8. Parallélisme et incidence dans l espace

Transcription

1 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., arallélisme et incidence dans l espace Expliciter les savoirs et les procédures 1. Réalité ou illusion? a. eux droites parallèles déterminent un seul plan (théorème 8.1), or, dans la partie supérieure de la figure, il y a des segments de droites qui représentent des parallèles de l espace et qui devraient être coplanaires et qui pourtant ne sont pas situés dans un même plan. b. L intersection de deux plans est une droite (théorème 8.5), or le plan de la face du dessus et celui de la face avant se coupent selon des droites distinctes. c. Une droite et un plan ne contenant pas cette droite n ont qu un seul point commun (axiome 8.4), or la droite coupe le plan de la face avant selon deux points distincts. d. Les droites d intersections des trois plans des faces latérales ne sont ni parallèles ni sécantes (théorème 8.8). 2. roites et plan La droite est sécante au plan (G) en un point de la droite. La droite F est parallèle au plan (G) car elle est parallèle à la droite G de ce plan (théorème 8.10). La droite HF est parallèle au plan (G) car elle est parallèle à la droite de ce plan (théorème 8.10). La droite H est sécante au plan (G) au point. La droite G est incluse dans le plan (G), car elle a comprend deux points du plan (axiome 8.4). La droite HE est sécante au plan (G) ; elle coupe la parallèle à la droite G menée par le point. La droite E est sécante au plan (G) ; elle coupe la parallèle à la droite G menée par le point. 3. émontrer des théorèmes héorème 8.6 Hypothèses lans α, β: α // β ; plan π hèse roite d : roite e : d // e π α = d π β = e hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 1

2 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., 2014 émonstration (par l absurde) i d/\/ e, alors ces droites toutes deux situées dans le plan π, auraient un point commun qui serait aussi un point de α et de β, ce qui est contraire à l hypothèse α // β. onc d // e. héorème 8.7 Hypothèses lans α, β: α // β roite d : d α = { } hèse La droite d perce le plan β émonstration oit un point : β et d ; par, on mène e// d. Les droites d et e définissent un plan π (théorème 8.1 c) ; les plans β et π ont un point commun et donc une droite commune (théorème 8.4). ette droite coupant la droite e, coupe aussi la droite d en un point car e// d. onc d perce β en. 4. Un nouveau critère Le critère est immédiat si les deux plans sont confondus. a. i deux plans sont parallèles, alors deux droites sécantes de l un sont parallèles à l autre. Hypothèses lans α, β: α // β hèse roites a et b : a α, b α et a b = { } a// β et b// β émonstration ar le théorème 8.11, on sait que si deux plans sont parallèles, alors deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. Il y a donc deux droites sécantes a et b de β, telles que a// a et b// b. uisqu une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan, on conclut a// β et b// β. b. i deux droites sécantes d un plan sont parallèles à un autre plan, alors les deux plans sont parallèles. Hypothèses lans α, β roites a et b : a α, b α et a b = { } a// β et b// β hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 2

3 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., 2014 hèse α // β émonstration i a// β, alors a// a et a β (théorème 8.10) ; de même si b// β, alors b// b et b β. On a a /\/ b, sinon a// b, ce qui contredit l hypothèse a et b sécantes. eux droites sécantes du plan β sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan α ; donc (théorème 8.11) α// β. 5. ombien de droites? ombien de plans? a. rois points. == rois points confondus : infinité de droites ayant un point commun. = eux points confondus et un troisième point distinct : une seule droite rois points distincts alignés : une seule droite rois points distincts non alignés : trois droites coplanaires (situées dans le plan défini par les trois points). b. Quatre points. = === = Quatre points confondus : infinité de droites ayant un point commun. Quatre points deux à deux confondus : une seule droite Quatre points coplanaires dont trois sont alignés : quatre droites dont trois ont un point commun. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 3

4 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., 2014 Quatre points coplanaires non alignés trois à trois : six droites joignant les points deux à deux. Quatre points non coplanaires et non alignés trois à trois : six droites joignant les points deux à deux. c. Quatre points. Quatre points confondus : infinité de plans comprenant ce point. Quatre points alignés : infinité de plans comprenant la droite des quatre points. π Quatre points coplanaires dont trois au moins sont distincts : un seul plan. Quatre points distincts non coplanaires : quatre plans définis par les points pris trois à trois. 6. ositions relatives de droites a. Les droites a et b sont parallèles, donc coplanaires. Les droites et sont soit sécantes, soit parallèles. a b a b hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 4

5 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., 2014 b. Les droites a et b sont sécantes, donc coplanaires. Les droites et sont soit sécantes, soit parallèles. a b a b c. Les droites a et b sont gauches. oit le plan défini par les trois points distincts, et. i, les quatre points sont coplanaires et donc les droites a et b sont coplanaires, ce qui contredit l hypothèse «les droites a et b sont gauches»; donc les droites et sont gauches. 7. roites gauches oient a et b deux droites gauches. a. Oui ; par un point de la droite a, on mène une droite d parallèle à la droite b. Le plan ( d, a ) est parallèle à la droite b, car il contient une droite parallèle à b (théorème 8.10) et il contient la droite a. b. Oui ; par exemple, le plan ( d, a ) défini ci-dessus qui est parallèle à chacune des droites a et b. Il y a une infinité de plans parallèles à chacune des deux droites gauches, car par tout point de l espace, on peut mener une droite parallèle à une droite donnée. Lorsque, par un point quelconque de l espace, on mène une parallèle à chacune des droites a et b, le plan défini par ces deux parallèles est parallèle aux deux droites a et b (théorème 8.10). 8. olygones? fig. 41 i les points sont coplanaires, le plan doit couper la face avant et la face arrière suivant des droites parallèles (théorème 8.6). Or /\/. onc les points,, et ne sont pas coplanaires. fig. 42 Les droites et situées dans des plans parallèles sont parallèles. Les quatre points,, et sont donc coplanaires. fig. 43 i les points,, et sont situés dans un même plan, les droites, et l arête cachée doivent être parallèles ou sécantes (théorème 8.8), ce qui n est pas le cas. Les quatre points,, et ne sont donc pas coplanaires. fig. 44 Les quatre points,, et sont coplanaires, car les droites, et l arête cachée sont sécantes (théorème 8.8). hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 5

6 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., Vrai? Faux? a. Faux. oit a = HG, π = et a// π. On a EH // π et a/\/ EH. b. Faux. oit a = HG, π = et a// π. On a EH /\/ a et EH // π. c. Faux. oit a = HG, π = et a// π. oit α = H. On a a α et α/\/ π. d. Faux. oit π = et β = EFG ; α// β. On a π et EH β ; /\/ EH. Vrai. oient α et β deux plans parallèles et π, un plan qui coupe le plan α suivant une droite d. i, par un point de d, on mène dans π une droite a, a d, alors d perce α en et perce aussi β en un point qu on appelle car si deux plans sont parallèles, toute droite qui perce l un perce l autre (théorème 8.7). Les plans β et π ont un point commun et donc une droite commune (théorème 8.4) ; les plans β et π se coupent suivant cette droite. e. Faux, elles peuvent être sécantes. ans le parallélépipède EFGH, les droites EH et F sont gauches ; la droite FG est parallèle à EH. Les droites FG et F ne sont pas gauches ; elles sont sécantes en F. ppliquer une procédure 10. Ombre au soleil a. E H F G En perspective parallèle, les images de droites parallèles sont des droites parallèles (synthèse 9). O b. Ombre du bâton sur la boîte Ombre de la boîte sur le sol hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 6

7 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., 2014 c. d. e. 11. u-delà du cube fig. 50 a. L intersection du solide et du plan π est le polygone XYZ. Y U X N E M fig. 51 a. L intersection du solide et du plan π est le polygone XYVU. X Y M N Z V V H H Z G E U G b. Il suffit de déterminer l intersection U de l arête [XY] avec [] puis l intersection V de l arête [YZ] avec [] et enfin de tracer le [UV]. L intersection cherchée est le polygone XUVZ. b. Il suffit de déterminer Z et. La section du cube par le plan parallèle à MN est le pentagone XYZYU. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 7

8 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., Objet tranchant E Les droites d intersection de la lame avec les plans du tétraèdre coupent l arête du tétraèdre en un même point (théorème 8.8). Résoudre un problème 13. ection plane d un tétraèdre b. 1) Q Q R R ection QR. 2) Q Q R R ection RQ. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 8

9 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., ) Q Q R Q ection Q. 4) Q Q R R ection R. Vérification : et Q coupent l arête en un même point. 14. ection plane d un cube b. 1) Haut as Gauche roite vant rrière Q ; R ; Q R ar, dans la face gauche, on mène // QR. ection : plan QR. 2) Haut as Gauche roite vant rrière Q ; R ; R Q Les intersections des droites R et QR avec les arêtes du cube sont des sommets de la section. ection R. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 9

10 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., ) 4) Haut as Gauche roite vant rrière Q ; R Q R U U V V est l intersection de RQ et. coupe les arêtes en et en U. UV // R (ou QV // U ). ection QRUV. Haut as Gauche roite vant rrière Q Q R R U U X V V RU //. ans le plan (RU) : X est l intersection de R et U ; XQ coupe en. ar R, R // Q et RV //. ection QVR. 15. ection d une poutre Les intersections du plan de section avec des plans parallèles, sont parallèles. ar, on mène //. On trace et par, on mène E//. ar E, on mène EF //. La section est EF. 16. Ombre d une pyramide Les points et sont situés dans le même plan horizontal. ès lors, il faut construire un triangle égal au triangle. Le point est la projection du sommet de la pyramide. L ombre de la pyramide est obtenue en joignant ce point aux sommets sa base. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 10

11 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., Ombre du campanile 18. eci n est pas (nécessairement) un cube Hypothèses arallélépipède d arêtes (distinctes) MN, M, N, N [ ] [ ] [ ] [ ] Face MN R, milieu de [ M ] et, milieu de [ N ] R M N hèse MN // plan R émonstration La face MN du parallélépipède est un parallélogramme. ans ce parallélogramme, le segment [ R ] joignant les milieux de deux côtés est parallèle aux deux autres côtés du parallélogramme, donc R// MN. Or une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. ès lors MN // R d'où MN //plan R. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 11

12 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., émontrer a. Hypothèse étraèdre [ ], [ ], [ ] M N { } { } { } MN = I N = J M = K M N K hèse I Les points I, J et K sont alignés. J émonstration Les points I, J et K appartiennent aux plans et MN. uisque ces plans ont au moins un point commun, ils ont une droite commune (théor.8.4), qui est leur intersection. Les trois points communs aux deux plans appartiennent à leur droite d intersection. Ils sont donc alignés. b. i M//, la droite IJ, intersection des deux plans, est aussi parallèle à M et. c. i les points I, J et K n existent pas, alors MN //, N// et M//. ans ce cas, les plans et MN sont parallèles. hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 12

13 QF 5 e : corrigé (6/) e oeck Education s.a., yramide de Khéops Le triangle ' est semblable au triangle Q '. On a donc h 1,8 0,9 l = 2 =. 1 re méthode On considère le triangle ', rectangle en et d hypoténuse l et on applique le théorème de ythagore. Il faut d abord calculer et = = 142 (m) '. α ' = = 79 (m) ar le théorème de ythagore, on a l = = l = 162, 49 (m) On calcule h = 0,9l = 146, 25(m) La pyramide a une hauteur de 146,25 m. 2 e méthode On considère le triangle ' ; le segment [ ] est une demi-diagonale de la base carrée de la pyramide et [ '] est l hypoténuse du triangle rectangle '. On a donc = = 162, 63 ( m) 2 2 ' = = 45 ( m) Il faut calculer l amplitude de l angle α. ans le triangle ', on a tan ( 90 α ) = =. On en déduit tan α = et α = 36,87. L amplitude de l angle ' est de ( 36, ) = 81,87. ar le théorème d l Kashi, on a l = 162, , cos81,87 = ,6 On en déduit l = 162, 49 (m) et h = 0,9l = 146, 24 (m). hapitre 8 arallélisme et incidence dans l espace 13