École Normale Supérieure, École Polytechnique, Paris VI, VII et XI M2 CFP Parcours de physique théorique Examen de Physique Statistique

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1 École Normale Supérieure, École Polytechnique, Paris VI, VII et XI M2 CFP Parcours de physique théorique Examen de Physique Statistique le 5 janvier 2010 Durée : 3 heures Notes de cours et de TD autorisées. Faire appel à des résultats déduits en cours, en TD ou dans les Notes quand cela peut accélérer votre travail. Les symboles non définis ont leur signification usuelle. Données. L équation de Fokker Planck P(s,t) t = α s sp + Γ 2 est équivalente à l équation de Langevin 2 P s 2 ds(t) dt = αs+ξ(t), ξ(t)ξ(t ) = Γδ(t t ). Les deux ont comme solution stationnaire P st (s) = ( α πγ dont la variance est s 2 st = Γ/2α. ) 1/2exp ( αs2 Γ ), 1. Un verre de spin Un modèle de spins en champ moyen, alternative au modèle de Sherrington-Kirkpatrick, est donné par le hamiltonien H = 1 2 N J ij s i s j, i,j=1 où les N spins s i prennent leurs valeurs dans tout R tout en vérifiant la contrainte dite sphérique selon laquelle N i=1 s2 i = N. On utilisera le raccourci s = {s 1,s 2,...,s N } pour désigner un état microscopique du système et la notation Ds pour une intégrale sur tous les spins s i assujettis à la contrainte sphérique. Les couplages J ij sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes de moyenne nulle et de variance J 2 /N. On se propose 1

2 de déterminer le paramètre d ordre d équilibre q en fonction de la température. La moyenne thermique d une observable X est dénotée par X et la moyenne sur le désordre d une quantité Y est par Y. a. Pourquoi est-il nécessaire d imposer une contrainte sur les s i? b. Évaluer la moyenne eβjiju pour u quelconque indépendant de J ij. c. Soit n un entier. Montrer que la fonction de partition Z vérifie ( ) 2 Z n = Ds 1...Ds n exp β2 J 2 s a 4N is b i d. On introduit n(n 1)/2 variables d intégration q ab pour a < b gaussiennes de moyenne nulle et de variance 1/N. Montrer que l on peut récrire Z n sous la forme Z n dq ab = e NG({qab }), 2π/N où G a pour expression a<b G({q ab }) = β2 J 2 n 4 a,b 1 qab N lnζ a<b avec ζ = Ds 1...Ds n exp ( βj a<b q ab i sa i i) sb. e. On met en œuvre une méthode du col et l on suppose qu à ce col, les q ab sont égaux àunemême valeur q. Montrer queq est solution del équation i q = βj Ds 1...Ds n s 1 1 s2 1 eβjq a<b,i sa i sb i Ds 1...Ds n e βjq a<b,i sa i sb i (1) f. Quel est le sens physique de q? Justifier que la valeur q = 0 est solution de l équation (1). g. Pourquoi est-ce la limite n 0 qui nous intéresse? Montrer qu il existe une température T f telle que si T T f, la solution q de (1) tend vers 0 comme q cte (T f T) b. Préciser b. Sans nécessairement la calculer explicitement, justifier que la constante de proportionnalité reste finie lorsque n Réaction diffusion On considère des particules d une espèce unique A sur un réseau de sites x,y,... Les particules sautent à un taux γ entre sites voisins et sont 2

3 soumises aux deux réactions A k0 0, 0 k2 2A, étant entendu que la dernière peut avoir lieu sur chaque site quel que soit le nombre de particules qui y sont déjà présentes. a. Écrire l opérateur Ŵ régissant l évolution de ce système de particules. b. Introduire des champs φ x (t) et φ x(t) 1 + φ x (t). Écrire l action S[φ, φ] correspondante sans vous occuper du terme initial. c. Montrer (sans trop détailler) que φ x (t) obéit à une équation de Langevin qui se trouve être linéaire, φ(x, t) t = γ φ k 0 φ+2k 2 + 2k 2 η(x,t). (2) Ici η x (t) est un bruit blanc gaussien d autocorrélation η x (t)η y (t ) = δ(t t )δ d x,y. Les questions d f concernent le cas particulier de l équation (2) sur un réseau d un site unique. Le terme en laplacien est alors absent et on a φ(t) et η(t) au lieu de φ x (t) et de η x (t). d. Trouver la solution stationnaire P st (φ) de l équation de Langevin pour φ. e. Déterminer lenombremoyendeparticules n st et savariance n 2 st n 2 st dans l état stationnaire. f. La distribution de n est-elle poissonienne? Motiver brièvement votre réponse. 3. Une marche aléatoire On considère une marche aléatoire unidimensionnelle dans le demi-espace des sites n = 0,1,2,... Les taux de transition W n,n (pour un saut de n à n ) non nuls sont W n+2,n = k 2, n = 0,1,2,..., W n 1,n = nk 0, n = 1,2,... Cette marche modélise les réactions de l exercice précédent sur un site unique. Soit P n (t) la probabilité de trouver le marcheur au site n à l instant t. a. Écrire l équation maîtresse pour P n(t). 3

4 b. Les taux donnés ci-dessus obéissent-ils aux relations de bilan détaillé? Motiver votre réponse brièvement. Quand k 2 devient grand à k 0 fixe, la distribution P n (t) devient large et les sauts individuels de n, égaux à 1 ou +2, sont petits à l échelle de la distribution. On peut alors transformer l équation maîtresse du a en une équation de Fokker Planck. Poser λ = 2k 2 /k 0 [selon l exercice précédent on a λ = n st ]. Introduire une nouvelle variable ν et une nouvelle fonction Π(ν,t) en posant n = λ+λ 1/2 ν, P n (t) = Π(ν,t), où λ est supposé 1 et où l on anticipe que les fluctuations de n autour de sa moyenne seront d ordre λ 1/2. c. Quels sont les sauts de ν? Éliminer k 2 en faveur de λ et développer l équation maîtresse pour λ 1 à k 0 fixe. Trouver une équation de Fokker Planck pour Π(ν, t). d. Établir l équation de Langevin équivalente pour ν(t) et la comparer à l équation de Langevin du d f de l exercice précédent. Faire tous les commentaires utiles. 4. Un modèle XY désordonné On considère un modèle XY à désordre gelé sur un réseau carré en deux dimensions. Un site du réseau est indiqué par une paire de coordonnées r = (x,y), où x et y sont des entiers. Le hamiltonien du modèle est H = J x,y cos(φ x,y φ x 1,y ǫ h x) J x,y cos(φ x,y φ x,y 1 ǫ v y) (3) Ici les variables ǫ h x (une pour chaque colonne) et ǫv y (une pour chaque ligne) représentent le désordre gelé. On les prendra indépendantes et identiquement distribuées selon la loi gaussienne p(ǫ) = 1 2πσ 2 e ǫ2 /(2σ 2). a. Faire une figure montrant comment les ǫ h x et ǫ v y sont associés aux liens horizontaux et verticaux du réseau. b. Ce modèle désordonné est-il frustré? Indiquer quel est son état fondamental. c. Du fait du désordre, la fonction de corrélation g( r) cos(φ r φ 0 ) est un objet aléatoire. On dénotera par g( r) sa moyenne sur le désordre. Calculer g( r) à la température T = 0. Quel est le comportement de cette grandeur pour r? 4

5 d. Par continuité, à quel comportement asymptotique de g( r) vous attendez-vous pour une température très faible mais non nulle? Comparer celui-ci avec la décroissance aux grands r que vous connaissez dans le modèle XY pur (= non désordonné). M. Rubinstein et collaborateurs ont étudié un modèle XY désordonné plus compliqué que celui de l équation (3), mais qui a le même comportement basse température. Pour leur modèle ils ont trouvé dans le plan K 1 y le diagramme de flot de renormalisation montré sur la figure 1 ci-dessous, où σ est un paramètre fixe qui, comme avant, caractérise l importance du désordre. Les deux constantes K ± dépendent de σ selon K 1 ± = π 4[ 1 ± (1 8σ/π) 1/2 ], alors que K 1 est défini par la trajectoire (un peu plus grasse) du flot qui le relie à K 1 +. Figure 1: Flot de renormalisationdans le plan K 1 y d un modèle XY désordonné (la ligne verticale indique la limite de validité des équations). Figure d après M. Rubinstein, B. Shraiman et D.R. Nelson, Phys. Rev. B 27 (1983) e. Décrire qualitativement comment la nature(isolant, conducteur) d un système physique (le pointillé sur la figure) change quand sa température varie de T = 0 à T =. On parle d un système à transition réentrante. f. Que se passe-t-il quand σ π/8? Faire des hypothèses raisonnables sur l évolution du diagramme de flot en fonction de σ. Identifier l existence d une valeur critique σ = σ c dans le système physique. L interpréter. 5