Il y a 24 individus en ligne (les modèles de voitures) et 6 variables en colonnes (paramètres mécaniques). Valeurs propres

Transcription

1 VOITURE: On étudie 6 différents paramètres mécaniques (les variables), exprimées dans des unités différentes, de 24 modèles de voitures (les individus). Modèle Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur Honda_Civic Renault_ Fiat_Tipo Peugeot_ Renault_ Citroen_BX Bmw_530i Rover_827i Renault_ Opel_Omega Peugeot_405_Break Ford_Sierra Bmw_325iX Audi_90_Quattro Ford_Scorpio Renault_Espace Nissan_Vanette VW_Caravelle Ford_Fiesta Fiat_Uno Peugeot_ Peugeot_205_Rallye Seat_Ibiza_SX_I Citroen-ax-sport Il y a 24 individus en ligne (les modèles de voitures) et 6 variables en colonnes (paramètres mécaniques). Tableaux: Matrice de corrélation Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur Valeurs propres val1 val2 val3 val4 val5 val Les deux premiers vecteurs propres Comp.1 Comp.2 Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur

2 Coordonnées des individus INTERPRETATION 1) Choix du nombre d axes à retenir Le critère de Kaiser nous conduit à sélectionner 1 axe d'après le tableau suivant (nous choisissons 1 axe car dans la colonne Inertie totale, seule 1 valeur est supérieure à l'inertie moyenne). L'inertie moyenne étant de environ 0,16 ( 1/6 ), on sélectionne quand même un deuxieme axe qui est proche de cette inertie (cet axe représentetout de même 15% de l'inertie, ce qui n'est pas négligeable). Ces 2 axes retiennent ainsi environ 93% de l'inertie totale, ce serait donc intéressant de l'étudier si on arrive à l'interpréter. Inertie totale Inertie totale cumulée On constate que le critère du coude nous conduit également à choisir 2 axes en regardant le graphique ci dessous ( il y a une décroissance régulière à partir du 3ème axe).

3 Le critère du Scree Test nous conduit à sélectionner 3 axes, mais on peut remarquer que la 3ème différence 2 nd est proche de 0. Differences Differences Secondes Comme on obtient 93% de l'inertie totale avec 2 axes, et si on peut analyser le 2 nd axe, il paraît judicieux d'en sélectionner 2. 2) Graphes

4 3) Interprétation des axes Axe 1 : Variables: On sait que les variables contribuant le plus à la formation de l axe 1 sont celles dont les coordonnées sur cet axe sont proches de 1 en valeur absolue. Pour repérer les contributions significatives, on compare les valeurs de la colonne Comp1 (voir ci-dessous), coordonnées du premier axe factoriel, à l'inverse de la racine de la contribution moyenne 1/sqr(6)=40,8%, le signe donnant le sens de contribution. On obtient: Cylindre Puissance Poids Longueur - + La vitesse et la largeur contribuent moins que le reste à l'axe 1. En effet, on voit que leurs projections sur l'axe 1 sont légérement inférieures aux autres. L'axe 1 oppose les individus ayant de gros cylindres, une forte puissance, un poids élevé et une grande longueur (éventuellement une grande largeur et, dans une moindre mesure, une vitesse élevée) à ceux ayant de petits cylindres, une faible puissance, un poids réduit et une faible longueur (éventuellement une faible largeur et, dans une moindre mesure, une vitesse peu élevée). L'axe 1, et donc la première composante principale, mesure la répartition entre gros paramètres mécaniques et paramètres moins élevés (dans un certain sens les «grosses» voitures type berline (puissantes et imposantes) aux autres voitures ). On peut dire que les variables ne sont pas bien bien représentées (par exemple la qualité de représentation de cylindre est de 0,44²=0,20), mais quelles ont toutes à peu près la même qualité de représentation. Ceci est confirmé par le graphique: en effet toute les variables sont éloignées du

5 bord du cercle quand on les projette sur l'axe 1. La première composante principale n'explique donc pas correctement tous les types de voitures par rapport aux paramètres mécaniques. Individus: De même, les individus contribuant le plus à la formation de l axe 1 sont ceux dont les coordonnées sur cet axe sont les plus élevées en valeur absolue. On compare les valeurs de la colonne 1 cidessous à la racine carrée de la première valeur propre sqrt(2.15)=1,47, le signe donnant le sens de contribution. On obtient: comp1 qual1 Honda_Civic Rover_827i Renault_ Fiat_Tipo Peugeot_ Renault_ Citroen_BX Bmw_530i Renault_ Opel_Omega Peugeot_405_Break Ford_Sierra Bmw_325iX Audi_90_Quattro Ford_Scorpio Renault_Espace Nissan_Vanette VW_Caravelle Ford_Fiesta Fiat_Uno Peugeot_ Peugeot_205_Rallye Seat_Ibiza_SX_I Citroen-ax-sport En vert, ce sont les qualités de représentation bonne(>1/24). On peut aussi perndre en compte la Seat ibiza qui n'est pas trop éloignée.

6 Ce qui nous donne: Bmw_530i Rover_827i Renault_25 Ford_Scorpio Opel_Omega Bmw_325iX - + Fiat_Uno Ford_Fiesta Citroen-ax-sport Peugeot_205_Rallye Peugeot_205 Honda_Civic Seat_Ibiza SX_I L'axe 1 oppose la Bmw 530i, la Rover 827i, la Renault 25, l'opel Omega, la Bmw 325iX et la Ford Scorpio à la Fiat Uno, la Ford Fiesta, la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205 Rallye, le Honda Civic, la Seat Ibiza SX I et la Peugeot 205. Les autres modèles sont assez bien représentés sur l'axe 1, à part la Nissan Vanette et la Renault 21, et ils s'échelonnent suivant la hiérarchie automobile (berline=>familiale=>citadine). Conclusion : L'axe 1 reflète donc l'opposition qui existe dans les catégories automobiles suivant leur fiche technique (c'est à dire leur paramètre mécanique), opposant les berlines puissantes aux citadines avec un moteur peu performant. Axe 2: Variables: Pour repérer les contributions significatives, on compare les valeurs de la colonne Comp2 (voir tableau), coordonnées du 2nd axe factoriel, à la racine de la contribution moyenne 1/sqr(6)=40,8%, le signe donnant le sens de contribution. On obtient: Largeur - + Puissance Vitesse L'axe 2 oppose la puissance et la vitesse (fortement corrélés entre eux) à la largeur et, dans une faible proportion, à la longueur et au poids(fortement corrélés entre eux). La variable Cylindre est mal représentée sur cet axe. On peut expliquer cet axe par l'opposition des performances du moteur aux contraintes physiques. Individus: De même, les individus contribuant le plus à la formation de l axe 2 sont ceux dont les coordonnées sur cet axe sont les plus élevées en valeur absolue. On compare les valeurs de la colonne ci-dessous à la racine carrée de la deuxième valeur propre sqrt(0,9566)=0,97, le signe donnant le sens de contribution. On obtient:

7 Comp.2 Qual2 Honda_Civic Renault_ Fiat_Tipo Peugeot_ Renault_ Citroen_BX Bmw_530i Rover_827i Renault_ Opel_Omega Peugeot_405_Break Ford_Sierra Bmw_325iX Audi_90_Quattro Ford_Scorpio Renault_Espace Nissan_Vanette VW_Caravelle Ford_Fiesta Fiat_Uno Peugeot_ Peugeot_205_Rallye Seat_Ibiza_SX_I Citroen-ax-sport En bleu, ce sont les variables pas trop mal représentés.il semble pertinent de les ajouter à l'analyse de l'axe, car on voit ainsi que les grosses berlines (Bmw_530i et Rover_827i) sont assez bien représentées sur l'axe ainsi que la catégorie grosse familiale (Renault_Espace et Opel_Omega). Nissan_Vanette VW_Caravelle - + Citroen-ax-sport Peugeot_205_Rallye Bmw_325iX Audi_90_Quattro Le 2ème axe oppose la Nissan Vanette et la VW Caravelle à la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205 Rallye, la Bmw 325iX et à l'audi 90 Quattro, qui sont bien représentées. Cet axe oppose donc les voitures qui ont le plus mauvais rapport contraintes physiques/performances du moteur à celles qui ont le meilleur.

8 Conclusion : Cet axe reflète la puissance réelle des voitures en conduite c'est à dire la puissance du moteur par rapport aux contraintes physiques. Synthèse: D'après le graphique, on remarque 3 groupes de points: -la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205 Rallye, la Seat Ibiza SX I qui sont de petites voitures mais qui ont un moteur puissant (d'où une conduite «sport»),. -la Bmw 530i, la Rover 827i, la Renault 25 qui sont de grosses berlines très puissantes. -la Bmw 325iX et l'audi 90 Quattro, des berlines un peu moins puissantes -tout un groupe au centre assez équilibrés ( puissance/contraintes physiques) mais assez mal représenté sur les 2 axes. Notre analyse regroupe 93% de l'inertie totale, ce qui est très bien, et les 2 axes retenus ont pu être analysé, ce qui nous permet de regrouper les modèles en groupes (berlines puissantes, berlines, normales (au centre des graphiques), sportives, grosses familiales et petite citadine) Annexe script R #chargement du DataFrame voiture=read.table(file="voiture.txt",header=t,row.names=1) cor(voiture) #Utilisation de princomp acp=princomp(x=voiture, cor = TRUE) summary(acp) loadings(acp) #Graphes plot(acp) biplot(acp, cex=0.5) biplot(acp,col=c("black","white")) a=seq(0,2*pi,length=100) plot( cos(a), sin(a), type='l',lty=3,xlab='comp 1',ylab='comp 2',main="Cercle des corrélations" ) v =t(acp$loadings)[1:2,] arrows(0,0, v[1,], v[2,], col='red') text(v[1,], v[2,], colnames(v)) #Calcul pour les 3 test acp$sdev^2 /6 diff(acp$sdev^2) diff(diff(acp$sdev^2))