DERIVATION PROBLEMES ECONOMIQUES

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1 1 Un artisan fabrique des objets et vend toute sa production. On appelle () le coût total de fabrication et R() la recette totale eprimée en fonction du nombre d objets fabriqués. () et R() sont eprimés en euros. Partie A : Dans cette partie, la fonction R et la fonction sont représentées respectivement par la droite et la courbe Γ données cidessous : 1) Quelle est la recette obtenue pour la vente de 0 objets? 2) Quel est le pri de vente d un objet? ) Quel est le cout total de fabrication de 0 objets? 4) Pour quelles valeurs de l entreprise est-elle déficitaire? Partie B : Dans cette partie, le pri de vente d un objet varie en fonction de la quantité produite et s eprime en euros, par la relation p() = 120, où appartient à l intervalle [0 ; 60]. 1) Déterminer en fonction de la quantité produite, le montant de la recette totale R() 2) Le cout total de la production de objets, eprimé en euros est : () = -0,5² Démontrer que le bénéfice total obtenu pour la vente de objets est : B() = - 0,5² ) Déterminer B () et dresser le tableau de variations de B sur [0; 60]. En déduire le nombre d objets qu il faut vendre pour obtenir le bénéfice maimal. 4) Déterminer les valeurs de pour lesquelles l entreprise est déficitaire. B() 5) Soit g() = le bénéfice moyen pour la vente de objets. alculer g (). 6) En déduire le tableau de variations de g. 7) Tracer la courbe du bénéfice moyen sur l intervalle [0; 60] 8) Le bénéfice maimal moyen correspond-il au bénéfice maimal? Quelle production conseilleriez-vous à cet artisan? Argumenter. FRLT Page 1 16/04/2016

2 2 Un article commençant à moins se vendre, le directeur commercial décide d en arrêter la production lorsque le nombre d articles vendus par trimestre atteindra 200. Il s agit d estimer la date de cet arrêt en considérant que la fonction f suivante donne une bonne approimation de l évolution du nombre d articles vendus par trimestre. On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0 ; 12 ] par : f() = - 5² ) alculer f () où f est la dérivée de la fonction f. 2) Résoudre l équation f () = 0. ) Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. Echelles En abscisses 2 cm pour 1 unité. En ordonnées 5 cm pour 100 unités. 4) Tracer dans le repère précédent la droite D d équation y = ) Par lecture graphique, indiquer quelles semblent être les coordonnées des points d intersection de la droite D avec la courbe. Laisser les traits de construction apparents. 6) Pour vérifier les abscisses des points d intersection, montrer qu on est amenés à résoudre l équation - 5² = 0. Résoudre cette équation. 7) On considère que le nombre f() défini au 1. peut représenter le nombre d articles vendus au cours du ième trimestre, où est un nombre entier compris entre 0 et 12. Le directeur commercial ayant fié une valeur limite de 200 articles. Indiquer à partir de quel trimestre l entreprise doit envisager de cesser la production. Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre d objets. haque objet est vendu 100 euros. Le coût de production unitaire U() eprime le coût de production par objet produit. 900 On a déterminé qu il est égal à U () = 10 + pour appartenant à l intervalle I=[10 ; 100]. 1) Etudier la fonction U sur I. Tracer sa courbe (unités: 1cm pour 5 objets / 1cm pour 10 ). 2) Déterminer pour quelle production le cout unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l entreprise. ) Déterminer graphiquement le nombre d objets que l on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80. 4) Montrer que le bénéfice global de l entreprise est B() = -² Déterminer son sens de variation sur I et déterminer la production pour avoir un bénéfice maimal. Quel est ce bénéfice? 4 Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N(t) présents dans le magasin en fonction de l heure (t) est donné par : N(t) = -5 t t² t sur [10 ; 20] 1) Soit N la fonction dérivée de N. Déterminer N (t). 2) Résoudre N (t) = 0. ) Dresser le tableau de variation de N. 4) Déduire des résultats précédents l heure à laquelle il faut prévoir un maimum de caissière pour fluidifier le passage au caisses. 5) Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l intervalle [10 ; 20]. 5 La fonction cout total de fabrication d un produit par une entreprise est donnée par : (q) = q 14q² + 76q où q est le nombre d unités fabriquées. (q) On rappelle que le cout unitaire moyen est donné par m (q) = où q est non nul et que la fonction coût marginal est la q dérivée de la fonction. 1) Eprimer en fonction de q le cout moyen et le cout marginal, puis calculer le nombre q 0 d unités à fabriquer pour que ces deu coûts soient égau. 2) Montrer que m (q 0 ) représente un minimum de la fonction cout moyen. ) Le pri de vente de chacune des q unités fabriquées dépend de q suivant la relation : P(q) = 60 q. On suppose que l entreprise vend toute sa production. a) alculer le bénéfice réalisé B(q) b) En déduire l intervalle [a ; b], a et b entiers, dans lequel doit se situer la production pour que l entreprise soit rentable. c) Déterminer le nombre d unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maimum. 6 Une usine fabrique et vend des sacs. Le pri de vente est 8 et le coût de fabrication de eemplaires est donné par () = ² ) Eprimer le bénéfice obtenu pour la fabrication et la vente de sacs. 2) Déterminer le nombre de sacs que doit fabriquer l usine pour réaliser un bénéfice maimal. FRLT Page 2 16/04/2016

3 7 L entreprise NORTRANS assure pour le compte d un client, la gestion des stocks dans le cadre d une prestation de transport 1250 élargie. Le coût de possession du stock est donné par la formule : g(n) = où n est le nombre de commandes passées n dans l année. Le coût de passation est de 50 par commande. 1) Eprimer le coût total de stockage en fonction de n ) Soit f la fonction définie sur [2; 10] par f() = (² 25) a) Déterminer f () et montrer que l on peut écrire f () = ² b) Dresser le tableau de variations de f sur [2; 10] c) Tracer la courbe de f. d) Déterminer et tracer l équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse = 5. 8 Une entreprise fabrique des boites de rangement. Soit q un nombre entier de centaines de boites fabriquées et vendues en un mois. On admet que le bénéfice net en euros est donné par B(q) = - q² + 94q 445. Soit f la fonction définie sur [10 ; 70] par f() = -² ) Dresser le tableau de variation de f. 2) Déterminer les coordonnées du maimum de f. ) Pour quelle quantité q l entreprise réalise-t-elle un bénéfice maimal. Quelle est la valeur de ce bénéfice? 4) Résoudre f() > 0. 5) Interpréter le résultat. 6) Résoudre f() = ) Interpréter le résultat. 9 Un article commençant à moins se vendre, le directeur commercial décide d en arrêter la production lorsque le nombre d articles vendus par trimestre atteindra 200. Il s agit d estimer la date de cet arrêt en considérant que la fonction f suivante donne une bonne approimation de l évolution du nombre d articles vendus par trimestre. On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0 ; 12 ] par : f() = - 5² ) Dresser le tableau de variation de f 2) Résoudre l équation f() = 200 ) On considère que le nombre f() peut représenter le nombre d articles vendus au cours du ième trimestre, où est un nombre entier compris entre 0 et 12. Le directeur commercial ayant fié une valeur limite de 200 articles. Indiquer à partir de quel trimestre l entreprise doit envisager de cesser la production. 10 Une entreprise fabrique pour une période donnée un produit. Le coût total de production en euros est donné en fonction du nombre q d articles fabriqués par : (q) = 2q² - 40q ; q appartenant à l intervalle [10 ; 26] Tous les articles fabriqués sont vendus au pri unitaire de 20 euros. Le montant de la vente en euros est alors obtenu par la formule : V(q) = 20q. 1) Déterminer la recette en fonction de q. 2) alculer la recette obtenue pour la fabrication de 17 articles. La fabrication de 17 articles est-elle rentable pour l entreprise? ) alculer la recette obtenue pour la fabrication de 26 articles. La fabrication de 26 articles est-elle rentable pour l entreprise? 4) On considère la fonction f définie sur [10 ; 26] par f() = -2² a) Dresser le tableau de variation de f. b) Déterminer le maimum de f. c) Résoudre : f() = 10 d) Résoudre f() < 0. 5) Pour combien d articles fabriqués et vendus l entreprise obtient-elle une recette de 10? 6) A partir de combien d articles l entreprise fabriquerait-elle à perte? FRLT Page 16/04/2016

4 11 Soit la fonction définie pour tout réel de l intervalle ]0; 15] par () = 2² La fonction modélise le coût total de production, eprimé en milliers d euros, de milliers d articles fabriqués. La courbe T représentative de la fonction est tracée dans le repère ci-dessous : On suppose que chaque article produit est vendu au pri de 60. 1) On note R() la recette générée par la production et la vente de milliers d articles. a) Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette. b) Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l entreprise réalise un bénéfice positif. 2) Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle ]0; 15] par B() = R() (). a) Eprimer B() en fonction de. b) alculer B () c) Etudier les variations de B. d) En déduire la production 0 pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant en euro de ce bénéfice maimal? () ) La fonction coût moyen, notée M est la fonction définie sur l intervalle ]0; 15] par M () = a) Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe T tel que la droite (OA) soit tangente à T. On appelle a l abscisse du point A. b) Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à M (a) c) Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction M sur l intervalle ]0; 15]. 12 Une entreprise produit et commercialise un produit. La capacité maimale de production est 20 tonnes. Le coût total de production (), en milliers d euros en fonction du nombre de tonnes produites est donné par () = 0² ) Etudier les variations de sur [0; 20]. () 2) Le coût moyen de fabrication d un tonne de produit lorsque tonnes sont produites est M () =. a) Etudier le sens de variation de M sur [0; 20] b) En déduire le coût moyen minimal. ) Après une étude de marché, l entreprise décide de vendre son produit euros la tonne. a) Eprimer le bénéfice réalisé par l entreprise en fonction de. b) Quelle doit être la production pour que l entreprise réalise un bénéfice maimal? c) Est-ce la même valeur qui minimise le coût moyen? FRLT Page 4 16/04/2016

5 1 Une entreprise produit et commercialise une poudre énergisante pour sportifs. La capacité maimale de production est 9 tonnes. On se place dans le cas où l entreprise parviendrait à vendre la totalité de sa production. La courbe représente le coût total de production T () eprimé en dizaines de milliers d euros en fonction du nombre de tonnes produites. On donne T () = ² + 2. Le pri de vente d une tonne est fié à 8800 et la recette s eprime donc à l aide d une fonction linéaire représentée par la droite d. 1) Vérifier par le calcul que pour une production de 4 tonnes, le bénéfice est nul. omment cela se traduit-il sur le graphique? 2) A l aide du graphique, epliquer pourquoi, pour une production comprise entre 4 et 9 tonnes, l entreprise est bénéficiaire. ) Eprimer le bénéfice B() en dizaines de milliers d euros en fonction de. 4) Déterminer la dérivée de la fonction B. 5) Montrer par le calcul que la fonction B possède entre 0 et 9 deu etremums pour 1 = 7.1 et 2 = ) A quoi correspond chacun d eu pour l entreprise? Donner une interprétation graphique. T() 7) On définit le coût moyen M () =. Pour des raisons de stratégie économique, les décideurs ont besoin de connaître pour quelle valeur de le coût moyen est minimal. Rechercher cette valeur 0 après avoir eprimé m () en fonction de. 8) Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal m à la dérivée du coût total T. Vérifier que m ( 0 ) = M ( 0 ). 14 Pour une entreprise pharmaceutique, le coût total de production de v litres de sirop est donné en euros par : (v) = v 12v² + 60v avec v compris entre 0 et 10. 1) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Epliquer. a) «les premiers centilitres de sirop produits coûtent plus chers que les suivants» b) «les derniers centilitres produits coûtent moins chers que les précédents». (v) 2) Le coût moyen d un litre de sirop produit est donné par M (v) = v a) Donner l epression de M en fonction de v. b) alculer la dérivée de M et en déduire le sens de variation de la fonction M. c) Tracer la courbe représentative de M ) On suppose que le pri de vente d un litre de sirop est constant égal à 28. a) Pour quels volumes de sirop l entreprise est-elle bénéficiaire? b) Pour quel volume de sirop le bénéfice sur un litre est-il maimal? c) Pour quel volume de sirop, arrondi au cl, le bénéfice total est-il maimal? d) La dérivée de la fonction coût est appelée la fonction coût marginal. Vérifier que le bénéfice total est maimal lorsque le coût marginal est égal au pri de vente d un litre de sirop. FRLT Page 5 16/04/2016

6 15 Soit la fonction f définie pour tout élément de l intervalle [0 ; 10] par : f() = 1² Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. 1) alculer f (). 2) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 7. La tracer dans le repère précédent. ) La fonction f modélise sur l intervalle ]0 ; 10] la fonction coût total de production de milliers d articles fabriqués, le coût total est en milliers d euros. f() Pour tout dans l intervalle ]0 ; 10], le quotient M () = est appelé coût moyen de production de milliers d articles. On note la dérivée de la fonction coût moyen. ( 7)(2² + + 7) a) Montrer que ' M () = pour dans l intervalle ]0; 10]. ² b) Étudier les variations de la fonction coût moyen sur ]0; 10]. c) En déduire la valeur de qui minimise le coût moyen. FRLT Page 6 16/04/2016

7 ORRIGE : 1 Partie A : Dans cette partie, la fonction R et la fonction sont représentées respectivement par la droite et la courbe Γ données ci-dessous : 1) Quelle est la recette obtenue pour la vente de 0 objets? 00 2) Quel est le pri de vente d un objet? 00 / 0 = 110 ) Quel est le cout total de fabrication de 0 objets? ) Pour quelles valeurs de l entreprise est-elle déficitaire? Entre 0 et 10 objets Partie B : Dans cette partie, le pri de vente d un objet varie en fonction de la quantité produite et s eprime en euros, par la relation p() = 120, où appartient à l intervalle [0 ; 60]. 1) Déterminer en fonction de la quantité produite, le montant de la recette totale R() R() = (120 ) = - ² ) Le cout total de la production de objets, eprimé en euros est : () = -0,5² Démontrer que le bénéfice total obtenu pour la vente de objets est : B() = - 0,5² B() = R() () = - ² ² = - 0.5² ) Déterminer B () et dresser le tableau de variations de B sur [0 ; 60]. En déduire le nombre d objets qu il faut vendre pour obtenir le bénéfice maimal. B () = B () B() Le bénéfice est donc maimal pour 50 objets. 4) Déterminer les valeurs de pour lesquelles l entreprise est déficitaire. B() < 0 si et seulement si appartient à [ 0 ; 10 [ B() 5) Soit g() = le bénéfice moyen pour la vente de objets. alculer g (). En déduire le tableau de variations de g. 0.5² ( 0)( + 0) g() = ; g'() = ² g () g() ) Tracer la courbe du bénéfice moyen sur l intervalle [0 ; 60] 7) Le bénéfice maimal moyen correspond-il au bénéfice maimal? Quelle production conseilleriez-vous à cet artisan? Argumenter. 2 4 Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N (t) présents dans le magasin en fonction de l heure (t) est donné par : N (t) = -5 t t² t sur [10 ; 20] 1) Soit N la fonction dérivée de N. Déterminer N (t). N (t) = -15t² + 450t 240 = -15(t -18)(t -12) 2) Résoudre N (t) = 0. L équation admet deu solutions : t = 12 et t = 18 ) Dresser le tableau de variation de N. t N (t) N(t) ) Déduire des résultats précédents l heure à laquelle il faut prévoir un maimum de caissière pour fluidifier le passage au caisses. A 18 heures 5) Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l intervalle [10 ; 20 ]. FRLT Page 7 16/04/2016

8 Une entreprise fabrique des boites de rangement. Soit q un nombre entier de centaines de boites fabriquées et vendues en un mois. On admet que le bénéfice net en euros est donné par B(q) = - q² + 94q 445. Soit f la fonction définie sur [10 ; 70] par f() = -² ) Dresser le tableau de variation de f. Sur [10 ; 70] par f () = f () = 0 = f () f() ) Déterminer les coordonnées du maimum de f. Le maimum a pour coordonnées (47 ; 1764) ) Pour quelle quantité q l entreprise réalise-t-elle un bénéfice maimal. Quelle est la valeur de ce bénéfice? Le bénéfice sera maimal pour 4700 boites. e bénéfice sera de 17,64. 4) Résoudre f() > 0. S = [5 ; 89]. 5) Interpréter le résultat. Le bénéfice est positif sur [5 ; 89] donc sur [10 ; 70]. L entreprise réalise donc toujours un bénéfice pour toute production de boites comprises entre et ) Résoudre f() = = 0,75 et ) Interpréter le résultat. L entreprise réalise un bénéfice de pour 075 et 6 25 boites Soit la fonction définie pour tout réel de l intervalle ]0; 15] par () = 2² La fonction modélise le coût total de production, eprimé en milliers d euros, de milliers d articles fabriqués. La courbe T représentative de la fonction est tracée dans le repère ci-dessous : On suppose que chaque article produit est vendu au pri de 60. 1) On note R() la recette générée par la production et la vente de milliers d articles. a) Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette. FRLT Page 8 16/04/2016

9 b) Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l entreprise réalise un bénéfice positif. L entreprise doit produire entre 2000 et articles. 2) Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle ]0; 15] par B() = R() (). a) Eprimer B() en fonction de. B() = + 2² b) alculer B (). B '() = ² c) Etudier les variations de B B () B() d) En déduire la production 0 pour laquelle le bénéfice est maimal. Quel est le montant en euro de ce bénéfice maimal? Le bénéfice est maimal pour 9000 articles. Dans ce cas, il est de euros. () ) La fonction coût moyen, notée M est la fonction définie sur l intervalle ]0; 15] par M () = a) Sur le graphique précédent, placer le point A sur la courbe T tel que la droite (OA) soit tangente à T. On appelle a l abscisse du point A. b) Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à M (a). ya yo (a) 0 Le coefficient directeur est = = M(a) A O a 0 FRLT Page 9 16/04/2016

10 c) Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction M sur l intervalle ]0; 15]. 12 Une entreprise produit et commercialise un produit. La capacité maimale de production est 20 tonnes. Le coût total de production (), en milliers d euros en fonction du nombre de tonnes produites est donné par () = 0² ) Etudier les variations de sur [0 ; 20]. Pour tout de [0 ; 20] : () = ² = 0, 0 = 10 donc () est positif sur [0 ; 20] ( > 0) et nul pour = 10. Donc est croissante sur [0 ; 20] () () () 2) Le coût moyen de fabrication d un tonne de produit, lorsque tonnes sont produites, est M () =. a) Etudier le sens de variation de M sur [0; 20] () M() = = ² ; M'() = 2 0 M'() M () M () b) En déduire le coût moyen minimal. Le coût moyen minimal est de euros pour 15 tonnes. ) Après une étude de marché, l entreprise décide de vendre son produit euros la tonne. a) Eprimer le bénéfice réalisé par l entreprise en fonction de. B() = () R() = 0² b) Quelle doit être la production pour que l entreprise réalise un bénéfice maimal? B () = 0 ² = ou soit 4708 tonnes ou tonnes c) Est-ce la même valeur qui minimise le coût moyen? 1 1) Vérifier par le calcul que pour une production de 4 tonnes, le bénéfice est nul. omment cela se traduit-il sur le graphique? T (4) =.52 soit 5200 La recette est = Donc B(4) = 0. 2) A l aide du graphique, epliquer pourquoi, pour une production comprise entre 4 et 9 tonnes, l entreprise est bénéficiaire. Entre 4 et 9, la courbe est en dessous de la droite d. ) Eprimer le bénéfice B() en dizaines de milliers d euros en fonction de B() = ( ² + 2) = ² ) Déterminer la dérivée de la fonction B. 2 B'() = ) Montrer par le calcul que la fonction B possède entre 0 et 9 deu etremums pour 1 = 7.1 et 2 = 1.7. = Donc B () s annule pour = 1.7 et = ) A quoi correspond chacun d eu pour l entreprise? Donner une interprétation graphique. Ils correspondent au maimum et au minimum du bénéfice. () 7) On définit le coût moyen () T M =. Pour des raisons de stratégie économique, les décideurs ont besoin de connaître pour quelle valeur de le coût moyen est minimal. Rechercher cette valeur 0 après avoir eprimé m () en fonction de. T() M() = = 0.0² ' M() = DoncM est croissante sur[0;6.67] et décroissante sur[6.67;9] donc 0 = ) Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal m à la dérivée du coût total T. Vérifier que m ( 0 ) = M ( 0 ). 14 FRLT Page 10 16/04/2016

11 15 Soit la fonction f définie pour tout élément de l intervalle [0 ; 10] par : f() = 1² Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. 1) alculer f (). f '() = ² ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 7. La tracer dans le repère précédent. ) La fonction f modélise sur l intervalle ]0 ; 10] la fonction coût total de production de milliers d articles fabriqués, le coût total est en milliers d euros. y = f'(7)( 7) + f(7) y = 22( 7) y = 22. ette droite passe par le point A de la courbe d abscisse 7 et par l origine. f() Pour tout dans l intervalle ]0 ; 10], le quotient M () = est appelé coût moyen de production de milliers d articles. On note la dérivée de la fonction coût moyen. ( 7)(2² + + 7) a) Montrer que ' M () = pour dans l intervalle ]0; 10]. ² f() 49 Pour dans l intervalle ]0; 10], M () = = ² ² 49 ' M() = ² or( 7)(2² + + 7) = 2 + ² ² 7 49 = 2 1² 49 ( 7)(2² + + 7) donc ' M() = ² b) Étudier les variations de la fonction coût moyen sur ]0; 10] M () M () 1.9 c) En déduire la valeur de qui minimise le coût moyen. La valeur de qui minimise le coût moyen est 7, soit articles. 22 FRLT Page 11 16/04/2016