrement dit la droite ( CJ ) est l'image de la droite ( BI ) par la réflexion s. 1. b. s ( A ) = A s ( C ) = B Donc l'image de la droite ( AC ) est la droite ( AB ) par la réflexion s. 1. c. I = ( AC ) ( BM ) donc l'image de I est l'intersection des droites ( AB ) et ( CM ) c'est à dire J. 2. l'image d'un segment par une réflexion est un segment de la même longueur. Or s ( B ) = C et s ( J ) = I donc l'image du segment [ BJ ] est le segment [ IC ] et on a BJ = IC Autrement dit BJIC est un trapèze isocèle.

4 Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n 4 P 235 n 43. ABCD est un carré. I est le milieu de [ BC ]. d est la droite ( AI ). s est la réflexion d'axe d. 1. Tracé du cercle C de centre A passant par B et du cercle C ' de centre I et passant par B. Ces deux cercles se coupent en B'. B ' C donc AB = AB' B ' C' donc IB = IB' Donc la droite ( AI ) est la médiatrice du segment [ BB ' ]. Donc s ( B ) = B' 2. La droite ( B' I ) recoupe le cercle C ' en C'. Appelons E l'image de C par s et démontrons que E = C'. s ( I ) = I s ( B ) = B ' donc l'image de la droite ( BI ) par s est la droite ( B' I ) or C ( BI ) donc E ( B' I ) D'autres parts C C' donc IB = IC Donc IB' = IE Autrement dit E C ' et E ( B' I ) donc E est confondu avec le point C ' donc s (C ) = C '. 3. voir dessin.

5 Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n 5 P 235 n 46. ABCD est un carré de centre O. ABI et ADJ sont deux triangles équilatéraux extérieurs au carré. s est la réflexion d'axe ( AC ). 1. a ) ÆJAC = ÆJAD + ÆDAC = = 105 car un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60 et car la diagonale d'un carré partage l'angle du sommet en 2 cad 90 / 2 = 45. De la même façon ÆIAC = b ) AI = AB = AD = AJ car les triangles sont équilatéraux et car ABCD est un carré. Donc le triangle IAJ est un triangle isocèle en A. ÆJAC = ÆIAC donc la droite ( AC ) est la bissectrice de l'angle ÆJAI. d'après la propriété : dans un triangle isocèle en un point la hauteur et la bissectrice sont confondues. Donc la droite ( AC ) est la hauteur du triangle JAI. 1. c ) d'après la question 1. B ) ( AC ) ( JI ) et AI = AJ. Donc la droite ( AC ) est la médiatrice du segment [ IJ ] donc s ( I ) = J. 2. a ) s ( I ) = J et s ( D ) = B donc l'image de la droite ( DI ) est la droite ( BJ ). 2. b ) appelons K le point d'intersection de ( DI ) et de ( AC ). Alors s ( K ) = K or l'image de K est aussi sur la droite image de ( DI ) donc K ( BJ ). Donc les trois droites sont concourantes.

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