Droites et plans de l Espace

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1 Droites et plans de l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Quelques rappels 2 2 Positions relatives Positions relatives de deux droites Positions relatives de deux plans Positions relatives d une droite et d un plan Deux résultats supplémentaires sur le parallélisme Orthogonalité dans l espace Droites orthogonales Droites perpendiculaires à un plan Table des figures 1 Un plan Plans parallèles Intersection avec deux plans parallèles Théorème du toit Définition de l orthogonalité Théorème de la porte Liste des tableaux 1 Positions relatives de deux droites Positions relatives de deux plans Positions relatives d une droite et d un plan Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 2 POSITIONS RELATIVES 1 Quelques rappels Règles d incidences : Les règles suivantes sont valables dans l espace : 1. Par deux points distincts A et B passe une seule droite, notée (AB). 2. Par trois points non alignés A, B et C passe un seul plan, noté (ABC). 3. Si un plan contient deux points A et B, il contient toute la droite (AB). 4. Dans tout plan de l espace, tout résultat de géométrie plane s applique. Remarques : 1. Un plan est une «surface» plane «illimitée». Elle est représentée en perspective par un parallélogramme (voir figure 1). Figure 1 Un plan 2. La dernière règle indique que, dans tout plan de l espace, tout se passe comme dans «LE» plan de la géométrie plane. On cherchera donc très souvent à se placer dans un plan de l espace. 2 Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites Les résultats sont résumés dans le tableau 1. Positions relatives de D 1 et D 2 Coplanaires sécantes strictement parallèles confondues Non coplanaires un point commun unique pas de point commun tous les points sont communs il n existe pas de plan contenant les deux droites Table 1 Positions relatives de deux droites Remarques : 1. Attention! Dans l espace, il existe des droites qui ne sont ni parallèles, ni sécantes. 2. Deux droites sont parallèles lorsqu elles sont coplanaires et non sécantes. 2.2 Positions relatives de deux plans Les résultats sont résumés dans le tableau 2. Remarque : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Il suffit donc de déterminer deux points appartenant simultanément aux deux plans pour déterminer cette droite. 2

3 2 POSITIONS RELATIVES 2.3 Positions relatives d une droite et d un plan sécants Positions relatives des plans P 1 et P 2 parallèles strictement parallèles ou confondus disjoints leur intersection est la droite D leur intersection est un plan leur intersection est vide Table 2 Positions relatives de deux plans Propriété : (admise) Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. (voir figure 2) Figure 2 Plans parallèles 2.3 Positions relatives d une droite et d un plan sécants Positions relatives de D et P parallèles D et P ont un seul point commun D et P n ont aucun point commun D est incluse dans le plan P. Table 3 Positions relatives d une droite et d un plan Remarque : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. 3

4 2.4 Deux résultats supplémentaires sur le parallélisme 2 POSITIONS RELATIVES 2.4 Deux résultats supplémentaires sur le parallélisme Théorème 1 : (admis) Si un plan Q coupe deux plans parallèles P et P alors les droites d intersection sont parallèles (voir figure 3). Figure 3 Intersection avec deux plans parallèles Théorème 2 : (admis) (aussi appelée «théorème du toit») Soit D et D deux droites parallèles. P est un plan contenant D et P un plan contenant D (voir figure 4). Si les plans P et P sont sécants, leur droite d intersection est parallèle à D et à D. Figure 4 Théorème du toit Exercices : 1, 2, 3 page 270 et 22, 23, 24, 26 page , 6 page 271 et 27, 2, 29 page [TransMath] Activité : Section d un plan sur un cube (sur feuille polycopiée) Exercices : 13 page 274 ; 31, 32, 34 page 279 et 46 page [TransMath] 1. Intersection d une droite et d un plan. 2. Intersections de deux plans. 3. Section d un polyèdre par un plan. 4

5 3 ORTHOGONALITÉ DANS L ESPACE 3 Orthogonalité dans l espace 3.1 Droites orthogonales Définition : Dans l Espace, on dit que deux droites sont orthogonales s il existe un point I tels que les parallèles à ces droites passant par I soient perpendiculaires. Remarque : Attention! Dans l Espace, des droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et n ont donc pas nécessairement de point d intersection. Il faut bien faire la distinction entre des droites orthogonales et des droites perpendiculaires (qui ont, elles un point d intersection). Propriété : (admise) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. 3.2 Droites perpendiculaires à un plan Activité : Perpendicularité ou orthogonalité? (sur feuille polycopiée) Définition : Soit A le point d intersection d une droite et d un plan P. On dit que la droite est perpendiculaire au plan P si elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan P passant par A (voir figure 5). Figure 5 Définition de l orthogonalité Théorème : (admis) (aussi appelé «théorème de la porte») Si une droite est perpendiculaire en A à deux droites sécantes d un plan P, alors elle est perpendiculaire à ce plan (voir figure 6). Figure 6 Théorème de la porte Remarque : On a aussi les deux résultats suivants : Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles. 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles. Exercices : 7, 8 page 272 ; 36 page 379 et 40 page page 274 ; 37 page 279 ; 40, 42, 43 page 280 ; 55, 57 page 284 et 60, 62 page page , 54 page Références [TransMath] transmath Term S, programme 2012 (Nathan) 4 4. Orthogonalité de droites et de plans. 5. Calculs de distances, aires et volumes. 6. QCM. 7. Type BAC. 6