FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f(x) = e x

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Nadine Gervais
il y a 9 ans
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1 FONCTION EXPONENTIELLE de BASE e : f() = e I) DEFINITION. a) Définition 1 et notations : ( de la fonction eponentielle ) Quel que soit le nombre réel, l équation ln y = où y est inconnu admet une solution unique dans ]0 ; + [ notée y = e, ainsi : La fonction eponentielle de base e, notée «ep» associe à tout nombre réel le nombre réel noté e appelé eponentiel de. On note : ep : IR ]0, + [ e C est l unique fonction telle que quel que soit IR : y = e équivaut à ln y = Remarques : 1 e est l unique nombre dont le logarithme népérien soit égal à. ( ln (e ) = ) 2 e ]0 ; + [ donc e est positif strict. 3 La valeur de e est donné par une table de logarithmes ou par une calculatrice. Par eemple la calculatrice donne : e 2 7,389 à 10 3 près ; e 2 = 0,135 à 10 3 près. 4 ln1 = 0 donc e 0 = 1 Eercice 1 : 1 Trouver y tel que lny = 1 2 Trouver y tel que lny = 1 3 Trouver y tel que lny = 0 ( 1 y = e 2 y = e 1 3 y = 1 ) II) PROPRIETES GENERALES. A) Propriété 1 : ( Domaine de définition ) : La fonction eponentielle est définie pour tout IR e eiste quel que soit IR B) Propriétés de base : ( propriétés semblables à celles sur les puissances) Propriété 2 : Quels que soient les nombres réels a et b. e ab = (e a ) b Preuve : ln (e ab ) = ab et ln( (e a ) b ) = b ln(e a ) = ab lne = ab donc ln (e ab ) = ln( (e a ) b ) puis e ab = (e a ) b. Eemples : 1 e 6 = e 2 3 = (e 2 ) 3 2 (e 5 ) 2 = e 5 2 = e 10 Propriété 3 : Quel que soit les nombres réels a et b. e a e b = e a +b Eemples : 1 e 2 e 3 = e = e 5 2 e 2 e 3 = e 2 + ( 3) = e 5 3 e 2 e 2 = e 2 + ( 2) = e 0 =1.

2 Propriété 4 : Quel que soit les nombres réels a et b. e a e b = e a b Eemples : 1 e2 e 3 = e 2 3 = e 1 2 e 2 e 3 = e 2 ( 3) = e 1 =1 Propriété 5 : Quel que soit les nombres réels a et b. 1 e a = e 0 a = e a Eemples : 1 1 e 3 = e 3 2 e 2 = 1 e 2 III) DERIVEE : a) Propriété 6 : ( dérivée de e et de e u() ) (1) La fonction eponentielle est dérivable sur IR et sa dérivée est la fonction eponentielle elle même : (e ) = e (2) Si u est une fonction dérivable, alors [e u() ] = u () e u() Preuve : (1 ) soit f() = ln ( e ) =, en dérivant on a f () = ( e ) ( e ) = 1 donc ( e ) = e. b) Eemples : 1 Si f() = 3² e pour IR alors f () = e. 2 Si f() = e ² + 2 sur IR alors f() = e u() où u() = ² + 2 donc u () = 2 donc f () = 2 e ² + 2. IV) SENS DE VARIATION : Propriété 7 : ( variations de la fonction eponentielle ) La fonction eponentielle croît strictement sur IR. Valeurs de + Signe de (e ) = e + + Variations de ep V) LIMITES : 0 ( ites vu au V) ) a) Propriété 8 : ( ites de e en, en + ) La ite de e en + est + : + e = + La ite de e en est 0 : e = 0 la droite d équation y = 0 est asymptote à la courbe en

3 Propriété 9 : Si a > 0 alors la ite de ln() quand tend vers a est e a : a e = e a b) Propriété 10 : ( croissances comparées ). e croît plus vite que n importe quelle puissance positive de, c est à dire : Quel que soit n IN-{0} on a : + e n =+ en particulier + e = + Quel que soit n IN-{0} n e = 0 en particulier e = 0. VI) TABLEAU de VALEURS et COURBE REPRESENTATIVE : e 0,006 0,36 1 2,718 7,38 148, y L ae (o) est asymptote horizontale VII) EQUATIONS : a) Propriété 11 : ( égalité ) Quels que soient les réels a et b e a = e a équivaut à a = b. Eemples : 1 On cherche à résoudre l équation : e 2 = e + 1 e 2 = e + 1 donc 2 = +1 donc = 1 donc : S = {1}.

4 b) Propriété 12 : ( antécédents de nombres par la fonction eponentielle ). ln() = 1 = e 2,718. Le nombre «e» est appelé la base des logarithmes népériens. Quel que soit le nombre a IR on a : e = a = ln(a) et quel que soit IR : ln(e ) = Eemples 1 Si e = 2 alors = ln 2 0,69 et S = {ln2} 2 Si e = 2, il n y a pas de solution dans IR car e est positif strict et S = VII) INEQUATIONS : a) Propriété 13 : ( inégalité et eponentiel ). Quels que soient les réels a et b : e a > e a équivaut à a > b. ( idem pour <,, ) Eemple : On cherche à résoudre l inéquation : e 2 > e 2. e 2 > e 2 donc 2 > 2 donc 3 > 2 donc > 2 3 donc S = ] 2 3 ; 2 [. b) Propriété 14 : ( antécédents de nombres par la fonction eponentielle ). Quel que soit le nombre a IR et IR e > a > ln(a) ( idem pour <,, ) Eemples : 1 Si e > 2 alors >ln 2 0,69 et S = [ ln2 ; + [ 2 Si e < 2, il n y a pas de solution dans IR car e c) Propriété 15 : ( signe de e ) est positif strict et S = Valeur de 0 + Signe de e + e est positif strict quel que soit IR VIII) EXPONENTIEL DE BASE a Définition 2 et notations : ( de la fonction eponentielle de base a > 0 ) Soit a > 0 : on pose a = e lna La fonction ainsi définie sur IR est appelée fonction eponentielle de base a On a les mêmes propriétés que pour la fonction eponentielle de base e ( a +y = a. a y a, a y = a -y, a - = 1 a, (a ) y = a.y ) a >1 0 < a < 1 y

5 TEST : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN Nom : Eercice 1 : 1) Soit un nombre réel quelconque et y un réel vérifiant lny = Eprimer y en fonction de : y =. Remarques : 1 e est l unique nombre dont le logarithme népérien soit égal à. ( ln (e ) = ) 2 e ]0 ; + [ donc e est positif strict. 3 La valeur de e est donné par une table de logarithmes ou par une calculatrice. Par eemple la calculatrice donne : e 2 7,389 à 10 3 près ; e 2 = 0,135 à 10 3 près. 4 ln1 = 0 donc e 0 = 1 Eercice 1 : 1 Trouver y tel que lny = 1 2 Trouver y tel que lny = 1 3 Trouver y tel que lny = 0 ( 1 y = e 2 y = e 1 3 y = 1 ) II) PROPRIETES GENERALES. A) Propriété 1 : ( Domaine de définition ) : La fonction eponentielle est définie pour tout IR e eiste quel que soit IR B) Propriétés de base : ( propriétés semblables à celles sur les puissances) Propriété 2 : Quels que soient les nombres réels a et b. e ab = (e a ) b Preuve : ln (e ab ) = ab et ln( (e a ) b ) = b ln(e a ) = ab lne = ab donc ln (e ab ) = ln( (e a ) b ) puis e ab = (e a ) b. Eemples : 1 e 6 = e 2 3 = (e 2 ) 3 2 (e 5 ) 2 = e 5 2 = e 10 Propriété 3 : Quel que soit les nombres réels a et b. e a e b = e a +b Eemples : 1 e 2 e 3 = e = e 5 2 e 2 e 3 = e 2 + ( 3) = e 5 3 e 2 e 2 = e 2 + ( 2) = e 0 =1. Propriété 4 : Quel que soit les nombres réels a et b. e a e b = e a b Eemples : 1 e2 e 3 = e 2 3 = e 1 2 e 2 e 3 = e 2 ( 3) = e 1 =1

6 Propriété 5 : Quel que soit les nombres réels a et b. 1 e a = e 0 a = e a Eemples : 1 1 e 3 = e 3 2 e 2 = 1 e 2 III) DERIVEE : a) Propriété 6 : ( dérivée de e et de e u() ) (2) La fonction eponentielle est dérivable sur IR et sa dérivée est la fonction eponentielle elle même : (e ) = e (2) Si u est une fonction dérivable, alors [e u() ] = u () e u() Preuve : (1 ) soit f() = ln ( e ) =, en dérivant on a f () = ( e ) ( e ) = 1 donc ( e ) = e. b) Eemples : 1 Si f() = 3² e pour IR alors f () = e. 2 Si f() = e ² + 2 sur IR alors f() = e u() où u() = ² + 2 donc u () = 2 donc f () = 2 e ² + 2. IV) SENS DE VARIATION : Propriété 7 : ( variations de la fonction eponentielle ) La fonction eponentielle croît strictement sur IR. Valeurs de + Signe de (e ) = e + + Variations de ep V) LIMITES : 0 ( ites vu au V) ) a) Propriété 8 : ( ites de e en, en + ) La ite de e en + est + : + e = + La ite de e en est 0 : e = 0 la droite d équation y = 0 est asymptote à la courbe en Propriété 9 : Si a IR alors la ite de e quand tend vers a est e a : a e = e a b) Propriété 10 : ( croissances comparées ).

7 e croît plus vite que n importe quelle puissance positive de, c est à dire : Quel que soit n IN-{0} on a : + e n = + en particulier + e = + Quel que soit n IN-{0} n e = 0 en particulier e = 0. VI) TABLEAU de VALEURS et COURBE REPRESENTATIVE : e 0,006 0,36 1 2,718 7,38 148, y L ae (o) est asymptote horizontale VII) EQUATIONS : a) Propriété 11 : ( égalité ) Quels que soient les réels a et b e a = e a équivaut à a = b. Eemples : 1 On cherche à résoudre l équation : e 2 = e + 1 e 2 = e + 1 donc 2 = +1 donc = 1 donc : S = {1}. b) Propriété 12 : ( antécédents de nombres par la fonction eponentielle ). ln() = 1 = e 2,718. Le nombre «e» est appelé la base des logarithmes népériens. Quel que soit le nombre a IR on a : e = a = ln(a) et quel que soit IR : ln(e ) =

8 Eemples 1 Si e = 2 alors = ln 2 0,69 et S = {ln2} 2 Si e = 2, il n y a pas de solution dans IR car e est positif strict et S = VII) INEQUATIONS : a) Propriété 13 : ( inégalité et eponentiel ). Quels que soient les réels a et b : e a > e a équivaut à a > b. ( idem pour <,, ) Eemple : On cherche à résoudre l inéquation : e 2 > e 2. e 2 > e 2 donc 2 > 2 donc 3 > 2 donc > 2 3 donc S = ] 2 3 ; 2 [. b) Propriété 14 : ( antécédents de nombres par la fonction eponentielle ). Quel que soit le nombre a IR et IR e > a > ln(a) ( idem pour <,, ) Eemples : 1 Si e > 2 alors >ln 2 0,69 et S = [ ln2 ; + [ 2 Si e < 2, il n y a pas de solution dans IR car e c) Propriété 15 : ( signe de e ) est positif strict et S = Valeur de 0 + Signe de e + e est positif strict quel que soit IR VIII) EXPONENTIEL DE BASE a Définition 2 et notations : ( de la fonction eponentielle de base a > 0 ) Soit a > 0 : on pose a = e lna La fonction ainsi définie sur IR est appelée fonction eponentielle de base a On a les mêmes propriétés que pour la fonction eponentielle de base e ( a +y = a. a y a, a y = a -y, a - = 1 a, (a ) y = a.y ) a >1 0 < a < 1 y

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