Énoncés des exercices

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1 Énoncés Énoncés des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] 1. Trouver l exposant dans la décomposition de! en produits de facteurs premiers. 2. Généraliser avec l exposant d un entier premier p dans la décomposition de n!. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient m et n deux entiers naturels, avec m < n, et tels que m n = n m. Montrer que nécessairement m = 2 et n = 4. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] { pgcd (m, n) = m n Trouver tous les entiers 0 n m tels que : ppcm (m, n) = 300 Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tous entiers m et n : m 2 + n 2 est divisible par 7 m et n sont divisibles par 7. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 15 diviseurs positifs? Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Indications, résultats Indications ou résultats Indication pour l exercice 1 [ Retour à l énoncé ] 1. Dans {1,..., }, il y a 500 entiers pairs, 250 multiples de 4, 125 multiples de 8, etc. L exposant de 2 dans la décomposition de! est Soit p premier, avec 2 p n. L exposant de p dans la décomposition de n! est m k=1 [ n p k ]. Indication pour l exercice 2 [ Retour à l énoncé ] Remarquer qu on peut supposer m 2. Passer aux logarithmes, et étudier ϕ(x) = ln x x. Indication pour l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] Soit d = pgcd (m, n), et m, n tels que m = dm et n = dn. Prouver que m = n + 1 et dn (n + 1) = 300, et considérer les diviseurs de 300. Parmi ces diviseurs, deux doivent être consécutifs. Indication pour l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] Former le tableau des k 2 (mod 7), avec 0 k 6. Considérer alors la valeur modulo 7 des entiers m 2 + n 2. Indication pour l exercice 5 [ Retour à l énoncé ] Calculer le nombre des diviseurs positifs d un entier n, en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n. En déduire que la décomposition de l entier n cherché est nécessairement de la forme n = p 14 ou n = p 4 q 2. Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 des exercices Corrigé de l exercice 1 [ Retour à l énoncé ] 1. Les 500 entiers pairs donnent un exposant de 2 (au moins) dans la décomposition. Puis chacun des = 250 multiples de 4 fournit un exposant supplémentaire. 4 Les multiples de 2 3 = 8 donnent alors = 125 exposants supplémentaires. 8 Ceux de 2 4 = 16 en donnent [ ] 16 = 62 de plus, etc. Finalement les [ ] 256 = 3 multiples de 2 8 = 256 ajoutent chacun un exposant de 2, et 512 (le seul multiple de 512 = 2 9 car [ ] 512 = 1) fournit un dernier exposant. Le nombre d exposants de 2 dans la décomposition de! est donc : [ ] [ 2 + ] [ ] [ ] [ ] = = Les facteurs premiers présents dans la décomposition de n! sont compris entre 2 et n. On se donne donc un entier premier p tel que 2 p n. Soit m l entier k maximum tel que p k n. [ ] Les inégalités p m n < p m+1 ln n signifient que m =. ln p [ ] Par exemple, si n = et p = 2, ln n donc ln n = 9. ln p ln p On généralise facilement : l exposant de p dans la décomposition de n! est m [ ] n p k k=1 Corrigé de l exercice 2 [ Retour à l énoncé ] Remarquons que m = 0 et m = 1 ne donnent aucune solution. On supposera donc m 2. L équation m n = n m s écrit n ln m = m ln n. Cette égalité s écrit donc ϕ(m) = ϕ(n), avec ϕ(x) = ln x x. On calcule la dérivée de l application ϕ : x > 0, ϕ (x) = 1 ln x < 0. x ϕ est strictement croissante sur ]0, e] et strictement décroissante sur [e, + [. Or ϕ(m) = ϕ(n) avec m < n. On en déduit m < e < n. La seule possibilité (car m est entier 2) est m = 2. On constate ensuite que ϕ(4) = ϕ(2) = ln 2. On en déduit n = 4. 2 Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 Corrigé de l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] { m = dm Notons d = pgcd (m, n). Il existe m et n, premiers entre eux, tels que. n = dn Avec ces notations, on a alors : ppcm (m, n) = dm n. { { d = (m Les hypothèses s écrivent donc n )d m = n + 1 c est-à-dire dm n = 300 dn (n + 1) = 300 L entier 300 = possède = 18 diviseurs. Ces diviseurs sont en effet les 2 α 3 β 5 γ, avec 0 α 2, 0 β 1 et 0 γ 2. La liste de ces diviseurs, dans l ordre lexicographique de (α, β, γ) est : 1, 5, 25, 3, 15, 75, 2, 10, 50, 6, 30, 150, 4, 20, 100, 12, 60, 300 Puis par ordre croissant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300. Les entiers n et n + 1 doivent diviser 300. Les seules solutions sont n {1, 2, 3, 4, 5}. Les couples (n, m) s obtiennent alors dans le tableau suivant : n m = n + 1 d = 300 m n n = dn m = dm Corrigé de l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] On forme le tableau des k 2 (mod 7), avec 0 k 6 : k k Pour tout n (en notant r son reste modulo 7) on a donc (modulo 7) : n 2 = r 2 {0, 1, 2, 4} Pour tous entiers n, m, la valeur modulo 7 de m 2 + n 2 se lit donc dans le tableau suivant : On voit que m 2 + n 2 n est congru à 0 modulo 7 que s il en est de même de m 2 et de n 2. Or le premier tableau montre que ça signifie que m, n sont eux-mêmes congrus à zéro. Conclusion : (m, n) IN 2, (7 m 2 + n 2 ) (7 m) et (7 n). Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 Corrigé de l exercice 5 [ Retour à l énoncé ] Soit n un entier naturel, et n = p α q β r γ sa décomposition en facteurs premiers. Dans cette écriture, on peut toujours supposer α β γ 1. Les diviseurs positifs de n sont les m = p a q b r c, avec 0 a α, 0 b β, 0 c γ. Le nombre de ces diviseurs est (α + 1)(β + 1) (γ + 1). Pour que ce nombre soit égal à 15 = 5 3, les seules décompositions possibles de n en facteurs premiers sont du type n = p 14 ou n = p 4 q 2. Puisqu on cherche n minimum, il ne reste que les possibilités 2 14 = et = 144. Conclusion : 144 est le plus petit entier positif ayant exactement 15 diviseurs positifs. Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.