La fonction exponentielle

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1 La fonction eponentielle Problème à résoudre { On cherche les fonctions f dérivables sur R telles que f(0) = f = f Nous avons déjà essayé de construire une représentation graphique approchée d'une telle fonction au voisinage de 0 en utilisant la méthode d'euler. I) Dénition de la fonction eponentielle ) Théorème et dénition Théorème Il eiste une unique fonction f dénie et dérivable sur R telle que f(0) = et f = f. Cette fonction est appelée eponentielle et notée ep. Démonstration. Deu points à montrer : Eistence. (admis pour l'instant) Unicité. Pour démontrer l'unicité d'une telle fonction nous allons avoir besoin d'un résultat intermédiaire : Lemme 2 Si f est une fonction dérivable sur R telle que f(0) = et f = f, alors ) Pour tout R, f() f( ) =. 2) La fonction f ne s'annule pas sur R, elle est même strictement positive. Démonstration du lemme 2. ) Pour tout R, on pose ϕ() = f()f( ). La fonction ϕ est dénie et dérivable sur R. De plus ϕ est un produit de la forme u v, où v est une fonction composée : ϕ () = f ()f( ) + f()f ( ) ( ) = f()f( ) f()f( ) = 0 Ainsi ϕ est constante. Or ϕ(0) = f(0)f( 0) = =. Donc, pour tout R, f()f( ) = ϕ() = ϕ(0) = 2) Raisonnons par l'absurde : soit a R tel que f(a) = 0. Alors ϕ(a) = f(a)f( a) = 0 f( a) = 0. Mais, d'après ci-dessus, ϕ(a) =. Ce qui est absurde. Pour montrer que f > 0, raisonnons aussi par l'absurde : soit a R tel que f(a) < 0. La fonction f est dérivable donc continue sur R, f(0) = > 0 et f(a) < 0, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste b compris entre 0 et a tel que f(b) = 0. Ce qui est impossible d'après ci-dessus. Donc f() > 0 pour tout R.

2 Démonstration du théorème (unicité). Soit f et g qui conviennent. Posons ϕ = f g. La fonction ϕ est dénie et dérivable sur R (car g() 0 pour tout R, d'après le lemme). Vu que f = f et g = g, il vient ϕ = f g fg fg fg = = 0 g 2 g 2 Donc ϕ est constante et comme ϕ(0) = f(0)/g(0) = / =, pour tout R ϕ() =. C'est-à-dire f/g =, d'où f = g. Il y a donc unicité. 2) Propriétés de la fonction eponentielle Propriété 3 ) La fonction ep est dérivable sur R, et pour tout R, ep () = ep(). 2) ep(0) = 3) Pour tout R, ep( ) = 4) Pour tout R, ep() > 0 ep() 5) Pour tout R et tout y R, ep( + y) = ep() ep(y) 6) Pour tout R et tout y R, ep( y) = ep() ep(y) 7) Pour tout R et tout n Z, ep(n) = (ep()) n Démonstration. ) Par dénition. 2) Par dénition. 3) Lemme 2, point. 4) Lemme 2, point 2 : pour tout R, ep() ep( ) = donc ep( ) = ep(). 5) On procède comme lors de la démonstration du lemme 2, point 2. Soit y R é. La fonction dénie par ϕ y () = ep( + y) ep( ) est dénie et dérivable pour tout R. De plus ϕ y() = ep (+y) ep( )+ep(+y) ep ( ) ( ) = ep(+y) ep( ) ep(+y) ep( ) = 0 Ainsi ϕ y est constante. Or ϕ y (0) = ep(0 + y) ep( 0) = ep(y). Donc, pour tout R, ep( + y) ep( ) = ϕ y () = ϕ y (0) = ep(y) Donc, d'après le point 3, pour tout R, ep( + y) = 6) Conséquence des points 5 et 4. 7) Récurrence. ep(y) = ep() ep(y) ep( ) Début classique de la plus part des démonstrations d'unicité. 2

3 3) Le nombre e et la notation puissance Les résultats précédents montrent que la fonction ep possède les propriétés algébriques des puissances. Dénition 4 On note e le nombre ep() : e = ep() Remarque 5 e 2,78. On peut d'ailleurs obtenir cette approimation avec la méthode d'euler. Recherche d'une notation simpliée : Pour tout n N, ep(n) = ep(n ) = (ep()) n = e n (d'après la propriété 3.7) ep( n) = ep(n) = e = n e n (d'après la propriété 3.7) Notation 6 Pour tout R on note ep() = e. II) Étude de la fonction eponentielle ) Sens de variation Propriété 7 La fonction ep est strictement croissante sur R Démonstration. Pour tout R, ep () = ep() > 0 (propriété 3.4) 2) Tableau de variation + + ep 0 Pour la preuve des ites au bornes, voir le paragraphe 5). Les preuves devront être connues. Propriété 8 Asymptote : ep() = 0 donc y = 0 est une asymptote à la courbe C au voisinage de. Équation de la tangente à C en = 0 : y = ep (0)( 0) + ep(0) = + = + 3

4 Position de C par rapport à sa tangente en = 0 Il faut étudier le signe de ϕ() = e ( + ) sur R. La fonction ϕ est dérivable, et ϕ () = e. Or pour tout R, ϕ () 0 e 0 + e e 0 0 ϕ () 0 + ϕ 0 Donc, pour tout R, ϕ() 0, c'est-à-dire C ep est au-dessus de sa tangente. Équation de la tangente à C en =. Par dénition, ep() = e et ep () = ep() = e. Donc y = ep ()( ) + ep() = e( ) + e = e 3) Représentation graphique f() 6 5 T 4 T 0 3 e ) Résolution d'équations et d'inéquations Propriété 9 Pour tout réel a et b, e a = e b a = b e a > e b a > b Démonstration. La fonction ep est strictement croissante. 4

5 5) Limites en l'inni Propriété 0 ) + e = +. 2) e = 0. Démonstration. ) D'après ci-dessus, pour tout R, e +. Or + = +. + Donc, par comparaison, + e = +. 2) La propriété précédente entraîne + e = 0. De plus e = e et = +. Donc, par composition des ites, e = 0. III) Applications ) Fonctions composées du type e u C'est un cas particulier de fonction composée à connaître impérativement. Propriété Soit u une fonction dénie et dérivable sur un intervalle I. Alors (e u ) = u e u Démonstration. Posons v = ep. Puisque v = ep, la formule de dérivation des fonctions composées s'écrit f = (v u) = u (v u) = u e u. Eemple 2 Étudier la fonction dénie par f() = e pour tout R. La fonction u dénie sur R par u() = a pour dérivée u () =. Pour tout R, f() = ep(u()), donc, d'après la propriété, f () = u () ep(u()) = ep( ) = e. 2) Croissance comparée Propriété 3 e ) + = +. 2) e = 0. Démonstration. La démonstration est du même type que celle de la propriété 0. 5

6 ) Pour calculer la ite, nous allons minorer e / (pour > 0) par une fonction qui tend vers + en +. Plus précisément, montrons que, pour tout > 0, 2 e Le /2 est décoratif, pour simplier les calculs (voir plus bas). Simplions cette inégalité. 2 e 2 2e 0 2e 2 ( est positif ici!) Pour tout 0, posons ϕ() = 2e 2, et étudions son signe. La fonction ϕ est dérivable (deu fois) sur R + et, pour tout 0, ϕ () = 2e 2 et ϕ () = 2e 2 = 2(e ) D'après la proposition 9, ϕ () > 0 pour tout > 0 (d'où l'intérêt du /2 ). Donc ϕ est strictement croissante et ϕ () > ϕ (0) = 2 > 0 pour tout > 0. Ainsi ϕ est elle aussi strictement croissante et ϕ() > ϕ(0) = 2 > 0. On en déduit que pour tout > 0, Or /2 = +, donc, par comparaison, + En conclusion, 2) = e + = +. + e. Or, pour tout > 0, 2 e + e = +. e = e = e Or e + = +, donc e = 0. Un corollaire de cette propriété est la généralisation suivante : Propriété 4 Pour tout n N, e ) + = n +. 2) n e = 0. Démonstration. On suppose n, sinon le résultat découle immédiatement de la propriété 0. Montrons le ), le second point se montrant de la même façon qu'en 3. Pour tout ]0; + [, on dénie les fonction suivantes : f() = e n et g() = e ( ) e /n n ( ) e /n n ( ) n Or, pour tout > 0, f() = = = C n (g(/n)) n, où C n > 0 est une /n n constante ée (puisque n est é). De plus, d'après les ites usuelles et la proposition 3, /n = + + g() = n = +

7 Donc, par composition des ites e + = f() = + n + 7