Notes de cours. Equations différentielles PC, Lycée Dupuy de Lôme

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1 Notes de cours Equations différentielles PC, Lycée Dupuy de Lôme I désigne un intervalle de R. On note K = R ou C 1 Equations différentielles linéaires d ordre Généralités Définition On appelle équation différentielle linéaire d ordre 1 une équation du type : x I, a 1 (x)y (x) + a 2 (x)y(x) = b 1 (x) avec a 1, a 2, b 1 : I K continues données et y : I K une fonction C 1 l inconnue. Remarque Lorsque a 1 ne s annule pas sur I, on peut mettre l équation sous la forme : x I, y (x) + a(x)y(x) = b(x) Exemple Soit a, b : R R C. Montrer que toute solution de l équation différentielle suivante est C y (x) + a(x)y(x) = b(x) Théorème Soit a, b : I C continues. Soit (E) : x I, y (x) + a(x)y(x) = b(x) Les solutions de (E) sur I sont de la forme : y(x) = y h (x)+y 0 (x). Où y h la solution générale de l équation homogène associée, y 0 est une solution particulière. L équation homogène est (E h ) : y (x) + a(x)y(x) = 0. Ses solutions sur I sont de la forme : x I, y h (x) = Ke A(x) où A est une primitive de a sur I, et K une constante (K K). L ensemble des solutions de (E h ) sur I est donc un espace vectoriel de dimension 1. Une solution particulière sur I peut/doit être cherchée sous la forme : y 0 (x) = K(x)e A(x) où K : I R est une fonction C 1. Soit x 0 I et y 0 K. (E) possède une unique solution y sur I telle que y(x 0 ) = y Exemples Exemple Soit y l unique solution sur R de l équation différentielle : Montrer que y est impaire. y (x) xy(x) = cos(x), y(0) = 0 Exemple Soit y une solution sur ], 1[ de l équation : 2(1 x)y (x) + y(x) = sin(x 2 + x), y(0) = 0 Déterminer le développement limité à l ordre 3 de y en 0. 1

2 Exemple Soit z : [0, + [ C continue bornée. Soit λ C tel que Re(λ) < 0. Montrer que toute solution sur [0, + [ de cette équation différentielle est bornée : Exemple Trouver les solutions polynômiales de y (x) λy(x) = z(x) x R, xy (x) y(x) = x 2 Exemple Soit a, b C distincts. Trouver les valeurs propres de l endomorphisme de C n T défini par : T (P ) = (X 1)(X + 1)P nxp 1.3 Raccordement de solutions Exemple Déterminer les solutions sur ] 1, 1[ de xy (x) + y(x) = Montrer que la seule solution obtenue est C. 2x 1 x 4 Exemple Quelle est la dimension de l espace des solutions de l équation différentielle suivante sur R : sin(x)y (x) 2 cos 2 (x)y(x) = Systèmes différentiels linéaire Définition Soit n 1. On appelle système différentiel linéaire d ordre 1 à coefficients constants, un système du type : (S) : i {1,, n}, x i(t) = n a i,j x j (t) où les x 1,, x n : I K sont des fonctions C 1 inconnues, les a 1,1,, a n,n sont nombre (réels ou complexes) Remarque En notant A la matrice (a i,j ) 1 i,j n et X(t) = t (x 1 (t),, x n (t)), le système peut se mettre sous la forme : X (t) = AX(t) Exemple (Par réduction de A) Résoudre : { x (t) = x(t) + y(t) y (t) = x(t) + 3y(t) Théorème Soit t 0 I et a 1,, a n K. (S) possède une unique solution telle que : j=1 k {1,, n}, x k (t 0 ) = a k 2 Equations différentielles linéaires d ordre Généralités Définition On appelle équation différentielle linéaire d ordre 2 une équation du type : x I, a 1 (x)y (x) + a 2 (x)y (x) + a 3 y(x) = b 1 (x) avec a 1, a 2, a 3, b 1 : I K continues données et y : I K une fonction C 2 l inconnue. 2

3 Remarque Lorsque a 1 ne s annule pas sur I, on peut mettre l équation sous la forme : Théorème Soit a, b, c : I K continues. Soit x I, y (x) + a(x)y (x) + b(x) = c(x) (E) : x I, y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = c(x) Les solutions de (E) sur I sont de la forme : y(x) = y h (x)+y 0 (x). Où y h la solution générale de l équation homogène associée, y 0 est une solution particulière. L équation homogène est (E h ) : y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = 0. L ensemble des solutions de (E h ) sur I est un espace vectoriel de dimension 2. Soit x 0 I et y 0, y 1 K. (E) possède une unique solution y sur I telle que y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1. Exemple Que pensez des solutions de l équation différentielle : Exemple Résoudre sur R : y (x) + y(x) = 0, y(0) = y(π) (x 1)y (x) xy (x) + y(x) = Equations différentielles linéaires d ordre 2 à coefficients constants Théorème On considère l équation différentielle linéaire homogène d ordre 2 à coefficients constants : (H) : y (x) + ay (x) + by(x) = 0 où a, b K, où y : I K est l inconnue. Si K = C. Notons (E) : z 2 + az + b = 0 l équation caractéristique de (H). Si (E) possède deux racines distinctes r 1, r 2. Les solutions de (H) sont de la forme : y(t) = ae r1t + be r2t avec a, b C Si (E) possède une racine double r. Les solutions de (H) sont de la forme : y(t) = (a + bt)e rt avec a, b C Si K = R. Notons (E) : x 2 + ax + b = 0 l équation caractéristique de (H). Si (E) possède deux racines réelles distinctes r 1, r 2. Les solutions de (H) sont de la forme : y(t) = ae r1t + be r2t Si (E) possède une racine réelle double r. Les solutions de (H) sont de la forme : y(t) = (a + bt)e rt Si (E) possède deux racines complexes conjuguées z 1 = r + iω, z 2 = r iω. Les solutions de (H) sont de la forme : Proposition On considère l équation différentielle : y(t) = e rt (a cos(ωt) + b sin(ωt)) (L) : y (t) + ay (t) + by(t) = P (t)e λt où a, b, λ K et P K[X]. Notons m la multiplicité de λ comme racine de l équation, m {0, 1, 2}. (L) possède une solution particulière de la forme : y(t) = t m Q(t)e λt où Q K[X] est un polynôme tel que deg(p ) = deq(q). y (x) + 2y (x) + y(x) = ch(x) 3

4 2.3 Equations différentielles linéaire d ordre 2 homogène à coefficients variables Définition On considère l équation différentielle : où a, b : I K continues. On appelle système fondamental de solutions de (H) toute couple (u, v) de fonctions formant une base de l espace vectoriel des solutions de (H). Définition On considère l équation différentielle : où a, b, c : I K continues. Soit u, v deux solutions de I, on appelle Wronskien de u et v, la fonction W définie par : W = uv u v Proposition Avec ces notations : W est solution de l équation différentielle : W + aw = 0 Les assertions suivantes sont équivalentes : (u, v) est un système fondamental de solutions de H Il existe t 0 I tel que W (t 0 ) 0 Pour tout t I, W (t) 0 Exemple Montrer que les solutions de : sont de la forme : y (t) + ty (t) + y(t) = 0 y(t) = λe t2 2 + µe t2 2 t 0 e s2 2 ds Proposition (Méthode de Lagrange) On considère l équation différentielle : où a, b, c : I K continues. On suppose connue une fonction u solution de (H) sur I ne s annulant pas. Notons z = y u, z est solution d une équation différentielle linéaire d ordre 1. Preuve... Exemple Résoudre sur R : (1 + t 2 )y (t) 2y(t) = Equations différentielles linéaire d ordre 2 à coefficients variables avec second membre Proposition (Méthode de varaitions des constantes) On considère l équation différentielle : (L) : y (t) + a(t)y (t) + b(t)y(t) = c(t) où a, b, c : I K continues. Soit (u, v) un système fondamental de solutions de l équation homogène associée. (L) possède une solution particulière du type : y(t) = K 1 (t)u(t) + K 2 (t)v(t) où K 1, K 2 sont des fonctions C 1 sur I vérifiant : { K 1 (t)u(t) + K 2(t)v(t) = 0 K 1(t)u (t) + K 2(t)v (t) = c(t) Preuve... Exemple Résoudre sur ]0, + [ : y (x) + 3y (x) + 2y(x) = x 1 x 2 e x 4

5 2.5 Cas particuliers Exemple (Résolution par changement de variable) Résoudre sur ]0, + [ l équation : En posant x = e t. x 2 y (x) + y(x) = 0 Exemple (Résolution par série entière) Résoudre sur ]0, + [ : xy (x) + 2y (x) xy(x) = 0 En commençant par rechercher les solutions de la forme x x a f(x) avec f développable en série entière. 3 Equations différentielles non linéaires 3.1 Généralités Définition Soit U un ouvert de R 2. Soit f : U R une fonction continue. On s interesse à l équation différentielle : y (x) = f(y(x), x), Où y : I R ( l inconnue) est C 1 sur I et vérifie : x I, (x, y(x)) U Définition Une solution de cette équation est dite maximale si elle ne peut pas être prolongée en un une solution sur un intervalle plus grand. Définition On appelle courbe intégrale le graphe de toute solution maximale. Exemple L équation différentielle (y (x) = 2x(1+y 2 (x))) possède x tan(x 2 ) sur ] π 2, π 2 [ comme solution maximale. Théorème (Cauchy-Lipschitz) Soit U un ouvert de R 2. Soit f : U R une fonction C 1. L équation y (x) = f(y(x), x) et y(x 0 ) = y 0 possède une unique solution maximale avec x 0 I. y (x)y(x) = x 3.2 Exemple d étude qualitative Exemple Etudier la solution maximale de y (x) = 1 + x 2 y 2 (x), y(0) = 0. (Définition, monotonie, impparité, I borné, limites) 3.3 Equations à variables séparables Définition On appelle équation à variables séparables une équation du type : y (x) = u(y(x))v(x) y (x) = y(x)(1 + y(x)) 1 + xy (x) = e y(x), y(1) = Systèmes autonomes Définition Soit f, g : U R. On appelle système autonome, un système différentiel du type : { x (t) = f(x(t), y(t)) y (t) = g(x(t), y(t)) où x, y : I R (les inconnues) sont C 1 et vérifient t I, (x(t), y(t)) U Définition On appelle courbe intégrale du système, la courbe paramétrée (x(t), y(t)), t I { x (t) = x 2 (t) + x(t)y(t) y (t) = y 2 (t) + x(t)y(t) 5