Sur les traces de l'homo mathematicus

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Pierre-Yves Corbeil
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1 Sur les traces de l'homo mathematicus Les mathématiques avant Euclide s Mésopotamie - Egypte - Grèce Bernard DUVILLIE Professeur de Mathématiques

2 Introduction Sommaire Chapitre 1 : Le décor De l'univers Du système solaire Le couple Terre-Lune 20 Chapitre 2 : Les acteurs Les primates fossiles Les singes Les hominoïdés Les australopithèques Homo habilis Homo erectus Homo sapiens 51 7a. L'homme de Neandertal 52 7b. L'homme de Cro-Magnon 54 Chapitre 3 : Le Proche-Orient néolithique Le néolithique Premiers calculs 68 2a. Addition 70 2b. Soustraction 72 2c. Multiplication et division 74 2d. À propos des nombres 12, 24, 60, Chapitre 4 : Mathématiques en Mésopotamie Sumer et Akkad Babylone La numération babylonienne L'arithmétique babylonienne L'algèbre babylonienne La géométrie babylonienne L'astronomie babylonienne 124 Chapitre 5 : Mathématiques de l'egypte ancienne Trois millénaires d'histoire L'écriture égyptienne Les papyrus mathématiques 142 3a. Le papyrus Rhind 142 3b. Le papyrus Golenischeff 143 3c. Rouleau de cuir du British Muséum 143 3d. Le papyrus de Kahun 144 3e. Le papyrus Reisner 144 3f. Le papyrus de Berlin 144

3 458 Sommaire 4. La numération égyptienne 5. L'arithmétique égyptienne 5a. Addition et soustraction de nombres entiers 5b. Multiplication et division 5c. Quotients du type 2/n 5d. L'opérateur 2/3 5e. Réduction de sommes de fractions unitaires 5f. Quotient de deux nombres entiers 5 g. Problèmes de complément 6. L'algèbre égyptienne 6a. Problèmes du premier degré 6b. Problèmes du second degré 6c. Progressions arithmétiques et géométriques 7. La géométrie égyptienne 7a. Aires de rectangles et de triangles 7b. Aire d'un cercle 7c. Volume d'un cylindre 7d. Volume d'une demi-sphère 7e. Calculs pyramidaux 7e 1. Calculs de pentes 7e2. Volume d'un tronc de pyramide 7f. Le calendrier égyptien 8. Les grandes pyramides 9. En conclusion Chapitre 6 : De Thaïes à Pythagore 1. Le Monde égéen 2. La civilisation minoenne 3. Là-civilisation mycénienne 4. Les Âges sombres 5. Les cités grecques 6. Les Ioniens 7. Thaïes de Milet Anaximandre 8. Pythagore et le pythagorisme 8a. Pythagore de Samos 8b. Toutes choses sont des nombres 8c. L'arithmétique pythagoricienne 8c 1. Nombres polygonaux 8c2. Les nombres amiables 8c3. Les nombres parfaits 8c4. Les triplets pythagoriciens 8c5. Moyennes et proportions 8c6. Découverte des nombres irrationnels 8d. La géométrie pythagoricienne 8dl. Somme des angles d'un triangle

4 Sommaire 459 8d2. Le "théorème de Pythagore" 8d3. Les polyèdres réguliers 8e. L'astronomie pythagoricienne Philolaos de Crotone 9. La logistique grecque 9a. Le système attique 9b. Le système ionique 9c. Fractions 9d. Abaques 9e. Opérations Chapitre 7 : De Pythagore à Platon 1. Les guerres médiques 2. La guerre du Péloponnèse 3. Le déclin de Sparte 4. L'expansion macédonienne 5. Les éléates 5a. La dichotomie 5b. Achille 5c. La flèche 5d. Le stade 6. Les sophistes et les atomistes 6a. Anaxagore de Clazomènes 6b. Œnopide de Chios 6c. Démocrite d'abdère 6d. Hippocrate de Chios 6dl. Les lunules d'hippocrate 6dla. Lunule construite sur un quart de cercle 6dlb. Lunule construite sur un sixième de cercle 6dlc. Le compte-rendu d'eudème 6dlcl. Lunule construite sur un demi-cercle 6dlc2. Lunule construite sur un segment plus grand qu'un demi-cercle 6dlc3. Lunule construite sur un segment plus petit qu'un demi-cercle 6dlc4. Autres quadratures 6d2. Les Eléments d'hippocrate 6e. Hippias d'élis 6f. Théodore de Cyrène 6g. Théétète d'athènes 6h. Léodamas de Thasos 6i. Archytas de Tarente 6j. Premier bilan

5 460 Sommaire Chapitre 8 : De Platon à Aristote Platon et l'académie 333 la. Mathématiques dans Ménon 337 lai. Duplication du carré 337 Ia2. Inscrire une surface dans un cercle ' 338 lb. Les nombres dans l'œuvre de Platon b 1. Suites de nombres rationnels 341 Ib2. Le nombre idéal de citoyens 342 Ib3. Les incommensurables 342 le. Les figures platoniques 344 ld. Duplication du cube, attribuée à Platon 347 le. Le "nombre géométrique" de Platon 349 If. L'astronomie de Platon Les mathématiques grecques au IV e siècle av. J.-C a. Eudoxe de Cnide 354 2a 1. La théorie des proportions 357 2a2. La méthode d'exhaustion 359 2a2a. Proposition 2, livre XII des Éléments 359 2a2b. Proposition 5, livre XII des Éléments 363 2a3. L'astronomie scientifique d'eudoxe 366 2b. Ménechme et Dinostrate 366 2bl.Ménechme 366 2b2. Dinostrate 369 2c. Aristote 371 Chapitre 9 : Les Éléments d'euclide Alexandrie Euclide Les-Éléments 377 3a. Le livre I : définitions, théorie des parallèles, calculs d'aires 378 3al. Définitions 378 3a2. Demandes ou postulats 380 3a3. Notions communes 382 3a4. Proposition 47 : Théorème de Pythagore 383 3a5. Proposition 48 : Réciproque du théorème de Pythagore 385 3b. Le livre II : algèbre géométrique 386 3c. Le livre III : la géométrie du cercle 391 3d. Le livre IV : polygones réguliers 393 3e. Le livre V : théorie des proportions 393 3f. Le livre VI : figures semblables 398 3fl. Le théorème de Thaïes et sa réciproque g. Le livre VII : théorie des nombres 402 3h. Les livres VIII et IX : théorie des nombres 405 3i. Le livre X : nombres incommensurables 406 3j. Le livre XI : géométrie dans l'espace 413

6 Sommaire 461 3k. Le livre XII : aires et volumes Le livre XIII : polyèdres réguliers 415 Épilogue 417 Annexe 419 Les temps géologiques 419 Généalogie humaine 420 Famille des hominaî 421 Diviseurs propres des nombres entiers 1 à Table des inverses des nombres 1 à 60 dans le système sexagésimal 425 Numérations dans l'egypte ancienne 429 Quelques expressions rencontrées dans les papyrus mathématiques 430 Papyrus Rhind : table des quotients 2/n 431 Rouleau de cuir du British Muséum 432 Unités de mesure dans l'egypte ancienne 433 Développements de fractions 2/n 436 Les écoles mathématiques de la Grèce antique jusqu'au III e s. av. J.-C. 439 Alphabet grec 440 Notices biographiques 441 Bibliographie 453

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