Modélisation macroscopique des effets capillaires

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1 A1 Modélisation macroscopique des effets capillaires Représentation d un milieux poreux Conservation de la masse fluide Thermodynamique Courbe capillaire Hystérésis

2 Représentation macroscopique du milieu poreux 1 φ GAZ LIQUIDE φs l porosité φ = V pore V nts x Micro SOLIDE degré de saturation S l = V liquide V pore ρ = masse volumique du liquide m = ρφs l = masse de liquide / unité de volume poreux

3 Conservation de la masse n M = Ω mdω M PSfrag t = replacements ωda Ω Ω ag replacements dω da n udt u = vitesse du fluide dω = u ndadt ωda = mdω dt ω = w n avec w = mu

4 Conservation de la masse (suite) Ω t Ω mdω = Ω w nda Ω ments m t = divw on rappelle que divw = w x x + w y y + w z z

5 Thermodynamique systèmes homogènes fermés Premier et deuxième principes : de = δw + δq ds δq T L énergie interne E et l entropie S sont des fonctions d état du système dans le sens qu elles ne dépendent pas de la manière dont le système a été préparé. Elles dépendent de propriétés qui déterminent l état actuel du système : les variables d état. E et S sont des propriétés extensives. Inégalité fondamentale de Clausius-Duhem (Ψ = E T S) T = cste: dψ δw

6 Application aux fluides Pour une masse M (arbitraire, M = 1) de fluide visqueux, les deux premiers principes impliquent l égalité suivante : d(mψ) = pd ( ) M ρ (δw pd ( ) M où ψ est l énergie libre spécifique (i.e. par unité de masse). Cest une fonction de 1 ρ. De même l enthalpie libre spécifique g = ψ + p ρ (ou énergie de Gibbs) est une fonction de p: dg = dp ρ Pour un gaz parfait g = g 0 + RT M ln p p 0 (M = masse molaire). ρ )

7 Équation d état du fluide L équation d état du fluide s écrit : ( 1 g ρ = p ) T Pour un liquide faiblement compressible on obtient en linéarisant ρ ρ 0 ρ 0 = p p 0 K f K f = module de compression du fluide.

8 Gaz réels Pour un gaz parfait : g = g 0 + RT M ln ( p p 0 ) Pour un gaz réel : g = g 0 + RT M ln ( f p 0 ) f = fugacité Énergie de Gibbs, g placements f p Attraction (f < p) Gaz parfait Pression, p Répulsion (f > p) Interactions attractives : g < g parfait (f < p) Interactions répulsives : g > g parfait (f > p)

9 Le VER de milieu poreux est un système thermodynamique ouvert vide liquide dm replacements

10 Thermodynamique (suite) généralisation aux systèmes ouverts Premier principe : dm de = δw ext + δw + δq }{{} de 0 + edm S 0 Second principe : ds δq T + sdm Inégalité fondamentale de Clausius-Duhem (T = cste) : dψ δw ext + δw + ψdm

11 Le potentiel chimique Cas d un système idéal (pas de forces d interactions solide-liquide) : on a dψ δw ext + (ψ + p ρ ) dm }{{} g δw = p dm ρ Cas général (interaction électrostatique, etc... ) on pose δw + ψdm = µdm µ = potentiel chimique Inégalité fondamentale de Clausius-Duhem : dψ δw ext + µdm

12 Application à un VER de milieu poreux Application au VER du milieu poreux : dψ δw ext +µdm }{{} =0 PSfrag replacements vide dm Application au fluide seul contenu dans le VER : d(mψ) = pd(φs l ) + gdm Pas d interaction solide-liquide : µ = g Appellons Ψ s = Ψ mψ d où : dψ s pφds l Ψ s? (δw ext l pd(φs l ))

13 Décomposition des énergies γ αβ (T ) = tension superficielle (gaz) ω αβ = aire de l interface αβ Ψ int = γ lg ω lg + γ sl ω sl + γ sg ω sg lacements solide θ liquide γ lg (N/m) Eau Mercure Hexane En l absence d interaction l énergie libre totale se décompose : Ψ = Ψ sol + Ψ }{{ int } +mψ (+m g ψ g ) Ψ s Ψ s = énergies du squelette ie du solide et des interfaces

14 Courbe capillaire sans hystérésis Supposant les évolutions réversibles le bilan d énergie libre des interfaces s écrit: dψ int = pφds l = φp c ds l Ψ int = φu(s l ) p c U(S l ) = variation d énergie libre des interfaces par unité de volume poreux (état de référence S l = 1). p c = du ds l U(S l ) = 1 S l p c (s)ds e 0 0 U(S l ) 1 S l

15 Application à la mesure de la surface spécifique par porosimétrie au mercure (H g ) 200 Pate E/C=0.60 Pate E/C= V (mm 3 /g) P (MPa) dψ int = pdv l Ψ int = V 0 pdv l = S m (γ sl γ sg ) = S m γ Hg cos θ S m = 1 γ Hg cos θ V 0 pdv l

16 Courbe de distribution porale Pate E/C=0.60 Pate E/C=0.25 V / log(r p ) r (nm) p Distribution porale (p = 2γ Hg cos θ r p ) : dv d ln r p = F (r p )

17 Généralisation : Présence de gaz, pression capillaire dψ δw ext + µ i dm i i Ψ = Ψ sol + Ψ int + m i ψ i i i = l, g, PSfrag replacements gaz liquide Appliquée à un mélange de liquides : d(m l ψ l ) = pd(φs l ) + i µ i dm i Appliquée au gaz : d(m g ψ g ) = p g d(φs g ) + µ g dm g (S g = 1 S l ) dψ int = (p g p l )φds l = p c φds l p c = p g p l = pression capillaire

18 Dissipation, stabilité thermodynamique Dans le cas général on a : φp c ds l dψ int 0. Hors équilibre cette inégalité se transforme en S φp l c t Ψ int 0 t Supposons que l on ait toujours Ψ int = φu(s l ) : ( φ p c du ) Sl ds l t 0 p c U S l PSfrag replacements 1 2 S l

19 Hystéresis Hypothèse : Ψ int = φu(s l ) mais pas de loi d état : p c du ds l (?) Processus dissipatif : φp c ds l φdu 0 s I du ds l s D p c p c du ds l s D (S l ) B A 0 s I (S l ) U(S l ) 1 S l 0 C D 1 S l

20 Un modèle de réseau poreux r β r 1 R β R 1 (a) (b) (α) (β) gaz gaz Imbibition Drainage r n R n p c = 2γ lg R n liquide p c = 2γ lg r n liquide