Chapitre 10 : Fonctions affines

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1 Chapitre 10 : Fonctions affines I Fonctions affines Définition Une fonction f est affine s il eiste deu nombres réels a et b tels que pour tout réel f() = a+b. On peut toujours définir une fonction affine sur R. Eemple : la fonction f donnée par f() = 2+3. I.1 Représentation graphique d une fonction affine La représentation graphique d une fonction affine est une droite non parallèle à l ae des ordonnées. Démonstration Soit f() = a+b. f(0) = b. Donc C f passe par le point A(0;b). f(1) = a+b. Donc C f passe par le point B(1;a+b). AB ( B A ), AB ( 1 a ). y B y A Soit un nombre réel, alors f() = a+b. Le point de C f d abscisse est M(;a+b). Montrons que pour tout R, les points A, B et M sont alignés. AM ( a ). y y = 1 a a = a a = 0 Donc AM et AB sont colinéaires ( AM = AB). Ainsi, M (AB). Comme pour tout R, M(;a+b) est aligné avec A et B, la courbe représentative de f est la droite (AB). Vocabulaire : Soit f définie par f() = a+b. Le réel a est le coefficient directeur de la courbe représentative de f. quand on avance de 1, on monte de a. le réel b est l ordonnée à l origine. : La droite passe par le point de coordonnées (0;b). 1

2 y b 1 a f() = Méthode pour tracer la représentation graphique d une fonction affine : Comme c est une droite, il suffit de construire deu points. On choisit deu valeurs de, (qui donnent des calculs simples si possible) on calcule les images correspondantes, on place les points obtenus, et on trace la droite les reliant. Eercice 1 Tracer la courbe de la fonction définie par f() = y Remarque Cas particuliers : Lorsque a = 0, f() = b. La fonction est dite constante. La courbe de f est alors un droite parallèle à l ae des abscisses. Lorsque b = 0, f() = a. La fonction est dite linéaire. La courbe de f est une droite passant par O. I.2 Sens de variation d une fonction affine Soit f la fonction affine définie par f() = a+b. Si a > 0, alors f est strictement croissante sur R. Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur R. Si a = 0, f est constante et C f une droite est parallèle à l ae des abscisses. Eercice 2 Déterminer l image d un intervalle par une fonction affine : ressource

3 I.3 Signe de a + b Soit f la fonction affine définie par f() = a+b, avec a 0. Alors f() = 0 pour = b a. Si a > 0, alors le signe de f() est donné par : b/a + f() = a+b 0 + Si a < 0, alors le signe de f() est donné par : b/a + f() = a+b + 0 Eercice 3 Compléter le tableau de signes d une fonction affine : ressource 2543 Eemple : 1. f() = 2 6. a = 2, et b = = 0 lorsque = 3. Comme a = 2 > 0, on a : g() = 2 7. a = 7, b = = 0 ssi = 2 7. Comme a = 7 < 0, on a : 2/ I.4 Application au inéquations 3

4 Propriété ( règle des signes ) Le produit (ou quotient) de deu nombres positifs est positif. Le produit (ou quotient de deu nombres négatifs est positif. Le produit (ou quotient) de deu nombres de signes contraires est négatif. Méthode pour les inéquations 1. Faire apparaître 0, 2. Factoriser (mettre au même dénominateur s il y a des divisions), 3. Faire un tableau de signe (une ligne pour chaque facteur), 4. Conclure (donner l ensemble solution sous forme d intervalle ou de réunion d intervalles). Eercice 4 Résoudre l inéquation 6 < 2 2. Valeurs clés : = = 0 lorsque = 3. 6 < < 0 (6 2) < (6 2) L ensemble solution est S =] ;0[ ]3;+ [. Eercice 5 Résoudre dans R l inéquation

5 Valeurs clés : 5 3 = 0 lorsque = 5 3. = 0 (valeur interdite). 0 5/ S = ] ;0 [ [ [ 5 3 ;+. Eercice 6 Déterminer le signe d un produit de fonctions affines : ressource 2544 Eercice 7 Inéquation du second degré en trouvant une factorisation : ressource 2923 II Compléments II.1 Caractérisation des fonctions affines Définition Soit f une fonction. Pour u et v deu nombres réels distincts, le tau de variation de f entre u et v est le rapport f(v) f(u). v u 1. Soit f la fonction affine a+b. Pour tous nombres réels distincts u et v, le tau de variation de f entre u et v est égal a : pour tous u et v réels distincts, on a f(v) f(u) = a. v u Autres formulations : l accroissement de la fonction f est proportionnel à l accroissement de la variable, et le coefficient de proportionnalité est a. Lorsque varie d un nombre h, f() varie de a h. 2. Propriété réciproque : Soit f une fonction définie sur R dont le tau de variation est constant, égal au nombre réel a. Alors f est la fonction affine définie par f() = a+b où b = f(0). 5

6 Méthode pour déterminer l epression d une fonction affine f dont on connaît la représentation graphique : Repérer deu points A( A ;y A ) et B( B ;y B ) sur C f. Le coefficient directeur est a = y B y A B A. Alors, f() = a + b, et a est connu. On trouve b en remplaçant les coordonnées d un des points A ou B dans la relation précédente. 6