Objectifs du chapitre

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1 4 Congruence A dans Objectifs du chapitre Nous allons étudier la notion de congruence dans Z qui sera utilisée dans des problèmes de codage. B Pour débuter Activité 3 Le er janvier 202 était un dimanche. Quel jour de la semaine était-on n jours plus tard pour n =, 2, 3,..., 20 (on regroupera ces résultats dans un tableau, la re colonne correspondant au lundi...). Que peut-on dire de deux nombres d une même colonne? Quel jour de la semaine sera-t-on 000 jours après le er janvier 202? Quel jour sera-t-on le er janvier 2020? C Cours. Définition Définition 4 Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quelconques. On dit que x est congru à y modulo n si la différence x y est un multiple de n. Dans ce cas, on note : x y mod n ou encore x y [ n] ou encore x y ( n) et on lit «x congru à y modulo n».

2 Remarques Si x y est un multiple de n, y x est aussi un multiple de n. Donc, si x y [ n] on a aussi y x [ n] : la relation de congruence est symétrique. On a toujours x x [ n]: la relation de congruence est réflexive. On a toujours x y []. (La congruence modulo ne présente donc pas grand intérêt.) Conséquences Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c est un multiple de n. Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru à modulo 2. Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 0. Démonstration Conséquence immédiate de la définition. Soit n un nombre pair. Le nombre n est divisible par 2 donc n 0[2]. Soit n un nombre impair. Le nombre n est donc divisible par 2 ce qui prouve que n [2]. Soit n un nombre entier. Écrivons n= amam... aa 0 où a 0 représente le chiffre des unités de n, a représente le chiffre des dizaines de n, etc. Ainsi, m m n= a 0 + a a 0 + a. m m 0 m m 2 L entier n a0 = 0 am 0 + am a est donc divisible par 0 ce qui prouve n a 0 [0]. Remarque La barre dans la notation aa m m... aa 0 sert à différencier l écriture avec le chiffre des unités, le chiffre des dizaines etc., de l écriture du produit a a... a a. m m 0 Exemple 4 a) Les nombres 3 et 8 sont-ils congrus modulo 5? b) Les nombres 7 et 8 sont-ils congrus modulo 5? a) On a : 3 ( 8) = 5. Le nombre 5 est un multiple de 5 donc 3 et 8 sont congrus modulo 5 : 3 8 [ 5]. b) On a : 7 8 =. Le nombre n est pas un multiple de 5 donc 7 et 8 ne sont pas congrus modulo 5 : 3 / 8 [ 5].

3 Exemple 5 Les règles d un jeu sont les suivantes : Un joueur A propose un nombre entier entre et 4, le joueur B ajoute à ce nombre, 2, 3 ou 4 et à tour de rôle, les joueurs A et B ajoutent, 2, 3 ou 4 au nombre obtenu. Le er qui arrive à 87 a gagné. Déterminer le reste de la division euclidienne de 87 par 5. Comment le joueur A peut-il s y prendre pour gagner à coup sûr? On a 87 = et 0 2< 5 donc le reste de la division euclidienne de 87 par 5 est 2. Pour être sûr de gagner, A peut commencer par le nombre N = 2 puis, après le coup de B, il s arrange pour que le nombre obtenu soit congru à 2 modulo 5 (en fait, si B ajoute x, il ajoute ensuite 5 x). À tout moment, A proposera ainsi un nombre congru à 2 modulo 5 et B un nombre congru à 3, 4, 0 ou modulo 5. En théorie des jeux, on dit que, pour ce jeu, les nombres congrus à 2 modulo 5 constituent un ensemble de situations gagnantes : le nombre 87 est une situation gagnante ; à partir d une situation qui n est pas gagnante, on peut toujours jouer de telle sorte d être à la suite du coup en situation gagnante ; à partir d une situation gagnante, on se retrouve, après avoir joué, forcément en situation perdante. La situation initiale (N = 0) n est pas gagnante donc le joueur A a une stratégie gagnante (toujours proposer un nombre congru à 2 modulo 5). 2. Lien entre congruence et division euclidienne Propriété 3 Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n. Démonstration Si on effectue la division euclidienne de x par n, on sait qu il existe q appartenant à Z et r appartenant à N tels que x = qn+ r avec 0 r < n. On a alors x r = qn donc x r est un multiple de n et ainsi x est congru à r modulo n. Conséquences Modulo n, tout nombre est congru à un nombre r tel que 0 r n. Si a r [ n]et0 r < n alors r est le reste de la division euclidienne de a par n. Exemple 6 À quel entier naturel inférieur à 27 le nombre 523 est-il congru modulo 27? Par division euclidienne de 523 par 27, on obtient : 523 = donc [ 27].

4 3. Propriétés Propriété 4 Transitivité La relation de congruence modulo n est transitive c est-à-dire que si on a : x y [ n] et y z [ n] alors on a : x z [ n]. Démonstration La congruence x y [ n] se traduit par : il existe un entier k tel que x y = kn ; la congruence y z [ n] se traduit par : il existe un entier k tel que y z = k n. Or, x z = x y + y z = kn + k n = (k+k )n donc x z [ n]. Propriété 5 Addition et soustraction de congruences de même module La relation de congruence modulo n est compatible avec l addition et avec la soustraction dans Z ; c est-à-dire que si on a : x y [ n] et x y [ n] alors on a aussi : x + x y + y [ n] et : x x y y [ n]. Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les ajouter membre à membre ou les retrancher membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n. Démonstration Exemple La congruence x y [ n] se traduit par x y multiple de n. La congruence x y [ n] se traduit par x y multiple de n. On en déduit que la «somme» ( x y) + ( x y ) est encore un multiple de n, c est-à-dire ( x + x ) ( y + y ) est multiple de n ; ceci veut dire que x + x y + y [ n]. On raisonne comme précédemment en remplaçant la somme par la différence pour obtenir x x y y [ n]. On a 3 8 [ 5] et 46 2[ 5]. En utilisant la propriété 5, on obtient : 33 3 [5] et [5]. Propriété 6 Multiplication de congruences de même module La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dans Z ; c est-à-dire que si on a : x y [ n] et x y [ n] alors on a aussi : xx yy [ n].

5 Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les multiplier membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n. Remarque Démonstration On ne peut pas diviser par un même nombre les deux membres d une congruence. Par exemple, 5 5 [0] mais 3 / [0]. On a x y [ n] donc il existe k de Z tel que x y = kn d où x = y + kn. On a x y [ n] donc il existe k de Z tel que x y = k n d où x = y + k n. On a donc : xx = ( y + kn)( y + k n) = yy + n( ky + k y + kk n). Posons K = ( ky + k y + kk n) ; K appartient à Z et xx yy = Kn. Ainsi, xx ' yy ' [ n]. Propriété 7 Multiplication par un entier Si x y [ n] alors, pour tout k appartenant à Z, on a : kx ky [ n]. Démonstration Exemple 7 On applique la propriété 7 à x y [ n] et k k [ n]. Dresser la table de multiplication modulo 7. Déterminer un entier n tel que 52n congru à modulo 7. Soient a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 6. On calcule le reste dans la division euclidienne de ab par 7. Par exemple, 3 4 = 2 et 2 5 [7]. À l aide de la fonction MOD du tableur, en saisissant en B2 la formule =MOD($A2*B$;7) puis en la «copiant-glissant», on obtient la table suivante : On a 52 3 [7]. En utilisant la table ci-dessus, on voit que 3 5 [7] et ainsi n = 5 convient.

6 Propriété 8 Élévation à une puissance n n Si x y [ p] alors, pour tout entier naturel n non nul, on a : x y [ p]. Démonstration Exemple 8 Cette propriété est une conséquence de la propriété 6 ; on l établit en faisant un raisonnement par récurrence. Considérons la proposition définie pour tout entier naturel n non nul, «si n n x y [ p] alors x y [ p]». Initialisation : au rang n =, la proposition s écrit x y [ p]. Cette proposition est vraie par hypothèse. Ainsi la propriété est vraie au rang n =. n n Hérédité : on suppose que la proposition «si x y [ p] alors x y [ p]» est vraie pour un certain rang n = k, autrement dit, on suppose que «si x y [ p] k k alors x y [ p]». Regardons la propriété au rang k +. k k Comme x y [ p] et x y [ p], appliquons leur la propriété 6 : k k k+ k+ xx yy [ p] soit x y [ p ]. n n Donc, la proposition «si x y [ p] alors on a : x y [ p]» est vraie au rang n = k +: la proposition est héréditaire. p p Conclusion : la propriété «si x y [ p] alors on a : x y [ n]» est vraie pour n = et elle est héréditaire donc, pour tout entier naturel n non nul, si x y [ p] n n alors x y [ p]. 4 a) Montrer que 7 [ 5 ]. b) En déduire que le reste de la division euclidienne de et 7 par 5. a) On sait que 7 2[ 5] Donc 7 2 [ 5] c est-à-dire 7 4 [ 5 ] ou encore 7 2 [ 5]. 3 3 De même, 7 2 [ 5] c est-à-dire [5] ou encore 7 3 [5] Et 7 2 [ 5] c est-à-dire 7 6 [ 5 ] ou encore 4 7 [ 5 ]. Pour cette dernière ligne, on peut aussi procéder de la façon suivante : 2 de 7 [ 5 ], on déduit ( 7 22 ) ( ) 2 4 [ 5] c est-à-dire 7 [ 5 ]. b) Comme 202 = 503 4,7 202 =( 7 4 ) 503 et ainsi [5]. 202 Comme 7 [5] et 0 < 5, est le reste de la division euclidienne de par On a 7 = d où 7 7 [5] soit 7 2[5]. 203 Comme 7 2 [5] et 0 2 < 5, 2 est le reste de la division euclidienne de par 5. Remarque Cette dernière idée est importante : si a [ n] alors a p p [ n]. ( )

7 Exemple 9 Déterminer le reste de la division euclidienne de par 7. Comme ( ) [7], 6 [7] soit 6 [7] ou encore 6 6 [7]. Comme 0 6< 7, le reste de la division euclidienne de par 7 est Exemples d utilisations des congruences Exemple 20 a) Déterminer le reste de la division euclidienne de par 7. b) Déterminer le reste de la division euclidienne de par 7. c) Quel est le chiffre des unités de ? a) On a : [ 7]; 20 2 [ 7]; 200 [ 7]. Par compatibilité avec la multiplication, on a [ 7] 67 [ ]. Comme 0 6< 7, le reste de la division euclidienne de par 7 est b) [ 7] donc, par compatibilité des puissances, [ 7]. Cherchons alors k tel que 3 k soit congru à ou modulo 7. 2 Comme 3 3[ 7],on a : 3 9 [ 7 ] soit 3 2 2[ 7] ; [ 7 ] 3 soit 3 [7] Ainsi, ( 3 ) ( ) [ 7] soit 3 [ 7 ]. Ce résultat a des conséquences importantes : 62 2 (3 ) [7] 63 3 (3 ) [7] 6 k k (3 ) [7] pour tout k On effectue la division euclidienne de 04 par 6 : 04 = donc = donc ( 3 ) 3 [ 7] Ainsi, [ 7]. Comme 0 2< 7, le reste de la division euclidienne de par 7 est 2. c) Déterminons à quel nombre compris entre 0 et 9 est congru modulo 0. Le nombre 203 est congru à son chiffre des unités modulo 0 donc

8 [ 0] et [0]. Comme 2 3 = 9, 3 2 [0]. Ainsi, = ( ) 52 ( ) [ 0] 0 [ ]. Ainsi est congru à modulo 0 et le chiffre des unités de est. Exemple 2 Critère de divisibilité par On note abcd = 000a + 00b + 0 c + d l écriture d un nombre (en base dix) dont les chiffres sont a, b, c et d. Par exemple, 5432 = a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 00 par, puis de 000 par. b) Montrer que si un nombre entier n vérifie n = 0 [ ] alors on peut aussi écrire n = [ ]. c) En déduire que abcd est divisible par si, et seulement si, a +b c +d est divisible par. a) On a 00 = 9 + donc 00 [ ] ; 000 = donc [ ]. b) Si n 0 [] alors comme 0 [], on a par transitivité n []. Ainsi, 000 [ ]. c) Comme abcd = 000a + 00b + 0 c + d et 000 [ ] ; 00 [ ] ; 0 [ ] on a : abcd 000a + 00b + 0c + d [ ] a+ b c+ d [ ] a+ b c+ d [ ]. Donc, abcd est divisible par si, et seulement si, a +b c +d est aussi divisible par.

9 Exemple 22 Clé de RIB Le R.I.B. (Relevé d Identité Bancaire) est un nombre N constitué de gauche à droite de la façon suivante : Code de la banque Code du guichet Numéro du compte Clé 5 chiffres 5 chiffres chiffres 2 chiffres Pour calculer la clé de contrôle d un RIB, on considère le nombre a formé par les 2 premiers chiffres ; on calcule le reste r de la division euclidienne de N = 00 a par 97 ; la clé RIB est 97 r. Calculer à l aide de la calculatrice la clé du RIB suivant (l écriture décimale de N comportant «trop de chiffres» pour la calculatrice, on pourra se demander comment les congruences peuvent nous aider à mener ce calcul) : Code de la banque Code du guichet Numéro du compte Clé? On a : N = = Le nombre N est trop grand (23 chiffres alors que l affichage de la calculatrice en montre entre 9 et 2) pour que l on puisse utiliser la calculatrice ; on peut, par exemple, utiliser les puissances de 0 et leur congruence modulo 97. On a : = donc 0 mod 97 ; 0 = 0 donc 0 0 mod 97 ; =00= 97+3 donc 0 3 mod 97. Utilisons la compatibilité des congruences avec la multiplication : =0 0 donc mod 97 soit 0 30 mod =0 0 donc mod 97 soit 0 9 mod 97 ; on obtient ainsi le tableau suivant : Puissance de 0 n 0...mod Puissance de n 0...mod Écrivons par exemple : 9 3 N = On obtient alors par compatibilité des congruences avec l addition N mod 97 soit N mod 97. Comme , on en déduit que N 33 mod 97 et que la clé du RIB est 64 car = 64.

10 4. Application : écriture des nombres en base b (résultats non exigibles) a) Introduction Notre système de numération est de base 0. Cela tient à la façon de compter les éléments. Supposons que l on dispose d une certaine collection d objets. On les regroupe par 0. On obtient q groupes de 0 objets et u objets que l on n a pas pu inclure dans un groupe (u < 0). On appelle groupement du er ordre ces groupes de 0 objets. Supposons, par exemple, que pour notre collection, u = 3. On regroupe alors par 0 ces q groupements du er ordre. On obtient alors q 2 groupements du 2 e ordre (c est-à-dire un groupe de 0 groupements du er ordre) et il reste d groupements du er ordre isolés. Supposons, par exemple, que d = 7. On regroupe alors ces groupements du 2 e ordre par 0. Supposons qu il reste c = 6 groupements du 2 e ordre et que l on ait obtenu m = 5 groupements du 3 e ordre (on ne peut donc pas faire de «groupement du 4 e ordre»). Notons N le nombre d objets de la collection. On peut décrire les regroupements précédents par les divisions euclidiennes suivantes : N = 0q + u, q= 0q2+ d et q2 = 0m+ c. On en déduit : N = 0q+ u = 0 ( 0q2+ d)+ u = 0 ( 0 ( 0m+ c)+ d)+ u 3 2 = m 0 + c 0 + d 0 + u = On dit que m, c, d et u sont les chiffres composant l écriture en base 0 du nombre N (u : chiffre des unités, d des dizaines, c des centaines et m des milliers). On regroupe maintenant les objets par 8, on obtient q 8-groupements du er ordre et e objets isolés. Comme = , on a q = 709 et e =. On regroupe alors les q 8-groupements du er ordre par 8. On obtient q 2 8-groupements du 2 e ordre et d 8-groupements du er ordre isolés. Comme 709= , on a q 2 = 88 et d = 5. On regroupe alors les q 2 8-groupements du 2 e ordre par 8. On obtient q 3 8-groupements du 3 e ordre et c 8-groupements du 2 e ordre isolés. Comme 88 = 8 + 0, on a q 3 = et c = 0. On regroupe alors les q 3 8-groupements du 3 e ordre en q 4 8-groupements du 4 e ordre et b 8-groupements du 3 e ordre isolés. Comme = 8 + 3, on a q 4 = et b = 3. On ne peut pas effectuer de regroupement d ordre supérieur avec le groupement du 4 e ordre restant (a = ). On déduit des précédentes divisions euclidiennes :

11 4 3 2 N = ( 8a+ b)+ c + d + e = a 8 + b 8 + c 8 + d 8 + e. q3 q2 q On dit que abcde 8 est l écriture en base 8 de N. Ici : =. b) Définition Propriété 9 admise Soit b élément de N \{ 0 ; }. Tout entier naturel n peut s écrire d une manière unique : n npb p p = + np b nb + n0b 0 { } < avec n p 0 et pour tout i de 0 ;;... ;p, 0 ni b. Définition 5 Soit b élément de N \{ 0 ; }. Si l entier naturel n s écrit n npb p p = + np b nb + n0b 0, avec n p 0 et { } < pour tout i de 0 ;;... ;p, 0 ni b,alors : b l écriture en base b de n est npnp... nn0 ; les nombres np, np,..., n et n0sont les chiffres de l écriture en base b de n. Remarque La barre que l on met au-dessus n a qu un seul rôle : c est celui de faire comprendre que les chiffres sont écrits côte à côte dans l ordre donné. Sans la barre, on pourrait croire que les x i se multiplient entre eux, et ici ce n est pas le cas.

12 Exemple 23 Écrire 7 x = 402 en base 0. x = 402 = = = 98 0 (=98 ). Remarques Exemple 24 Dans le système décimal (base dix) les chiffres sont : 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dans le système binaire (base deux) les chiffres sont : 0,. Au-delà de la base 0, on complète par d autres symboles pour avoir le nombre de «chiffres» voulus. Dans le système de base onze, les onze chiffres sont : 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α. Dans le système de base douze (duodécimal), les douze chiffres sont : 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β. Écrire 534 en base 8. Méthode On cherche la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale à 534. On a : < 8 4 (soit < 4096 ). On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale 3 à = 22. On a : 8 22< 8 2. On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale à 22 8 = 4. On a : 8 4< 8 2. On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale à 4 8 = 6. On a 6 < 8, on s arrête alors et on a : 4= 8 + 6, 22=8 + 4= , = = = donc 534 = On déduit de la dernière égalité : 534 = Méthode 2 On s inspire des calculs effectués dans l introduction. On a : 534= (donc 6 éléments isolés) ; er 66 = (donc 2 groupements du ordre isolés) ; 8= e (donc 0 groupements du 2 ordre isolé) groupement du 3 e ordre. Cela nous donne bien 534 = ;

13 On peut présenter les calculs précédents de la façon suivante : Condition d arrêt c) Critères de divisibilité Soit le nombre n xpxp... x x (il s agit de l écriture avec les chiffres écrits les uns à côté des autres). = 0 0 Critère de divisibilité par 2 On a n= xpxp... x 0 + x0 or 0 0 [2] donc n x 0 []. 2 Il en résulte que n est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par 2, c est-à-dire s il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Critère de divisibilité par 3 p p On a n= xp0 + xp x0 + x0 or 0 [3] donc, pour tout k k N, 0 [ 3]. Ainsi, n xp + xp x+ x0 [ 3]. Il en résulte que n est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3. Critère de divisibilité par 5 On a n= xpxp... x 0 + x0 or 0 0 [5] donc n x 0 [ 5]. Il en résulte que n est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par 5, c est-à-dire s il se termine par 0 ou 5. Critère de divisibilité par 9 et «preuve par 9» p p On a n= xp0 + xp x0 + x0 or 0 [9] donc, pour tout entier k, 0 k k [ 9] soit 0 k [9]. Ainsi, n xp + xp x+ x0 [9]. Il en résulte que n est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 9. Le fait qu un nombre soit congru modulo 9 à la somme des chiffres de son écri- ture décimale permet d obtenir facilement et «de tête» le reste de la division euclidienne d un entier naturel par 9. C est cette idée qui est à l origine de la preuve par 9 qui permet aux jeunes élèves apprenant la multiplication de «véri- fier un calcul».

14 Exemple = On a : [9] donc a pour reste dans la division euclidienne par 9 ; [9] donc a pour reste 4 ; [9] donc le produit a pour reste 4 dans la division euclidienne par [9] donc a pour reste 6 et ne peut donc pas être égal au produit. Bien sûr, la preuve par 9 ne peut pas nous prouver qu un calcul est exact. Critère de divisibilité par 0 On a n= xpxp... x 0 + x0 donc n x 0 est divisible par 0 donc n x 0 [ 0]. Il en résulte que n est divisible par 0 si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par 0, c est-à-dire s il se termine par 0. D Exercice 4 Exercice 5 Exercices d apprentissage a) À quel entier naturel inférieur à le nombre est-il congru modulo? b) Les nombres et sont-ils congrus modulo 7? Sans utiliser la calculatrice, déterminer le reste dans la division euclidienne : a) de par 7 ; b) de par 3 ; c) de par 5.

15 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Démontrer que, pour tout entier naturel n, 7 n 2 n est un multiple de 5. a) Montrer que 999 est congru à 4 modulo 7. b) Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7. Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7. a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n 3 modulo 7. b) En déduire que ( n 3 + ) est divisible par 7. Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors ( n 3 ) est divisible par On considère le nombre A = Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que A est divisible par 7. Quel est le reste de la division euclidienne de 5 par 8? Quel est le reste de la division euclidienne de 5 2 par 8? Quel est le reste de la division euclidienne de 5 86 par 8? Quel est le reste de la division euclidienne de 5 87 par 8? Quel est le reste de la division euclidienne de par 8? 2n+ 2 Soit n un entier naturel. Montrer que 5 + n est un multiple de 8. Donner l écriture de en base 0. Donner l écriture décimale (en base 0) de AD78 6. Donner l écriture de en base 0. Donner l écriture de en base 8. Donner l écriture de 792 en base 2.

16 Exercice 20 Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l habitude de communiquer à l aide de messages codés. Ils réalisent toujours leur chiffrement de la façon suivante : Chaque lettre de l alphabet munie de son numéro d ordre n est remplacée par la lettre de l alphabet munie du numéro d ordre p ( p 26) obtenu à l aide de la formule p 3 n+ 7 [ 26]. Par exemple, la forme chiffrée de L est Q car Compléter la table de chiffrement donnée ci-dessous = 43 et 43 7 [ 26]. Lettre n p Forme chiffrée A B C D E F G H I J K L M Q Lettre n p Forme chiffrée N O P Q R S T U V W X Y Z Arthur a envoyé le message suivant à Wilson : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV. Retrouver la forme déchiffrée du message. Wilson désire lui répondre : MERCI. Donner la forme chiffrée de ce message. a) Montrer que si p 3n+ 7 [26] alors n 9p+ 5 [26]. b) En déduire une façon de retrouver une lettre à partir de sa forme chiffrée. Exercice 2 Soit a un entier, en étudiant les différents restes possibles dans la division 5 euclidienne par 5, montrer que a a est divisible par 5. En déduire le chiffre 5 des unités de a a? Étudier les différents restes possibles des carrés modulo 4. En déduire que 205 n est pas la somme de deux carrés.

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