Correction devoir de mathématiques n 3

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1 Page1 Correction devoir de mathématiques n 3 Calculatrice autorisée. Le sujet contient 4 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l attribution des points. Le barème sur 30 est donné à titre indicatif. Exercice 1 Après avoir donné l ensemble de définition, résoudre les équations suivantes : (5 points) a/ (4 5x) 3 = 0,064 b/ 1 x² x + 3 = 0 c/ x3 = 7 D = R (4 5x) 3 = 0,064 (4 5x) 3 = 0, x = 0,4 5x = 3,6 x = 0,7 S = {0, 7} Il ne faut pas que : x x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 ou (x 1) = 0 x = 0 ou x = 1 D = R\{0; 1} 1 x² x + 3 = 0 1 x² x = 3 1 = 3(x² x) 1 = 3x + 3x 3x 3x + 1 = 0 Δ = b 4ac = ( 3) = 3 Δ < O donc l équation n a pas de solutions réelles d où S = D = R x 3 = 7 x 3 = 3 3 x = 3 S = {3} Exercice (6 points) Soit f une fonction définie sur [-6 ; 8] et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :

2 Page 1/ Compléter le tableau suivant à l aide du graphique : x y = f(x) / Dans quel intervalle varie f(x) lorsque x varie dans [ 1 ; 4]? Lorsque x varie dans [-1 ; 4], f(x) varie dans [ 4 ; ]. 3/ Résoudre graphiquement dans [ 6 ; 8] l équation suivante : f(x) = 3 On cherche les abscisses des points d intersection entre Cf et la droite d équation y = 3. S = {3 ; 5} Ou Les solutions de l équation f(x) = 3, sont les abscisses des points d intersection de la courbe Cf avec la droite d équation y = 3. 4/ Résoudre graphiquement dans [ 6 ; 8] l inéquation suivante : f(x) 0 On cherche les abscisses des points de Cf situés au dessus de l axe des abscisses : S = [ 6 ; 3] [ 1, 5 ; ] Ou Les solutions de l inéquation f(x) 0, sont les abscisses des points de la courbe Cf situés au dessus de l axe des abscisses. 5/ Dresser le tableau de variations de f sur [ 1 8]. x f(x) 1 0,5 4 6/ Dresser le tableau de signes de f sur [ 6 ; 8]. x 6 3 1,5 8 f(x) / Pour quelle valeur de x, la fonction f admet-elle un minimum sur [ 6 ; 8]? Quel est ce minimum? La fonction f admet un minimum pour x = 4. Ce minimum vaut 4.

3 Page3 Exercice 3 (8 points) Dans cet exercice, on désire étudier une loi de marché relative à une revue «MOTS» en fonction du prix de l'abonnement annuel. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 00] par : f(p) = 50p On admet que cette fonction donne le nombre d'abonnés en fonction du prix p, en euros, de l'abonnement annuel à cette revue «MOTS». Partie A : Nombre d'abonnés 1. Lorsque l'abonnement est fixé à 50, quel est le nombre d'abonnés? f(50) = = Lorsque l'abonnement est fixé à 50, il y a abonnés. Quelle est l'image de 5 par f? Que représente cette image? f(5) = = Lorsque l'abonnement est fixé à 5, il y a abonnés. L image de 5 représente le nombre d abonnés pour un prix de Justifier que toute augmentation de du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à cette revue MOTS. f(p + ) = 50(p + ) = 50p = 50p = f(p) 100 Donc toute augmentation de du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à cette revue MOTS. 4. Si le nombre d'abonnés à la revue «MOTS» est de 5 000, quel est alors le prix de l'abonnement annuel? f(p) = p = p = 7500 p = 150 Si le nombre d'abonnés à la revue «MOTS» est de 5 000, alors le prix de l'abonnement annuel est de En utilisant les variations de la fonction f, justifier que, pour ce produit : «plus il est cher, plus la demande diminue». La fonction f est une fonction affine de coefficient directeur a = 50, donc négatif. La fonction est donc décroissante sur [0 ; 00]. Ce qui justifie que plus la revue est chère, plus la demande diminue. Partie B : Étude de la recette On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue «MOTS» perçu par l'éditeur de la revue. 1. Calculer la recette lorsque : a. le prix de l'abonnement est égal à 50 ; D après la question A1, lorsque l'abonnement est fixé à 50, il y a abonnés. Donc la recette est de : = = f(50) 50

4 Page4 b. le prix de l'abonnement est fixé à 40 ; f(40) = = Lorsque l'abonnement est fixé à 40, il y a abonnés. Donc la recette est de : = = f(40) 40 c. le nombre d'abonnés est égal à D après la question A4le nombre d abonnés est égal à 5000, l'abonnement est de 150. Donc la recette est de : = = f(150) 150. Le prix de l'abonnement est égal à p euros. Exprimer la recette en fonction de p et f(p). La recette est alors de : f(p) p 3. En déduire que la fonction R, définie sur l'intervalle [0 ; 00] par : R(p) = 50p p est égal à la recette correspondant à un prix de l'abonnement égal à p euros. f(p) p = ( 50p )p = 50p p = R(p) 4.Quel est le prix de l'abonnement annuel à cette revue «MOTS» qui rend la recette maximale? Quel est alors le montant de la recette? R est un polynôme du nd degré, sa courbe représentative est une parabole. Comme a = 50 < 0 alors R est croissante sur [0 ; 15] et est décroissante sur [15 ; 00]. Coordonnées du sommet : α = b a = 15 β = R(α) = La recette maximale est atteinte pour 15 abonnés et vaut R(15) = Exercice 4 (11 points) 1/ Calculer les cinq premiers termes de la suite (u n ) définie par : u n = n u 0 = 0 = 1 u 1 = 1 = u = = 4 u 3 = 3 = 8 u 4 = 4 = 16 / Calculer les cinq premiers termes de la suite (v n ) définie par : v 0 = 6 { v n+1 = 3 1 v n v 0 = 6 v 1 = 3 1 v 0 = = 0 v = 3 1 v 1 = = 3 v 3 = 3 1 v = = 1,5 v 4 = 3 1 v 3 = 3 1 1,5 =,5

5 Page5 3/ Etudier le sens de variation des suites ci-dessous : a/ u n = n² + 4n (n N) u n+1 u n = (n + 1)² + 4(n + 1) n² 4n = n² + n n + 4 n² 4n = n + 5 Or n N donc n 0 i.e. n 0 d où n + 5 > 0 donc u n+1 u n > 0 donc la suite est strictement croissante. Donc b/ v n = 3n + 1 (n N) 4 6(n + 1) v n+1 v n = = n 4 1 6n n 1 = = = 3 = 1,5 < 0 donc la suite est strictement décroissante. v n+1 v n < 0 c/ w n = 3n² 4n + 5 à l aide d une fonction judicieusement choisie. On considère la fonction associée : f(x) = 3x² 4x + 5 C est un polynôme du second degré. Sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas car a = 3 < 0. Coordonnées du sommet : ( 4) α = ( ( 3)) = 3 β = f(α) = 19 3 Donc sur ] ; ] la courbe représentative est croissante et sur [ ; + [ la courbe est représentative 3 3 est décroissante. Mais n N donc sur R +, la courbe est strictement décroissante, donc la suite est strictement décroissante. 4/ Compléter la suite de nombres en justifiant votre réponse : Dans la suite de nombres : , on constate que chaque terme est obtenu par l addition de ses deux prédécesseurs donc les nombres qui suivent sont : / Parmi les suites ci-dessous, définies pour tout n N, reconnaître les suites arithmétiques (Justifier votre réponse et déterminer la raison et le premier terme) a/ u n = 9 n u n+1 u n = 9 (n + 1) (9 n) = 9 n n = 1 La différence est indépendante de n. La suite (u n ) est donc arithmétique de raison 1 et de premier terme : u 0 = 9. b/ v n = n v n+1 v n = n n La différence est indépendante de n. = n 1 + n = 1

6 Page6 La suite (v n ) est donc arithmétique de raison 1 et de premier terme : v 0 = 0. 6/ Déterminer la raison, le premier terme u 0 et le terme général de la suite arithmétique vérifiant : u 0 = et u 30 = 7 La suite étant arithmétique, on sait que : u n = u m + (n m)r Donc la raison de cette suite est: Déterminons le premier terme. On sait que : Donc : u 30 u 0 = (30 0)r 7 = 10r r = 1 u n = u 0 + nr u 0 = u 0 + 0r = u = u u 0 = 8 7/ Soit la suite (u n ) définie par : u n = n² n + 3 Calculer u n+1 puis u n. u n+1 = (n + 1) (n + 1) + 3 = n² + n + 1 n + 3 = n² + u n = (n) (n) + 3 = 4n² 4n + 3 8/ Représenter dans le repère ci-joint, les 5 premiers termes de la suite (w n ) définie par : w n = 0,5n² w 0 = 0,5 0 = w 1 = 0,5 1 = 1,75 De même : w = 1 w 3 = 0,5 w 4 =