LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles Jean-Charles MARTY CNES/GRGS

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1 LES SECONDS MEMBRES: les forces gravitationnelles Jean-Charles MARTY CNES/GRGS 04/09/2002 école d'été du GRGS 1

2 Descrition des forces erturbatrices gravitationnelles telles qu elles sont utilisées our le calcul des seconds ebres des équations différentielles du ouveent. Ces forces dérivent des otentiels suivants Potentiel gravitationnel terrestre Potentiel erturbateur des autres cors (3 ee cors) Les arées terrestres Les arées océaniques La ression atoshérique Ces calculs sont effectués dans le reère terrestre, et les forces obtenues sont tournées dans le reère d intégration céleste choisi 04/09/2002 école d'été du GRGS 2

3 Attraction gravitationnelle de la Terre (1) U GM r L = l l= 0 = 0 l a e P (sinϕ) + r ( C cosλ S sinλ) avec: GM (C P a e,s (r,ϕ,λ) ) (sinϕ) : issu du odèle de otentiel : dei-grand-axe terrestre issu du odèle de otentiel : coefficients de Stokes noralisés issus du odèle : les fonctions de Legendre : coordonnées olaires du satellite 04/09/2002 école d'été du GRGS 3

4 Attraction gravitationnelle de la Terre (2) Le calcul de U est éléentaire. calcul de U Calcul de la force F = U et 2 U ( U) ( C S ), Calcul du tenseur gradient de gravité our le second ebre des F équations aux variations ( ) r Calcul de la dérivée de la force our le second ebre des équations aux variations ar raort à (C,S ) 04/09/2002 école d'été du GRGS 4

5 Attraction gravitationnelle de la Terre (3) Les reères: {r}={x,y,z} reère lié au cors {R}={X,Y,Z} reère d intégration (céleste) X Y Z x = M y z On a : ( U) R = M. ( U) r ( 2 U ) = M. ( 2 U). Mt R r 04/09/2002 école d'été du GRGS 5

6 Attraction gravitationnelle de la Terre (4) Les fonctions de Legendre P (sinϕ) résentent une singularité aux ôles (cosφ = 0) Utilisation des olynôes de eholtz (sinφ) tels que: P (sinϕ) = cos ϕ (sinϕ) Et P = sinϕ sinϕ P = cos sinϕ our = 0 2 ϕ sinϕ + cosϕ our > 0 sinϕ 04/09/2002 école d'été du GRGS 6

7 Attraction gravitationnelle de la Terre (5) Les forules de récurrences ar ordre () utilisées sont : 1) our l = 00 ' = 1, = 0, 11 '' = = 3, 0 = , 1 2) our l = +1 = sinϕ + 1, = 2 + 3, ' + 1, '' + 1, = 0 04/09/2002 école d'été du GRGS 7

8 Attraction gravitationnelle de la Terre (6) 3) our l >+1 l ( sin α ) = α ϕ = α ϕ '' l l l 1, l 2, l 1 ( sin + α ) l 1, l 1, l 2, l 1 ( ) sinϕ '' + 2' - α = α '' l-1, l-1, l-2, l-1 avec α = l ( 2l + 1)( 2l 1) ( l )( l + ) 04/09/2002 école d'été du GRGS 8

9 Attraction gravitationnelle de la Terre (7) En ratique, on calcule axiu donné. jusqu à un degré Pour le calcul des dérivées artielles U / C on, S rend en cote les coefficients (C,S ) suivant l analyse de sensibilité via le logiciel SELECT Les coefficients du cha (C,S ) sont considérés coe statiques sauf: les C l0 our 0<l<10 U et les (C,S ) our 0<l<5 on rend aussi en cote les dérives séculaires our les reiers zonaux. 04/09/2002 école d'été du GRGS 9 2 U Par décades ( ) ( )

10 Attraction gravitationnelle de la Terre (8) Quelques coefficients du cha articuliers: C 00 our ajusteent de GM/r C 10, C 11, S 11 our ajusteent du géocentre 04/09/2002 école d'été du GRGS 10

11 04/09/2002 école d'été du GRGS 11 Attraction gravitationnelle des autres cors (1) + = 3 3 r r r r r r G F constantes : G : GM du cors variables : : vecteur géocentrique satellite : vecteur géocentrique du cors r r

12 Attraction gravitationnelle des autres cors (2) On rend en cote aussi le coulage avec l alatisseent terrestre qui roduit la force: 3 G r.z L L F = - C a2 5-1 r - 2r z 2 r5 20 e r 2 L L L avec : G L : GM de la Lune a e : dei grand axe terrestre C 20 : alatisseent terrestre r : vecteur Terre-Lune L et : z 04/09/2002 école d'été du GRGS 12 L 0 0 1

13 Attraction gravitationnelle des autres cors (3) On rend en cote les accélérations gravitationnelles de: Soleil, Lune, Mercure, Venus, Mars, Juiter, Saturne Les coordonnées des cors sont issues du DE403 du JPL exriées dans le reère inertiel J2000 et en TDB. 04/09/2002 école d'été du GRGS 13

14 Les Marées solides (1) L accélération de arée terrestre dérive du otentiel de déforation de la Terre, de degrés 2 et 3, sous l action gravitationnelle de la Lune et du Soleil Le otentiel de déforation est coosé de 4 teres : U = U k : otentiel de arée terrestre + U δk : correction fréquentielle des nobres de Love + U ell : correction d elliticité + U ôle : correction de arée olaire 04/09/2002 école d'été du GRGS 14

15 Les Marées solides (2) Le otentiel de arées terrestre induit des variations des coefficients du géootentiel (C,S ). Ces variations C, S sont fonctions des nobres de Love k n, Le déhasage de arée est introduit au degré 2 ar les nobres de Love iaginaires our une Terre anélastique (Wier et al., 1991) : Effets de arées de degré 2 (k 2 ) Effets de arées de degré 3 (k 3 ) k R = k 04/09/2002 école d'été du GRGS 15 ik I 2 C 2, S 2, C 4, S 4 C 3, S 3

16 Les Marées solides (3) C k G l+ 1 ae -i S = cos ϕ (sinϕ 2l + 1 GM r )e -iλ avec : G : le GM de la Lune ou du Soleil ϕ,λ a r e : latitude et : olynôe longitude géocentrique de la Lune ou du Soleil (reère lié au cors) : rayon équatorial terrestre : distance centre Terre - Lune ou Soleil de eholtz 04/09/2002 école d'été du GRGS 16

17 Les Marées solides (3) La correction fréquentielle des nobres de Love est égaleent introduite sous fore colexe et affecte 26 ondes longues ériode, 26 ondes diurnes et 2 ondes sei-diurnes. Elle s exrie sous fore noralisée our l=2 et =0,1,2 : C 20 = a e s 4π ( ) R I δk s sinθ -δk s sinθ Longues ériodes Avec: s : alitude de la arée d équilibre θ: arguent de l onde de arée δk, δk R s I s : corrections du nobre de Love k 2 04/09/2002 école d'été du GRGS 17

18 Les Marées solides (4) Corrections fréquentielles our ondes diurnes et seidiurnes C S = a e s δk 8π R s sinθ cosθ Diurnes C S = a e s δk 8π R s cosθ sinθ Sei-diurnes 04/09/2002 école d'été du GRGS 18

19 Les Marées solides (5) L effet d elliticité du otentiel terrestre se réercute au degré 4 (our le otentiel de degré 2) C 4 + i S 4 = k G GM a r e 3 cos ϕ 2 (sin ϕ )e -iλ our = 0, 1, 2 avec : k+ 20 = k+ 21 = k = /09/2002 école d'été du GRGS 19

20 Les Marées solides (6) Correction de arée olaire: Elle exrie la variation de otentiel centrifuge déduite de la déforation engendrée ar les variations de rotation et le ouveent du ôle instantané de rotation. Pour une terre anélastique et avec kr =.3111 et ki = , 2 2 on a: C21 -(x - x )-.0112(y - y ) = S21 (y - y )-.0112(x - x ) x x,, y y : : coordonnées du ôle instantané coordonnées du ôle oyen 04/09/2002 école d'été du GRGS 20

21 Les Marées océaniques (1) L accélération de arée océanique dérive du otentiel de sile couche 1 k' G l+ 1 + l ae ± U = 4 πgaeσσσ Σqn,l,( ϕ,λ,t) n ± l 2l + 1 GM r k' l: nobre de Love de charge n : nobre d ondes de arées ± : onde rograde et rétrograde Il est généré ar la charge de arée : q=ρ w h ρ w : densité oyenne de l eau de er La hauteur de la arée océanique est décoosée en ondes rogrades et rétrogrades en fonctions haroniques shériques: 04/09/2002 école d'été du GRGS 21

22 Les Marées océaniques (2) h = ΣΣΣΣ n ± l C S ± n,l, ± n,l, cos( θ () t + χ ± λ) + n n sin θ () t + χ ±λ ( ) cos ϕ (sinϕ) n n χ n : convention de hase de Doodson-Warburg θ n : arguent de l onde de arée Valeurs de χ n Alitude arée équilibre >0 <0 arée longue ériode π 0 Marée diurne π /2 -π /2 Marée sei-diurne 0 π 04/09/2002 école d'été du GRGS 22

23 Les Marées océaniques (3) Les odèles utilisés sont issus des grilles des odèles hydrodynaiques (FES95, FES98, FES2002) en alitude et hase qui sont transforés en haroniques shériques our chaque onde. Ondes sei-diurnes (N2, M2, S2, K2, 2N2) Ondes diurnes (Q1,O1,P1,K1) Ondes longues ériodes (M, Mf, Mt, Msq) Ces odèles sont tronqués our chaque onde selon la sensibilité du satellite (cf. rograe SELECT) 04/09/2002 école d'été du GRGS 23

24 Les Marées océaniques (4) Ces odèles ne contiennent as les arées atoshériques qui sont calculées à artir du odèle d aurwitz et Cowley (1973) qui donne: onde S 1 : q = P g = ( ) 57.7P g( P 2 - δ 0 ) 31 sin ( ) θ + λ +12 onde S 2 : q = P g = ( ) 110.2P g( δ P 0 ) 42 sin ( ) 2θ + 2λ +159 avec P : θ : ression en Pascal tes sidéral oyen 04/09/2002 école d'été du GRGS 24

25 Les Marées océaniques (5) En lus du calcul des ondes rinciales du odèle de arée, on tient cote d au lus 68 ondes secondaires (16 longues ériodes, 30 diurnes, 22 sei-diurnes) interolées ar adittance : le raort déforation/otentiel gravitationnel est quasi-linéaire entre les ondes rinciales. Les ondes longues ériodes : Ssa, M, Mf, Mt,Msq ; diurnes : Q 1, O 1, K 1, et sei-diurnes : 2N 2, N 2, M 2, K 2 servent d aui à l interolation ar olynôe de Lagrange de la hauteur de arée de chacune des ondes secondaires 04/09/2002 école d'été du GRGS 25

26 généré ar la charge de ression atoshérique: ( ) () () P ϕ,λ,t La Pression atoshérique (1) Les variations de ression atoshérique sont rincialeent l effet de redistribution des asses atoshériques. L accélération gravitationnelle induite dérive du otentiel de sile couche : = ΣΣ C l U = 4 πga ( ) P ϕ,λ,t q = g ( ) t cosλ + S t sinλ ϕ (sinϕ) e Σ l 1+ k 2l + 1 cos avec k l : nobre de Love de charge (liité à l = 12) ( C () t, S () t ) :coefficients noralisés de ression atoshérique ' l a r 04/09/2002 école d'été du GRGS 26 e l+1 Σ q ( ϕ,λ,t)

27 La Pression atoshérique (2) Dans le cas où l on rend en cote la ression atoshérique, on doit retirer l effet de arée atoshérique S1 et S2 de aurwitz et Cowley rajoutés à la arée océanique. On eut considérer la ression atoshérique: sur tout le globe ou bien uniqueent sur les continents yothèse baroètre inverse sur les océans. 04/09/2002 école d'été du GRGS 27

28 La Pression atoshérique (3) Les données initiales sont des grilles: de as de 0,5 degré. Toutes les 6 heures On leur retire une grille oyenne (sur lusieurs années) de façon à obtenir le P On fait l analyse haronique en séarant les océans et les continents. En chaque oint on interole linéaireent les ( C () t, S () t ) our calculer P 04/09/2002 école d'été du GRGS 28

29 P à 0h P à 6h P à 12h P à 18h 04/09/2002 école d'été du GRGS 29