Oscillateur harmonique forcé (et amorti)

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1 Oscillateur harmonique forcé (et amorti) ω =. s -1 - < = 1 s 1 - ω =. s ω =.6 s Phase transitoire: Les pulsations et se superposent Dépend des conditions initiales Phase stationnaire: La pulsation est amortie et le système oscille avec la pulsation imposée Ne dépend plus des conditions initiales L amplitude dépend de! ω =.8 s -1 ω =1. s «Résonance» à ~ OS, 15 novembre ω =1 s -1 ω =1.6 s -1 = > - Amplitude [m] - ω =1. s ω [s -1 ]

2 Oscillateur harmonique forcé (pas ou très peu amorti) - ω =. s -1 < = 1 s 1 5 ω =. s -1-5 ω =.6 s -1-5 Note: l échelle verticale n est pas la même que précédemment ω =.8 s -1 ω =1 s -1 ω =1. s = - Le système répond de façon beaucoup plus sélective en fréquence. A la résonance, l amplitude devient très grande. 5 ω =1. s ω =1.6 s -1 - > 5 Amplitude [m] ω [s -1 ] «Résonance» à = OS, 15 novembre 5 55

3 Récréation informatique Ecrire et/ou «jouer» avec un programme de résolution numérique de l équation différentielle de l oscillateur harmonique, une bonne manière de se familiariser avec: la signification intuitive d une dérivée et d une équation différentielle les phénomènes d oscillations, d amortissement, de résonances,... Fichiers Excel à disposition sur le web: Oscillateur harmonique oscillateur.xls Chute libre balistique.xls démonstration démonstration OS, 15 novembre 5 56

4 Solution oscillateur harmonique forcé x + x + x = sin( t) avec = m b, = k m et = m f Solution de l oscillateur libre: tend vers pendant la phase transitoire Solution de la phase stationnaire x(t) = x non forcé (t) + sin( t ) avec = et tg( ) = ( ) + Résonance: d d = max = pour = Facteur de qualité du système résonant: Q = ( = ) ( =) = = fréquence de la résonance largeur de la résonance 5 1 pour des systèmes mécaniques 1 pour un quartz 1 8 pour un atome OS, 15 novembre 5 57

5 Phénomènes de résonance Résonances indésirables dans: Amortisseurs d une voiture Suspension du tambour d une essoreuse à linge Structure de génie civil (ponts, bâtiments, ) démos: pendules sur élastique Résonances désirables dans: Circuits électriques dans un «tuner» (radio) Tuyaux d orgue Balançoire de jardin Exemple de résonance en physique des particules: la particule Z produite dans les annihilations électron antiélectron e + e Z Note: en mécanique quantique relativiste, «fréquence = énergie = masse» probabilité d annihilation e + e E cm [GeV] Energie de la collision e + e OS, 15 novembre 5 58 σ had [nb] 3 1 Mesures faites au CERN par les expériences du LEP entre 1989 et 1995 ALEPH DELPHI L3 OPAL measurements, error bars increased by factor 1 σfrom fit M Z

6 Anneaux résonants (Exploratorium) Des bandes d acier en forme d anneaux de différents diamètres entrent tour à tour en résonance lorsque la fréquence du hautparleur est modifiée haut-parleur Exploratorium à San Fancisco (USA) OS, 15 novembre 5 59

7 Tacoma Narrows Bridge Pont suspendu à Tacoma, Washington, USA Longueur totale: 181 m, Portée maximale: 85 m Inauguration: 1 juillet 19 Rupture: 7 novembre 19 (vitesse du vent ~ 7 km/h) Nouveau pont (par des meilleurs ingénieurs): 1 octobre 195 OS, 15 novembre 5 6

8 Equations différentielles et chaos Certains systèmes mécaniques présentent un comportement chaotique, apparemment imprédictible, bien que leur mouvement (ou évolution) soit décrit par des équations différentielles déterministes démo balle de ping-pong sur table oscillante démo pendule à deux fléaux Le chaos déterministe apparaît aussi dans des systèmes comme l atmosphère terrestre: équations du mouvement non-linéaires forte dépendance par rapport aux conditions initiales conditions initiales pas connues précisément difficile de faire de prédictions fiables OS, 15 novembre 5 61

9 Exemple: évolution d une population N Modèle exponentiel: dn(t) = r N(t) N(t) = N dt exp(rt) coefficient de croissance r >, indépendant de N Modèle avec population critique K: dn(t) coefficient de croissance r(1 N/K) dt positif si N<K, nul si N=K, négatif si N>K On pose x(t) = N(t)/K = population normalisée: On discrétise le temps (e.g. t = 1 an): = r N(t) 1 N(t) K dx dt = r x (1 x) x t = x i+1 x i t = r x i (1 x i ) x i+1 = x i (1+r t) ( 1 r t 1+r t x ) i Modèle légèrement simplifié: x i+1 = x i (1 x i ) OS, 15 novembre 5 6

10 Bifurcations et émergence du chaos x i en fonction de pour i = 61,, x i+1 = x i (1 x i ).8.6 Population oscille périodiquement entre états états x i. Population stationnaire (indép. de x ) «chaos». «bifurcations» OS, 15 novembre 5 63