Chapitre 5 Effet Doppler Ondes sphériques

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1 Chapitre 5 Effet oppler Ondes sphériques 5-1 Effet oppler Comment mesurer la itesse d une oiture? La gendarmerie utilise lassiquement des radars (9.41 GHz ou GHz) dont le prinipe est basé sur l effet oppler. Il est bien sûr question d ondes, mais dans e as la soure et/ou le réepteur sont en mouement. L effet oppler est le déalage en fréquene obserée dépendant de la itesse de la soure et/ou de du déteteur. En effet, si la soure émettant une onde est en mouement par rapport au réepteur qui la détete la fréquene perçue par e dernier est différente de la fréquene de la soure émettrie. ans le as des ondes életromagnétiques, l étude de l effet oppler est une appliation de la inématique relatiiste. ans e ours, nous n en donnerons qu une approhe élémentaire permettant de omprendre l effet oppler. Ce dernier est en effet largement utilisé pour mesurer des itesses (éloimétrie), et pas seulement elle des oitures. On peut iter par exemple la mesure de la itesse d éoulement du son dans les artères. Cas d une soure mobile : r Pour illustrer et effet, onsidérons une soure d onde se déplaçant à la itesse dans le plan (x,y). Cette onde émet un signal périodique de fréquene ν (période T) qui se propage radialement à partir de la position de la soure au moment où e signal a été émis. Cas général Cas d'une soure en approhe dans l'axe du déteteur Commençons par plaer la soure et le déteteur sur le même axe, l axe Ox. A l instant t, la soure est en x, à la distane (x -x) du déteteur. Le premier signal enoyé à l instant t, arriera don au déteteur à l instant t+ (x -x) /. A l instant t+t, la soure émet un seond signal ; elle se troue maintenant au point x+t. Ce seond signal arriera sur le déteteur à l instant t+t+(x -x-t) /. L'interalle de temps entre les deux signaux reçus par le déteteur n'est don pas égal à T mais il est plus faible et égal à :T' =T(1-/). la fréquene ue par le déteteur ets plus éleée que la fréquene enoyée par la soure: ν = ν 1 Prenons le as où la soure s éloigne du déteteur. Il est faile de oir que la période des signaux reçus sera plus grande que la période des signaux émis ; la fréquene est don plus faible. Ondes 5-1

2 T' = T + x + T x T' = T 1 + ν soit ν =. 1+ i x est négatif, la soure se rapprohe du déteteur. La période des signaux reçus sera plus faible que elle des signaux émis, la fréquene sera don plus grande. e la même façon, on peut montrer que : = T 1 ν T' et ν =. 1 Le déalage en fréquene ou glissement oppler est don : ν ' ν = ν. i la 1- itesse de la soure est petite deant la élérité des ondes alors: ν' ν ν. i le déteteur n est pas sur l axe de déplaement de la soure : y θ θ H O x 1 2 Fig 5-2 Fig 5-3 T' = T T + 2 H T(1 osθ ) si la distane 1 2 est beauoup plus petite que les distanes 1 et 2, et don ν ν = 1 osθ Exerie 5-1: Montrer que ette formule est ohérente ae elle trouée quand le déteteur se troue sur l axe du mouement de la soure, que la soure s éloigne ou se rapprohe. Cas du déteteur mobile : Reprenons les as où la soure est située sur l axe du mouement du déteteur. Ondes 5-2

3 Considérons le as où x est positif. Le déteteur s éloigne de la soure. A un instant t, le déteteur reçoit un signal enoyé à l instant t 1 =t-x/,. A l instant t+t, le déteteur reçoit un signal enoyé au temps t+t -(x+t )/=t 1 +T. On en déduit don : T = T' T' = T'(1 ) où ν = ν (1 ). Là enore quand la soure et le déteteur s éloignent loin de l autre, la fréquene mesurée est plus faible que la fréquene émise. Formule générale de l effet oppler θ θ Fig 5-4 : Conentions Fréquene émise par la soure : ν Fréquene reçue par le déteteur : ν 1+ osθ ν = ν 1 osθ Appliation au radar : ans de nombreux as, omme dans le as du radar, le radar (fixe ou mobile) enoie un signal de fréquene ν0 sur un objet en mouement. Cet objet se omporte d abord omme un réepteur et reçoit un signal dont la fréquene ν1 est déalée par rapport à ν0. Il a alors renoyer un signal à la même fréquene ν1 que elle reçue. Ce noueau signal, ou ého oppler, a être reçu par le radar se omportant maintenant omme déteteur et la fréquene ν2 sera différente à la fois de ν1 et de ν0. ans le as d un déplaement sur l axe, l objet se rapprohant de la soure : ν 1 = ν 0 1 et ν 2 = ν 1 ( ) d où : ν = ν On en déduit don : ν ν 0 = ν et don le glissement oppler ou déalage en fréquene est oisin de ν 2 ν 0 ν 0 2 ondes. si la itesse est très petite deant la élérité des Ondes 5-3

4 Exerie 5-2 : Trouer le déalage en fréquene lue par un radar (émettant à la fréquene ν0=9 GHz) fixe repérant un aion s éloignant à la itesse (1000 km h -1 ) du radar. Autres appliations : En aoustique, l effet oppler se traduit par un hangement de hauteur des sons : le son reçu est plus aigu quand l émetteur se rapprohe, il est plus grae (fréquene plus basse) quand l émetteur s éloigne. Pour la lumière, l effet est un hangement de ouleur si les itesses mies en jeu sont suffisamment grandes. Le plus spetaulaire est le déalage ers le rouge due à l expansion de l Uniers. L effet oppler est utilisé en médeine pour mesurer la itesse des globules rouges. Il permet de déeler des anomalies omme des obturations partielles au nieau desquels la itesse d éoulement est plus éleée. On utilise par exemple un émetteur d ultrasons à quartz (fréquene typique 10 MHz). Entre la peau et l émetteur, on plae un gel pour améliorer la transmission (exerie : expliquer pourquoi la présene du gel est essentiel). L onde ultrasonore se propage à la itesse d eniron 1500 m s -1. Véloimètre sanguin à effet oppler : émetteur réepteur θ Artère Exerie 5-3 : ans un éloimètre sanguin, on obsere un glissement en fréquene de 15 Hz pour une fréquene inidente de 10 MHz. Caluler la itesse sanguine assoiée à e déplaement en supposant que l axe du déteteur est inliné de 30 par rapport à l axe de la itesse. Exerie 5-4 Un éloimètre sanguin à effet oppler est utilisé pour mesurer une itesse du sang dans une artère de 1 ms -1. (itesse du son dans l eau : 1400ms -1, itesse de la lumière dans l eau : eniron ms -1 ) * Exprimer le déplaement oppler mesuré par l éhographe si la fréquene utilisée est 70 khz, l artère étant dans l axe d émission des ondes. e quel type d onde s agit-il? * Même question si l artère est inlinée de 60 par rapport à l axe de l émetteur. * Malheureusement pour lui, l artère du patient présente un rétréissement à un ertain nieau et la setion disponible n est plus que la moitié de la setion dans le reste de l artère. Quel noueau déplaement oppler mesure l éhographe au nieau du rétréissement quand l artère est dans l axe de l émission? Exerie 5.6 : Caluler le glissement oppler de la fréquene ( Hz) pour un angle de 60 entre le faiseau et le apillaire et une itesse d éoulement dans le apillaire de 1mm s -1. Exerie 5.7. On onsidère une automobile qui fone sur un radar à la itesse =150km/h (la réalisation pratique n est pas onseillée). Ce radar émet un signal à la fréquene ν=5 GHz. Quelle est la fréquene du signal reçu en retour? Quel est le déplaement en fréquene ou glissement oppler? Ondes 5-4

5 Mesure du déalage en fréquene: Le déplaement ou glissement oppler, 'est-à-dire la ariation de fréquene assoiée au déplaement de la soure et/ou du déteteur, est souent très faible et à priori diffiile à déteter en faisant une simple mesure de fréquene. En fait, on utilise une tehnique de battements qui onsiste à mélanger sur le déteteur le signal d ého oppler et une partie du signal initial, soit : ( ) A = A 1 os(ωt) + os (ω + δω)t + ϕ 2 i δω est faible, le signal se présente don omme un signal sinusoïdal de pulsation prohe de ω dans une eneloppe de pulsation δω, d amplitude maximale a + b et minimale a b. Pour approher le problème onsidérons deux ondes de même amplitude et de même phase à l'origine: At = Aos(ωt) + A os ((ω + δω)t)= 2 Aos(ωt + δωt 2 )os(δωt ). On troue une 2 osillation à une fréquene prophe de la fréquene des deusxonds inidentes modulée par une amplitude qui arie plus lentement. Cette amplitude est maximale quand os( δωt 2 ) =±1 δωt et nulle quand os( ) = 0. eux extrémas sont don séparés de t = 2π δω = 2π, il en est de 2 δν même pour les minima. En déterminant le temps qui sépare deux minima ou deux maxima, il ets possible de remonter à la différene de pulsation don de fréquene entre les deux ondes. ( ) Exerie 5-5 (Mathématia) : Visualiser la fontion de t : f (t) = a os(2πt) + b os 2παt +ϕ. On ommenera par a=1, b=0.5, ϕ=1.7π, α=1.05, t entre 0 et 200. La représenter. Changer les paramètres pour oir leurs effets. Réponse : On distingue une osillation à une fréquene prohe de 1 dans une eneloppe dont la période est prohe de 20 est-à-dire de fréquene 0,05=α Pour bien isualiser les battements, nous allons onsidérer non pas A mais on arré, qui est relié à l'énergie transportée. Quand le déteteur a un temps de réponse beauoup plus grand que la période de l onde inidente, il a mesurer à un instant donné une aleur moyenne dans le temps de l intensité ('est-à-dire un signal intégré sur plusieurs périodes de l'onde). par ontre si l'amplitude de l'onde arie plus lentement que son temps de réponse, il sera apable de oir les ariations d'amplitude. Ondes 5-5

6 Considérons don en moyennant sur un temps plus long que la période de l onde inidente 2π 2π mais très nettement inférieur à ω δω. = 1 os 2 (ωt) + 2 os 2 ((ω + δω)t + ϕ 2 )+ 2A 1 os(ωt)os ((ω + δω)t + ϕ 2 ) = 1 os 2 (ωt) + 2 os 2 ((ω + δω)t + ϕ 2 )+ A 1 os(2ωt + δω t + ϕ 2 ) + A 1 os(δω t + ϕ 2 ) ( ) A 1 os(δω t + ϕ 2 ) A 1 os(δω t + ϕ 2 ) min max 1 ( 2 A 1 ) 2 1 ( 2 A 1 + ) 2 Il y a don une osillation rapide que ne oit pas le déteteur qui est trop lent ; ette osillation rapide se fait à l intérieur d une eneloppe périodique (pulsation δω) entre les aleurs minimales et maximales i-dessus. On parle alors de battements entre deux fréquenes prohes l une de l autre. Par exemple, l examen de l éoulement sanguin dans les apillaires de la rétine est effetué à l aide d une onde lumineuse (laser) donnant une meilleure préision dans le pointage que l onde sonore. La mesure de la itesse du sang utilise ette tehnique de battements. Et pour les grandes itesses de déplaement? Que signifie grande itesse? En fait il faut omparer par rapport à la itesse de propagation. Cette approhe n est alable que si la itesse de propagation est plus grande que la itesse de déplaement de la soure et du déteteur. ans le as des ondes életromagnétiques, si les itesses de déplaement se rapprohent de la itesse de la lumière il est néessaire de reoir les formules en utilisant une approhe relatiiste. ans le as des ondes sonores, il est tout à fait possible de «franhir le mur du son» est-àdire de se déplaer à une itesse plus grande que la itesse du son ; le rapport entre la itesse de déplaement et la itesse du son est appelé nombre de Mah. Ondes 5-6

7 Il est faile de oir que les ondes ont être limitées à un ône dans l espae. si l on plae un obserateur deant la soure, il ne a rien reeoir tant que la soure n est pas passée deant lui, mais dès qu elle est passée il reçoit une série de signaux très rapprohés d où le «bang supersonique». 5-2 Equation de propagation à 3 : ondes sphériques ans le paragraphe sur l effet oppler, nous aons onsidéré des ondes qui ne sont pas planes. Reenons un peu sur e type d onde. L équation d onde que l on a établi à une dimension peut être généralisée à 3. 2 u + 2 u + 2 u z 2 x 2 y 2 Il s agit de l équation de d Alembert. = u = u t 2. Forme des ondes progressies sphériques : Cherhons une solution qui ne dépendent que r et de t, r étant la distane par rapport à un point soure. u = 1 2 (ru) r r 2 Exerie 5.8 : Montrer que les solutions générales de ette équation sont :. u(r,t) = 1 r F(t r ) + G(t + r ) Montrer que le premier terme orrespond à une onde diergente qui s éarte de la soure alors que le seond terme orrespond à une onde onergente qui onerge ers la soure. Parmi les solutions de ette équation d onde il y a bien sûr les solutions sinusoïdales dans le temps dont la forme est : u(r,t) = 1 os ω t kr + ϕ r ( ) On peut se poser la question sur l intensité de l onde. L amplitude déroît en 1/r. La puissane qui se propage par unité de surfae arie don en 1/r 2 i on intègre sur l ensemble des points à la distane r de la soure, est-à-dire sur une sphère de rayon r, on a trouer une onstante. La puissane émie par la soure se propage alors à l infini. Ce qui se onsere, est l intensité intégrée sur ette sphère. Ondes 5-7

8 On peut aussi noter que si l on essaie de onsidérer maintenant des ondes ylindriques par exemple les rides à la surfae de l eau engendrées par un jet de aillou par exemple le problème est beauoup moins simple et fait interenir des fontions plus omplexes que de simples osinus. es ondes sphériques aux ondes planes : Quand on onsidère une onde sphérique les surfaes d ondes sont don des sphères. On onsidère maintenant une région telle elle indiquée sur la figure dans une région dont la taille est petite deant le distane à la soure r. a ette éhelle, la ourbure des surfaes d onde est peu isible, elles peuent être approximer par leurs plans tangents et l onde sphérique peut être approximer par une onde plane En optique, une onde sphérique peut être transformée en onde plane si la soure de l'onde est plaée au foyer d'une lentille onergente. Pour les ondes radars, on peut utiliser un réfleteur parabolique et plaer la soure émettrie au foyer de la parabole Exeries supplémentaires : Exerie 5-9 : Un gendarme mélomane est frôlé par une oiture qui klaxonne. Reenu de son émotion, il affirme que la note émise est passée du do dièse 4 au si bémol 3 (soit de 544 à 466Hz). Il aimerait saoir si la itesse de la oiture dépassait les 90km/h autorisés. Aidezle.trouez aussi la fréquene du klaxon Exerie 5-10: Pour obtenir une lumière monohromatique, on peut utiliser des lampes spetrales, Les longueurs d onde émises orrespondant aux différenes entre nieaux d énergie de l atome en question. Par exemple le sodium émet dans l orange (on le oit failement en brûlant du sel). Les premiers nieaux d énergie se situent à ev et ev audessus de l état fondamental. alulez les longueurs d onde orrespondantes dans le ide (si ous ne ous souenez pas des formules, allez don faire un peu de biblio ) -les atomes émetteurs sont tous animés à température non nulle à un mouement 3RT inessant dans des diretions aléatoires dont la itesse est de l ordre de M, M étant la masse molaire de l atome en question (Na : M=5.3g, R=8.32 JK -1 ). Estimer ette itesse pour T=500K. quel est l ordre de grandeur de l élargissement des raies spetrales dû à l effet oppler? Ondes 5-8

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