Systèmes linéaires et déterminants

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1 Université Paris-Sud Année IFIPS Cycle Préparatoire, 2ème année Feuille n 3 Systèmes linéaires et déterminants Exercice Résoudre les systèmes suivants, en fonction du paramètre m R : (S ) { x + (m + )y = m + 2 mx + (m + 4)y = 3 (S 2 ) { mx + (m )y = m + 2 (m + )x my = 5m + 3 Exercice 2 (a) Pour quelles valeurs de m R, le vecteur (, 2, 3) est-il dans le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par (, 2, m) (b) Pour quelles valeurs de m R le vecteur (, 2, 3) est-il dans le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par (, 2, m), (m +, 3, m 2) (c) Pour quelles valeurs de m R le vecteur (, 2, 3) est-il dans le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par (, 2, m), (m +, 3, m 2) et (3m + 4, 7, 2m 6)? Exercice 3 Pour tout a réel, on considère la matrice A et le système linéaire (S) définis par : a ax + y + z = A = a (S) x + ay + z = a x + y + az = dans lequel les inconnues sont x, y, z R Discuter le rang de A suivant les valeurs de a 2 Pour quelles valeurs de a le système (S) est-il de Cramer? Compatible? Incompatible? 3 Lorsqu il est de Cramer, résoudre (S) avec un minimum d opérations (on pourra montrer d abord que l on a nécessairement x = y = z) Exercice 4 Notons M la matrice 0, et f l application linéaire associée Déterminer une base, donner des équations et préciser la dimension de Kerf et Imf 2 2 Même question pour l application linéaire g associée à la matrice N =

2 Exercice Soit A = 2 Déterminer les λ R pour lesquels il existe X R 3, différent de (0, 0, 0), tel que AX = λx Pour chaque λ déterminer E λ = {X R 3 /AX = λx} Exercice 6 Donner une base du sous-espace vectoriel de R 4 défini par les équations 3x + 2z = 0 3y + z + 3t = 0 x + y + z + t = 0 2x y + z t = 0 Exercice 7 Dans R 4, on considère les sous-espaces : { { x + 2y + 2z 5t = 0 F = (x, y, z, t) ; x + 3y + 5z 9t = 0 G = Vect 2, Déterminer une base de F, un système d équations de G ainsi qu une base et un système d équations de F + G et F G Exercice 8 t t Calculer pour tout t R le rang des matrices M t = t et N t = t t t t } Exercice 9 Calculer les déterminants suivants : 2 3 4, , , Exercice 0 Soit (x) = det(a i,j (x)) de taille n = 2 ou 3 avec a i,j des fonctions dérivables Montrer que (x) est la somme des n déterminants obtenus en remplaçant successivement dans (x) chaque colonne par sa dérivée x + a x x 2 Calculer x x + a 2 x x x x + a 3 et + x + x pour x R + x Exercice Considérons les vecteurs u = (, 2, 3, 0), v = (0, 2,, ) et w = (, 0,, 2) de R 4 Démontrer qu ils forment une famille libre, en déduire qu ils engendrent un hyperplan et donner une équation de cet hyperplan 2

3 Exercice 2 Calculer les déterminants suivants : , Exercice 3 La famille (0,,, 0), (, 2,, ), (0,, 7, 2), (3,, 2, 0), formée de vecteurs de R 4, est-elle une base? Exercice 4 Calculer le déterminant de la matrice suivante : m 0 2m m m + 2 m m 0 0 m Calculer alors, suivant la valeur du paramètre m, le rang de cette matrice Exercice 5 Soit (a, b) R 2 avec a b Pour n N, n, on note B n le déterminant suivant (de taille n) : a + b a 0 b B n = a 0 b a + b Montrer que n N, n 3, B n = (a + b)b n abb n 2 En déduire que n N, n, B n = an+ b n+ a b 3

4 Réduction des endomorphismes ou diagonalisation Exercice 6 Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables sur R? (Réfléchir pour éviter les calculs) ( ) ( ) A =, B =, C = 0 2 6, D = 2 0, E = 2 0, F = Exercice 7 Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables sur R? Sur C?Si oui, les diagonaliser et donner les matrices de passage Exercice A = 0 0,B = 0 2 6, C = Discuter suivant la valeur de m R la possibilité de diagonaliser m m A = 0 2 ( ) 0 0 Exercice 9 Pour chacune des applications linéaires suivantes de R 2 dans R 2, donner leurs valeurs propres, leur matrice dans une base (à préciser) dans laquelle elle est simple à écrire, et étudier leur diagonalisation éventuelle de R ou dans C La symétrie orthogonale s par rapport à la droite d équation y = x 2 La rotation r d angle π 3 3 La projection orthogonale sur la droite d équation y = 0 Exercice 20 Soit t un paramètre réel et f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est : 2 A = 2t 2t 4t 2t 2t 4t Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de f 2 Montrer que f n est jamais diagonalisable 4

5 Exercice 2 On considère la matrice A = (a) Montrer que le vecteur est un vecteur propre de A (b) Calculer le polynôme caractéristique de A (c) Calculer les racines λ, λ 2 et λ 3 du polynôme caractéristique que l on ordonnera en imposant la condition λ λ 2 λ 3 (d) Montrer qu on peut diagonaliser A et calculer une matrice de passage P et son inverse P (e) Calculer A n pour tout n N Suites définies par récurence Exercice 22 On considère les deux suites réelles définies par leur premiers termes u 0 et v 0 et la relation de récurrence : u n+ = 2u n + v n, v n+ = u n + 2v n Donner l expression générale de u n et v n Exercice 23 On considère les deux suites réelles définies par leur premiers termes u 0 et v 0 et la relation de récurrence : { u n+ = v n v n+ = un+ 3vn 2 2 ( ) ( ) ( ) un 0 u0 Exprimer le vecteur en fonction de la matrice A = et du vecteur v n 2 Diagonaliser la matrice A et en déduire A n 3 Donner l expression générale de u n et v n Montrer qu elles admettent chacune une limite que l on précisera en fonction de u 0 et v Exercice 24 La matrice A = 0 2 est-elle diagonalisable sur R? Si oui, la diagonaliser en précisant la matrice de passage 2 Déterminer les suites définies par x 0 = y 0 = z 0 = et la relation de récurrence : x n+ = x n y n+ = z n+ = 3x n 2y n + 2z n y n 2z n 3y n + 2z n 3 Soient a, b et c trois paramétres réels Déterminer les suites définies par x 0 = a, y 0 = b, z 0 = c et la relation de récurrence : x n+ = x n + 3y n 3z n y n+ = 3x n + 7y n + 3z n z n+ = 6x n + 6y n + 4z n v 0 5

6 Systèmes différentiels Exercice 25 Résoudre les systèmes différentiels suivants : x = 4x + 6y y = 3x 5y z = 3x 6y 5z x = 2x + y + z 2 y = 3x + 3y + 4z z = 3x y 2z x = 4x + 6y x(0) = 3 y = 3x 5y, satisfaisant les conditions initiales y(0) = 0 z = 3x 6y 5z z(0) = 0 Exercice 26 Déterminer toutes les solutions complexes R t X(t) C 2 de classe C du système différentiel ( ) cosθ sin θ X (t) = X(t), sin θ cosθ où θ est un paramètre réel fixé En déduire une base de l espace des solutions réelles de ce système Déterminer la solution de ( ) ( ) cosθ sin θ X (t) = X(t) + sin θ cosθ t telle que ( 0 X(0) = ) 6