3.1 De la sécante à la tangente

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1 La notion de dérivée est au coeur du calcul différentiel D'abord introduite par Newton et par Leibniz à la fin du 17e siècle, cette notion s'est précisé au fil du temps Pour la présenter, nous nous intéresserons d'abord aux variations d'une fonction et aux calculs de taux de variations 31 De la sécante à la tangente On retrouve deux types de taux de variation: moyen et instantané Pour les introduire, débutons par l'étude des droites dites sécantes à une courbe 311 Les droites sécantes à une courbe Soit une fonction f et deux points A et B, d?abscisses x 1 et x 2, appartenant à la courbe y = f(x) La droite passant par ces deux points s'appelle une «sécante» à la courbeon détermine l?équation de cette sécante de la même façon qu'on détermine l'équation d'une droite y = mx + b 1 Détermination de la pente m Il faut premièrement calculer les valeurs de y 1 et y 2, si elle ne sont pas données Comme A et B sont sur la courbe y = f(x) alors y 1 = f(x 1 ) et y 2 = f(x 2 ) La pente m de la droite passant par A et B et sécante à la courbe est donnée par : 2 Détermination de l'ordonnée à l'origine b L'ordonnée à l'origine s'obtient en remarquant que l'équation de la droite doit être vérifiée pour les coordonnées d'un des deux points par où elle passe Nous aurons ainsi une équation à une inconnue qui est facile à résoudre Si nous choisissons le point A, nous aurons : y 1 = mx 1 +b En isolant le paramètre b, nous obtenons ceci : b = y 1 - mx 1 = f(x 1 ) -mx 1 3 Équation de la sécante Nous pouvons maintenant écrire l'équation de la sécante sous la forme y = mx + b en remplaçant m et b par leurs valeurs respectives 312 Le taux de variation moyen (TVM) Le calcul d'une vitesse moyenne se fait en divisant une distance parcourue par le temps pris pour parcourir cette distance On obtient ainsi un rapport entre deux variations: la variation de la distance (variable dépendante) sur la variation du temps (variable indépendante) Ce rapport s'exprime graphique par la pente de la sécante passant par deux points Le taux de variation moyen (TVM) sur l?intervalle [x 1, x 2 ] correspond à la pente de la sécante passant par les 31 De la sécante à la tangente 1

2 points A et B Il est défini ainsi : Il existe une autre façon de noter ce taux de variation moyen En effet, prenons x = a et choisissons un petit nombre h Alors le point A devient (a, f(a)) et B, (a +h, f(a + h)) Le taux de variation moyen (TVM) sur l?intervalle [a, a + h] s?écrit comme suit : L?interprétation d?un taux de variation moyen est comparable à celle d?une pente de droite Par exemple, si, cela signifie que sur l?intervalle [x, x ], la variable y augmente, en moyenne de 3 unités pour chaque augmentation de une (1) unité de la variable 1x La pente de la tangente et le taux de variation instantané (TVI) La pente de la sécante entre les points A(a, f(a)) et B(a +h, f(a + h)) ou le taux de variation moyen sont donnés par Lorsque l?écart h entre les points A et B tend vers 0, c'est-à-dire que h tend vers 0, alors la pente de la sécante tend vers la pente de la tangente au point A et le taux de variation moyen tend lui aussi vers un taux de variation limite qui est le taux de variation instantanée au point A On calcule donc la pente de la tangente, si elle existe, comme la limite des pentes de sécante lorsque h tend vers 0 Nous la noterons m tg Nous obtenons ceci : La définition de la tangente à une courbe en un point A fait donc appel à une approche dynamique Cette approche tient compte des sécantes passant par A et par des points B voisins Si les points B se rapprochent de plus en plus près de A d?un côté comme de l?autre, alors les sécantes vont tendre vers une droite limite qui sera la tangente à la courbe au point A Pour déterminer sa pente, nous utiliserons la même approche, soit que la pente de la tangente sera la limite des pentes de sécantes Il s'agit donc, connaissant la pente de la sécante passant par les points A et B, d'en déduire la pente de la tangente à la courbe au point A Pour cela, nous allons calculer la pente de cette sécante puis déterminer si elle admet une limite lorsque le point B se rapproche du point A Cette limite, si elle existe, donnera la valeur de la pente de la tangente à la courbe au point A ou le taux de variation instantané en ce point 312 Le taux de variation moyen (TVM) 2

3 32 La définition de la dérivée Chapitre_3:_La_dérivée La dérivée d'une fonction en un point A(a, f(a)) représente la pente de la tangente en ce point Pour la déterminer, on calcule d'abord la pente de la sécante et on passe ensuite à la limite De façon formelle, la définition est la suivante: Définition (La dérivée): Si la fonction f est continue en un point d'abscisse a, alors la dérivée de cette fonction en ce point, si elle existe, se calcule comme suit: Il y a deux notations différentes pour représenter la dérivée: est la notation de Newton; est la notation de Leibniz L'avantage de la première est qu'elle est simple, alors que la seconde est facile à représenter sur un graphique En effet, dy représente la variation des y sur la tangente; dx représente la variation des x sur la tangente On les appelle des différentiellesvoici l'interprétation graphique de la dérivée: 321 Le calcul d'une dérivée en utilisant la définition La dérivée d'une fonction f est donc définie comme une limite Pour calculer la dérivée d'une fonction au point d?abscisse x = a, il s'agira de déterminer d'abord la quantité, puis faire tendre h vers 0 À première vue, le calcul de cette limite est une forme indéterminée, car h tend vers 0 Il faut donc simplifier ce quotient afin de lever l'indétermination Cette simplification peut se faire par la factorisation, par une mise en évidence simple, par la multiplication par le conjugé ou par une mise au même dénominateur Pour calculer la dérivée en un point d?abscisse a, il faut effectuer les opérations suivantes: 1 Calculer en déterminant au préalable f(a + h) et f(a); 2 Simplifier éventuellement h (nous devons pouvoir mettre en évidence h en faisant possiblement une mise au même dénominateur ou une multiplication par le conjugué ou une factorisation); 3 Calculer en évaluant la limite Voici 5 exemples 32 La définition de la dérivée 3

4 322 L'équation d'une tangente L'interprétation géométrique de la dérivée est la pente de la tangente à la courbe y = f(x) en x = a Il est donc possible d'utiliser la dérivée pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe y = f(x) en x = a Voici un exemple 323 La dérivée comme taux de variation instantané (TVI) Une interprétation de la dérivée d'une fonction f au point d'abscisse x = a est le taux de variation instantané La dérivée mesure donc la «variation» du phénomène dont la fonction f(x) est le modèle 324 Résumé des termes utilisés Il y a beaucoup de nouveaux termes dans cette section En fait, la pente d'une tangente à la courbe y = f(x) en x = a se calcule de la même façon que le taux de variation instantané de la f(x) en x = a, que la vitesse instantanée en x =a et que la dérivée de la fonction en x = a Voici un premier schéma: Le calcul du taux de variation moyen d'une fonction sur l'intervalle [a, b] est le même que le calcul de la vitesse moyenne sur [a, b], que la pente de la sécante passant par les points d'abscisse x = a et x = b Lorsqu'on passe à la limite sur la longueur de l'intervalle (lorsque b tend vers a pour l'intervalle [a, b] ou que h tend vers 0 pour l'intervalle [a, a + h]), on obtient respectivement le taux de variation instantané, le vitesse instantanée et la pente de la tangente La pente de la tangente s'appelle aussi la dérivée de la fonction en x = a Voici un deuxième schéma: 321 Le calcul d'une dérivée en utilisant la définition 4

5 325 Quelques remarques sur la dérivée Il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables en un point Voici deux exemples: Il est possible de calculer la dérivée de la dérivée 33 Les techniques de dérivation Pour calculer la dérivée d'une fonction, le recours à la définition aboutit à des calculs algébriques assez compliqués Nous allons donc, à partir de la définition, établir un certain nombre de théorèmes nous donnant des formules qui nous permettront de calculer des dérivées sans avoir à appliquer la définition elle-même Pour ce faire, remarquons que les fonctions algébriques sont générées à partir des fonctions de base (la fonction constante, la fonction identité et la fonction puissance) auxquelles les opérations de multiplication par une constante, de somme, de différence, de produit et de quotient peuvent être appliquées Il faudra donc démontrer des formules de dérivation pour chaque fonction de base et pour chaque opération De plus, nous nous intéresserons à la dérivée non plus calculée en une certaine valeur a, mais comme une fonction de x Nous obtiendrons ainsi la «fonction dérivée» 331 La forme d'une fonction ou comment déterminer l'opération principal d'une expression Pour appliquer correctement les théorèmes de dérivation afin de dériver correctement des expressions mathématiques, vous devez être capable de reconnaître sans hésitation la forme d'une expression mathématique Nous reconnaissons la forme d'une expression mathématique au caractère de la dernière opération à effectuer dans cette expression compte tenu de la priorité usuelle des opérations et des parenthèses Les priorités usuelles sont, dans l?ordre, les suivantes : parenthèses, exposant, multiplication ou division, addition ou soustraction Les formes des expressions mathématiques découlant de ces priorités sont la puissance d?une fonction, la multiplication ou la division de deux fonctions, la multiplication d?une fonction par une constante, l?addition ou la soustraction de deux fonctions Voici un exemple permettant de reconnaître les formes d'une fonction 33 Les techniques de dérivation 5

6 Chapitre_3:_La_dérivée 332 Les formules de dérivation d'une fonction constante, de la fonction identité et de la puissance de x Les fonctions de base sont la fonction constante (f(x) = k), la fonction identité (f(x) = x) et la puissance de x (f(x) = xn) Voici leur formule de dérivation Passons maintenant à la formule de dérivation d'une puissance Voici la preuve Voici quelques exemples de dérivées de fonctions de base 333 Les formules de dérivation d'une constante multipliée par une fonction, d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions Les opérations algébriques qui nous intéressent sont la constante multipliée par une fonction, la somme, le produit et le quotient de fonctions Voici leur formule de dérivation Voici quelques exemples 332 Les formules de dérivation d'une fonction constante, de la fonction identité et de la puissance de x 6

7 Chapitre_3:_La_dérivée Il nous reste la formule de dérivation d'un quotient Il existe un autre preuve de cette formule Elle sera faite en classe On remarque que, pour le quotient et pour le produit, il faut calculer les dérivées des fonctions u et v avant d'appliquer la formule de dérivation 334 La dérivation en chaine et la dérivée d'une puissance de fonction 335 La dérivation implicite Si une fonction ou une relation, où x est la variable indépendante et y la variable dépendante, ne peut se mettre sous la forme y = f(x), alors elle est dite «implicite» Par exemple, y2 + x2-3xy = 4 est une relation implicite : y dépend de x mais ne peut se mettre sous la forme y = f(x) Dans certains cas, il est possible d'isoler y On obtient ainsi 2 2 plusieurs fonctions qu'il faut préciser Par exemple l'équation x + y = 1 représente les fonctions et 333 Les formules de dérivation d'une constante multipliée par unefonction, d'une somme, d'un produit et d'un quotien 7