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1 Cours d analyse L1S1P 017

2 Objectifs : 1 Apprendre à calculer avec des formules : domaines de définition, dérivées primitives développements limités Se désinhiber face auxdites formules. À la fin de ce semestre vous devriez trouver les questions suivantes complètement bateau : Trouver le domaine de définition de Trouver la limite en 0 de etc. f (X ) = esin( 1 X ) cos( 1 X X ) tan(x + X + 1) f (X ) = e 1 cos(x ) cos(x ) arcsin(x ) arctan(x ) X ln(1 + ex cos(x ) sin(x ) ) 3 Savoir pourquoi ces formules sont importantes : on verra d où viennent les fonctions usuelles, et en quoi l étude des formules où elles apparaissent est utile.

3 Aujourd hui : Les nombres complexes.

4 Rappels sur le corps des nombres réels. On sait mettre une structure de corps sur la droite : cela donne les nombres réels, R. Un corps, c est un ensemble E sur lequel sont définies deux opérations : + et., qui vérifient les propriétés suivantes : 1 Elles sont associatives : (x + y) + z = x + (y + z) et x.(y.z) = (x.y).z. ok pour N, Z, Q, R. Elles sont commutatives : x + y = y + x et x.y = y.x. ok pour N, Z, Q, R. 3 La multiplication se distribue sur l addition : x.(y + z) = x.y + x.z 4 Il y a deux éléments distincts 0 et 1 tels que 0 + x = x et 1.x = x x E 5 Pour tout x, il existe un opposé x tel que x + x = 0. 6 Pour tout x 0, il existe un inverse x 1 tel que x 1.x = 1. ok pour N, Z, Q, R. ok pour N, Z, Q, R. ok pour Z, Q, R. ok pour Q, R.

5 Mettre une structure de corps sur le plan (1)? Sur le plan (vectoriel), nous disposons déjà d une addition : (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ). 0 = (0, 0). Pour notre 1, il faut faire un choix : 1 = (1, 0). Dessin au tableau Si l on désigne par i le point (0, 1), on peut donc écrire tout élément z du plan sous la forme z = a + ib et il n y a plus qu à trouver la bonne multiplication. Sur le plan, nous disposons aussi du produit scalaire et de la longueur associée : z = a + ib, z = a + ib < z, z >= aa + bb et z =< z, z > qui vérifient z + z = z + < z, z > + z Lorsque a et a sont réels, on a bien sûr a.a = a. a. Il est naturel de demander à notre multiplication de vérifier cette propriété de manière générale : on veut avoir z.z = z. z. Alors : < z.z, z.z > = z.z + z.z z.z z.z = z. z + z z.( z z ) = z < z, z >

6 Mettre une structure de corps sur le plan ()? On a vu que pour mettre une structure de corps sur le plan, pour laquelle on ait z.z = z. z ( z, z ) il fallait avoir : < z.z, z.z >= z < z, z > ( z, z ) En particulier, avec z = z = i et z = 1, on obtient < i, i >= i < i, 1 >= 0 donc i doit être perpendiculaire à i. C est donc soit 1, soit 1. si l on pose i = 1, on a (i 1)(i + 1) = 0 alors que (i 1) et (i + 1) sont non nuls, ce qui est impossible dans un corps (le nombre (1 + i) 1 ne pourrait pas exister!). si l on pose i = 1... ça marche! C est ce que nous allons vérifier.

7 Mettre une structure de corps sur le plan (3)? On pose donc i = 1, ce qui nous incite à définir de manière générale (a + ib).(a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + a b) L opération + est associative, commutative, inversible, et a un élément neutre : ok, c est juste l addition des vecteurs. L opération. est commutative : (a + ib).(a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + ba ) = (a + ib ).(a + ib). L opération. est associative et distributive sur + : à faire au tableau On a bien 1.z = z : (1 + i0).(a + ib) = (1.a 0.b) + i(1.b + 0.a) = a + ib. Il reste à vérifier que tout z 0 admet un inverse z 1.

8 Mettre une structure de corps sur le plan (4)? Pour z = a + ib, on pose z = a ib. On a alors l égalité z. z = z = a + b. Comme a + b est un réel strictement positif dès que z 0, on peut l inverser et écrire 1 z. a + b. z = 1 ce qui montre que tout z 0 est inversible et que son inverse est z 1 = z z.

9 Vocabulaire (1) Muni de ces opérations + et. le plan est appelé corps des nombres complexes, et noté C. Si z = a + ib C, on dit que le nombre réel a est sa partie réelle, ce que l on note a = Re(z), le nombre réel b est sa partie imaginaire, ce que l on note b = Im(z), le nombre réel z = a + b est son module, le nombre complexe z = a ib est son conjugué. Pour avoir tout le vocabulaire nécessaire, il nous reste à introduire l argument...

10 L argument (1) On pose e ix = cos(x) + i sin(x). Comme on le voit tout de suite, x e ix est une fonction π-périodique à valeurs dans le cercle unité : e ix = cos (x) + sin (x) = 1. Formules d Euler On a l égalité e iπ = 1. On a l égalité On a l égalité cos(x) = eix +e ix. sin(x) = eix e ix i. La notation e ix s explique par des résultats un peu trop durs à démontrer en L1, c est plutôt du niveau L : disons juste que e iθ est la valeur en iθ d une fonction exp : C C vérifiant les propriétés suivantes : z 1 + z + z! + z3 3! + si x est réel, exp(x) = e x : la fonction exponentielle que nous connaissons bien, pour tous z et z complexes, on a exp(z + z ) = exp(z). exp(z ),

11 L argument () On va utiliser, sans les démontrer, les deux résultats suivants : Théorème Pour tous x et y réels, on a l égalité e i(x+y) = e ix.e iy. Théorème Soit z = a + ib un nombre complexe de module 1. Alors a) Il existe un nombre réel θ tel que e iθ = z. b) Les réels θ 1 et θ sont deux solutions si et seulement si θ 1 θ π est un nombre entier. Définition Soit z 0 un nombre complexe. Un argument de z est un nombre réel θ tel que l on ait l égalité z z = eiθ. D après le théorème ci-dessus, un tel argument existe, et si θ 0 est un argument, alors l ensemble de tous les arguments est {..., θ 0 4π, θ 0 π, θ 0, θ 0 + π, θ 0 + 4π,...} En particulier, il en existe un, et un seul, appelé l argument principal de z qui est contenu dans [0, π[.

12 Vocabulaire () Ainsi, un nombre complexe peut toujours être écrit sous la forme c est la forme algébrique. z = a + ib, Il peut aussi toujours être écrit sous la forme z = ρe iθ textavec ρ 0 et θ R, c est une forme géométrique. Si ρ > 0 et θ [0, π[ on dit que c est la forme géométrique principale. Pour passer de l une à l autre : a = ρ cos(θ) b = ρ sin(θ) ρ = a + b = z θ = { arcos( a ρ ) si b 0 π arcos( a ρ ) si b < 0

13 À quoi ça sert? La découverte des nombres complexes est en partie dûe à la remarque suivante : Théorème Soit P(Z) = a 0 + a 1 Z + + a nz n un polynôme à coefficients complexes. Alors il existe un nombre complexe α tel que P(α) = 0 : tout polynôme complexe admet une racine dans C. En factorisant : tout polynôme est de la forme Et alors? P(Z) = a n(z ω 1 ) α1 (Z ω s) αs Dans les temps moyenageux, on accordait beaucoup d importance à la résolution des équations polynomiales à coefficients réels. Par exemple : X 3 + px + q = 0. Il se trouve que pour trouver une formule donnant les solutions réelles de ces polynômes de degré 3, on a besoin des nombres complexes. Ce sont les formules de Cardan, que nous allons bientôt voir. Mais avant, revenons sur l équation du second degré.

14 Trouver les racines carrées d un nombre complexe sous forme algébrique Soit z 0 = a + ib un nombre complexe. Trouvons les solutions de Z = z 0. Notons z = x + iy. On a alors z = (x y ) + xyi donc on doit avoir x y = a. xy = b C est un système d équations de degré, donc a priori du à résoudre. Astuce : on rajoute l équation z = z 0 : x y = a x + y = a + b = z 0 xy = b et l on déduit : x = ± z0 + a et y = b x (attention au cas x = 0 quand même). En remettant tout ensemble, on déduit : ( ) z0 + Re(z 0 ) z0 Re(z 0 ) z = ± + i.sgn(b) Remarque : les deux solutions trouvées ainsi sont bien opposées l une de l autre.,

15 Trouver les racines d un polynôme de degré Soit P(Z) = az + bz + c un polynôme de degré à coefficients complexes. On a l égalité [ ( P(Z) = a Z + b ) ] b 4ac a 4a Posons = b 4ac. On sait trouver δ tel que δ =. On a alors [ ( P(Z) = a Z + b ) ( ) ] δ a a et donc ( P(Z) = a Z b + δ ) ( Z b δ ) a a qui nous donne les deux solutions Z ± = b ± δ a.

16 Racines de polynômes de degré 3 et + Considérons une équation de la forme z 3 + pz + q = 0 Astuce : on pose z = u + v, et on développe u 3 +v 3 +3uv +3u v +pu +pv +q = 0 (p +3uv)(u +v)+(q +u 3 +v 3 ) = 0, expression qui s annule dès que { uv u 3 + v 3 = q = p 3 Posant U = u 3 et V = v 3, ces dernières équations impliquent les suivantes : UV = p3 7 donc U et V sont solutions de et U + V = q Z + qz p3 7 = 0. On en déduit U = q + δ et pour un certain δ tel que δ = q p3. V = q δ

17 Racines de polynômes de degrés 3 Finalement, les solutions sont de la forme u 3 = z = u + v avec v 3 = q δ q+δ δ = q p3 A priori, on a trop de solutions : il existe trois nombres complexes ω tels que ω 3 = 1, ce sont 1, j = 1+i 3 et j = 1 i 3. Par conséquent, une équation z 3 = Z a 3 solutions, exactement, et notre système ci-dessus en a 9. Ce n est pas très grave : si on sait les calculer, il suffit de ne garder que celles qui fonctionnent. Problème : on ne sait pas en général trouver les racines cubiques d un nombre complexe en fonction de sa partie réelle et de sa partie imaginaire, sans passer par la forme polaire!!!

18 Cas particulier : p et q sont réels et est positif. On peut écrire sans ambiguïté : z 0 = 3 q q + puis revérifier par le calcul que c est bien une racine. Dans ce cas, il n y a pas d autre racine réelle, et les deux racines complexes conjuguées sont z k = j k 3 q + + j k 3 q + (k = 1, ) Exemple : le nombre plastique ρ = est l unique racine réelle de Z 3 Z 1. La formule ci-dessus donne : ρ = 6 C est en gros le seul cas dans lequel on peut dire quelque chose de raisonnable. Par exemple, en utilisant (par exemple) les formules d addition des fonctions trigonométriques, on peut vérifier sans trop de peine que cos( π ) est l une des trois 9 racines réelles de Z 3 3Z Essayez d en dire plus grâce aux formules ci-dessus!

19 En degrés >3 Il existe aussi des formules à prendre avec encore plus de précautions pour les polynômes de degré 4, mais on sait (Abel, Galois, XVIII-ème) qu il n en existe pas pour les polynômes de degrés 5. Remarque : ce n est pas très grave, il n y a aucune application de la vie courante qui demande de faire cela. Par contre, il existe de nombreux problèmes qui dépendent de la recherche de valeurs approchées de ces racines. Voici un exemple : en dynamique des populations, ou en économie, ou dans des tas d autres domaines, on se retrouve à étudier des suites récurrentes du genre suivant u n+d = a d 1 u n+d a 0 u n (a 0 0). On introduit le polynôme caractéristique P(Z) = Z d a d 1 Z d 1 a 0. Théorème. Si toutes les racines de P(Z) sont de module strictement inférieur à 1, alors (u n) tend vers 0. Si toutes les racines de P(Z) sont de module inférieur à ou égal à 1, alors (u n) tend vers 0. Si au moins une racines de P(Z) est de module strictement supérieur à 1, alors pour presque toutes les conditions initiales, (u n) explose. Dans le fichier Weyl.py disponible sur ma page personnelle, un tel algorithme est implémenté, et un didacticiel est disponible pour expliquer comment ça marche.

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