VECTEURS, PRODUIT SCALAIRE

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1 VECTEURS, PRODUIT SCALAIRE 1 Généralités sur les vecteurs : B a Notion de vecteur : A Deux points A et B distincts pris dans cet ordre représentent un vecteur noté. A est, B est. Les caractéristiques du vecteur AB sont : Remarques : - sa direction :, - son sens :, - et sa norme (sa ) :. - On appelle vecteur nul, un vecteur ou l origine et l extrémité sont, on le note. - On dit que deux vecteurs AB et CD sont égaux si : - Les droites (AB) et (CD) sont ou, -, - et. b Opérations sur les vecteurs / propriétés :. L opération d addition sur les vecteurs est commutative : + = + Effectuer ci-contre la somme AB + CD? Effectuer ci-contre la soustraction AB - CD? CD est à CD. Si U + V = 0 =. CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 54

2 Applications : Dans chacun des cas, construire la somme w d origine A égale à u + v?. Relation de Chasles : Effectuer ci contre la somme AC + CB? = constitue la relation de Chasles pour les vecteurs.. Multiplication d un vecteur par un réel : Soient un réel non nul k et un vecteur U 0. Les vecteurs U et ku ont,, si k > 0 ( si k < 0). Avec k U = k x U Applications : Exprimer chacun des vecteurs ci-contre en fonction de U et de V? Exemple : AB = 1/2 U - V CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 55

3 . Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires s ils possèdent. Les vecteurs AB et CD sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont ou. Si deux vecteurs U et V non nuls sont colinéaires alors il existe un réel k non nul tel que ( et réciproquement).. Vecteurs unitaires : Sur l axe des abscisses, est le vecteur unitaire de l axe, de norme ou de longueur égale à. Sur l axe des ordonnées, est le vecteur unitaire de l axe, de norme ou de longueur égale à.. Coordonnées d un vecteur dans le plan : Dans un repère ( O ; i ; j ) du plan, tout vecteur U peut s écrire sous la forme : U = i + j Les réels x et y sont les coordonnées du vecteur. CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 56

4 Si le vecteur AB est donné par les coordonnées (xa ; ya) et (xb ; yb) de ses extrémités, alors celui-ci peut s écrire : AB = i + j Avec : AB Propriétés : Si U = + et V = + alors : U + V = + Et k. U = + U + V k. U Applications : ) Soient les vecteurs U et V. Exprimer U et V sous la forme x i + y j? Calculer U + V? Tracer ci-contre U puis V? 2) On donne A ( 0,5 ; 4 ) et B ( 3,5 ; 6). Déterminer les coordonnées du vecteur AB? Tracer ce même vecteur dans le repère orthonormé ci-dessous? 3) On donne C ( -2,5 ; 3 ) et D ( 0 ; 1). Déterminer les coordonnées du vecteur CD? Tracer ce même vecteur dans le repère orthonormé ci-dessous? CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 57

5 . Norme d un vecteur dans le plan : La norme d un vecteur (sa ) est un réel. U Les vecteurs unitaires i et j norme. sont des vecteurs de Dans un repère orthonormé du plan ( O, i, j ), si le vecteur u a pour coordonnées ( ; ) alors : U = Applications : Dans le plan rapporté au repère ( O, i, j ), on donne A (-2 ; 2), B (3 ; 1) et C (1 ; -2).. Placer les points A, B et C dans le repère ci-contre?. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC?. Calculer les normes de AB et AC? 2 Produit scalaire dans le plan : a Définition : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls le nombre réel noté tel que : U. V = V Si u = 0 ou si v = 0 alors =. U CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 58

6 b Propriétés :. Si U. V > 0 alors est,. Si U. V < 0 alors est.. Le carré scalaire d un vecteur est égal au carré de sa norme : U. U = =.. Si U et V sont orthogonaux alors = donc : U. V = car =.. Si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est et réciproquement. U V = c Expression analytique du Produit scalaire : Soient deux vecteurs U et V du plan avec U ( ; ) et V ( ; ). On a U scalaire V égal à : U. V = d Vecteurs et produit scalaire dans l espace : z On travaille maintenant dans un repère orthonormal de l espace ( ; ; ; ) avec, et les vecteurs unitaires. y. Coordonnées d un vecteur U = ou U x. Norme de U : U =.. Expression analytique du produit scalaire : U. V =. CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 59

7 e Applications : La cavité recevant le clignotant d un véhicule a la forme d une pyramide de base triangulaire ABC et de sommet S.. Dans le repère ci-dessous, compléter le modèle de la pyramide sachant que les coordonnées des points sont : A (0 ;2 ;0) B(1 ;8 ;0) C (3 ;2 ;0) et S (3 ;2 ;6).. Calculer les coordonnées des vecteurs SB, SC et BC puis leur longueur.. Calculer le produit scalaire SB. SC.. Déterminer une mesure de l angle BSC au degré près. 3 Exercices : vecteurs, produit scalaire. Exercice 1 : Une chandelle, utilisée pour soutenir une automobile est constituée d un trépied ABCH et d un coulisseau réglable en hauteur par l intermédiaire d une goupille. CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 60

8 La chandelle est schématisée dans l espace et représentée dans un repère orthonormé. Les points A, B, C et H sont repérés par leurs coordonnées. A (? ;? ;0) B (-13 ;-7,5 ;0) C (13 ;-7,5 ;0) H (0;0;40) a Vérifier que les vecteurs BH et CH ont pour coordonnées respectives : BH (13 ;7,5 ;40) CH (-13 ;7,5 ;40) b Calculer le produit scalaire des vecteurs BH et CH? c Démontrer que les normes des vecteurs BH et CH sont égales (arrondir les résultats au centième)? d Calculer la mesure de l angle BHC (au degré près)? Exercice 2 : La visibilité est l un des paramètres de sécurité pour la conduite automobile. L angle vertical α de visibilité à l avant dépend du parebrise du véhicule mais aussi de la taille du conducteur, de sa position assise, du réglage de son siège. L angle de visibilité peut se déterminer à l aide de trois points A, B et C définis sur le schéma. On considère dans un repère orthonormé ces trois points tels que : A (210 ;120) ; B(170 ;135) et C (110 ;90) (le dessin n est pas à l échelle). CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 61

9 a Calculer les coordonnées de AB et celles de AC? b Calculer AB et AC? c Calculer le produit scalaire des vecteurs AB. AC? d Calculer α la mesure de l angle ABC? Exercice 3 : Un réservoir d essence a la forme ci-contre. Dans un repère orthonormal d origine O, où l unité de longueur est le centimètre, les points A,B et F ont les coordonnées suivantes : A (45 ;0 ;0) B (45 ;25 ;20) F (45 ;25 ;0) ABCO, BDEC et AGHO sont des rectangles. a Déterminer les longueurs des segments OA, AF, BF et BC? b Calculer les coordonnées du vecteur AB? En déduire la longueur AB (on donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie à l unité). c Déterminer une mesure de l angle BAF, arrondie à l unité, en degrés? d On donne la longueur BD = 35. Calculer l aire de la face, en forme de trapèze, délimitée par les points A, B, D et G? e Calculer le volume du réservoir en cm 3 puis en litres? CFA ARRAS X. MOREL MATHS N4 62