SÉRIES STATISTIQUES A DEUX VARIABLES

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1 SÉRIES STATISTIQUES A DEUX VARIABLES Eemple Afin d optimiser ses investissements, une chaîne d hôtels procède à une analyse sur le tau d occupation des chambres visant à établir un lien entre ce tau d occupation, eprimé en %, et le montant des frais de publicité (en milliers d euros) Frais de publicité i Tau d occupation y i Activité n 1 : Caractéristiques d une série statistique à deu variables Une série statistique à deu variables est une série pour laquelle deu caractères mesurables sont relevés, dont les valeurs sont donnés par un couple ( ; y). Elle se représente dans un repère orthogonal par les points de coordonnées ( ; y) Tau d occupation (%) Dans notre eemple, la représentation graphique est la suivante : Frais de publicité (milliers d euros) Séries statistiques à deu variables 1

2 Activité n 2 : Droite d ajustement affine Lorsque le nuage de points a une forme allongée, il est possible de tracer une droite d ajustement affine. Cette méthode peut se faire : - de manière directe Cette méthode simple mais peu précise consiste à l aide d une règle (de préférence transparente) à tracer une droite de même direction que le nuage qui occupe le milieu du nuage. - après le calcul du point moyen G Ce point a pour coordonnées les moyennes des valeurs i et y i : G( ; y ). La droite d ajustement affine passe par ce point moyen et occupe le milieu du nuage. - par la méthode de Mayer Cette méthode consiste à fractionner le nuage de points en deu nuages dont les effectifs sont égau (pour un nombre pair de points) ou différents de 1 (pour un nombre impair de points). On calcule pour chacune de ces deu parties les coordonnées de leurs points moyens G 1 et G 2. On trace enfin la droite (G 1 G 2 ). Cette droite passe par le points moyen G. Tau d occupation (%) Reprenons notre eemple : Méthode directe Séries statistiques à deu variables Frais de publicité 2 (milliers d euros)

3 Méthode par calcul du point moyen G = y = G ( ; ) Tau d occupation (%) Frais de publicité (milliers d euros) Séries statistiques à deu variables 3

4 Méthode de Mayer On partage le nuage en deu parties 1 ère partie : (22 ; 48) (25 ; 55) (24 ; 32) (27 ; 46) 1 = y 1 = G 1 ( ; ) 2 ème partie : ( ; 52) (32 ; 67) ( ; 76) ( ; 72) 2 = y 2 = G 2 ( ; ) Tau d occupation (%) Frais de publicité (milliers d euros) Séries statistiques à deu variables 4

5 Activité n 3 : Séries chronologiques Une série chronologique est une série dans laquelle les valeurs de caractère sont fonction du temps. L eamen de la représentation graphique ou du tableau d une série chronologique montre que celle-ci peut être constituée de deu composantes : La tendance générale est une évolution de longue durée, la tendance peut être marquée par une croissance ou décroissance. Les variations saisonnières représentent les ressemblances entre différentes périodes. La mise en évidence de la tendance générale et des variations saisonnières permettra des prévisions pour les saisons à venir. Eemple : Une entreprise a relevé le chiffre d affaires en milliers d euros, de 16 trimestres consécutifs : Trimestres Le but de cet eemple va être de donner la tendance générale puis de prévoir les chiffres d affaires pour les 4 trimestres de l année 212. Activité n 4 : Lissage d une série chronologique par la méthode des moyennes mobiles Nous allons tout d abord tracer la courbe de la série chronologique. Ce tracé consiste à : reporter dans un repère orthogonal les couples ( ; y) relier chaque point du nuage au suivant : cette ligne brisée est la courbe de la série chronologique. Nous prendrons comme valeur de le rang du trimestre et comme valeur de y le chiffe d affaires correspondant. Séries statistiques à deu variables 5

6 Rang du trimestre i Chiffre d affaires ( ) y i Rang du trimestre i Chiffre d affaires ( ) y i Si on considère que le nuage de points relatifs à une série chronologique présente des écarts importants, il est possible d atténuer ces écarts en utilisant la méthode des moyennes mobiles qui assure un lissage de la série. La méthode des moyennes mobiles consiste à : constituer des groupes de points consécutifs qui ont le même nombre de mois et qui se chevauchent. calculer les coordonnées du point moyen de chacun de ces groupes reporter ces points dans le repère. relier ces points. Nous calculerons les moyennes mobiles sur trois mois. Séries statistiques à deu variables 6

7 Rang du trimestre i Chiffre d affaires ( ) y i Moyenne mobile y Séries statistiques à deu variables 7

8 Activité n 5 : Etablir une prévision à partir d une série chronologique Faire une prévision à partir des données revient à calculer la valeur du caractère statistique étudié en prenant en compte la tendance générale de la série et le coefficient saisonnier relatif à la période pour laquelle est faite la prévision. Détermination de la droite de tendance générale Appliquer sur la série de départ (pour avoir des prévisions plus précises) la méthode de Mayer en calculant les coordonnées des points G 1 et G 2. Déterminer à partir des coordonnées de ces deu points l équation de la droite (G 1 G 2 ). Formuler la tendance générale. 1 = y 1 = 1 = y 1 = G 1 ( ; ) 2 = y 2 = 2 = y 2 = G 2 ( ; ) L équation de la droite (G 1 G 2 ) est de la forme y = a + b a = = = Au point G 2 : d où b = L équation de la droite (G 1 G 2 ) est y = Le coefficient directeur de la droite est, donc l évolution du chiffre d affaires trimestriel est en Séries statistiques à deu variables 8

9 Détermination du coefficient saisonnier de chaque trimestre Faire successivement : La moyenne des chiffres d affaires des trimestres qui occupent le même rang dans l année (noté m i ). La moyenne du chiffre d affaires trimestriel sur la durée totale de la série chronologique (notée M). Faire les rapports m i. Ces rapports sont les coefficients de variations M saisonnières CVS (noté R i ) Chiffres d affaires moyens des trimestres qui occupent le même rang dans l année : Trimestres Moyennes 1 m 1 = Chiffre d affaires trimestriel moyen sur les 4 ans : Trimestres CVS 1 R 1 = Séries statistiques à deu variables 9

10 Calculer la prévision Appliquer l équation de la tendance générale à chaque période de prévision pour obtenir la valeur moyenne de cette prévision. Affecter à cette valeur le coefficient saisonnier spécifique à la période de prévision. Valeur brute prévisionnelle = valeur corrigée donnée par la droite de tendance CVS Prévision pour 212 Trimestres Chiffre d affaires Séries statistiques à deu variables 1