TRAVAUX DIRIGÉS DE M 3

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1 Travau Dirigés 3 Correction PCSI TRVUX DIRIGÉS DE 3 Eercice 1 : Tir vertical Un obus est lancé depuis le sol, selon la verticale ascendante avec une vitesse initial v 0 = v 0. e. Quelle altitude maimale H va-t-il atteindre? n utilisera une méthode énergétique et on négligera les frottements. n a affaire ici à un problème à un degré de liberté : l altitude du projectile. Une méthode énergétique semble donc plus indiquée que l utilisation de la seconde loi de Newton (on principe fondamental de la dnamique) qui conduirait à une équation horaire (t), il faudrait ensuite déterminer t 1 l instant auquel la vitesse s annule en résolvant v(t = t 1 ) = 0 puis on calculerait H = (t 1 ). Considérons le sstème { } dans le référentiel lié au sol et considéré comme galiléen. À t = 0, v = v 0 le projectile monte ensuite jusqu à l altitude H pour laquelle sa vitesse s annule à l instant t 1, il redescend ensuite. La seule force appliquée au sstème est son poids. Par application du théorème de l énergie cinétique entre t = 0 et t 1, on peut écrire E c = W() E c (t 1 ) E c (0) = mv2 0 = mg. = mg(h 0) < 0 (le poids est constant et s oppose au déplacement). = H v f = 0 = 0 n en déduit 1 2.mv2 0 = mgh H = v2 0 2g Comme le poids est une force conservative, on peut également utiliser le théorème de l énergie mécanique. Ici, entre t = 0 et t 1, on a E m = W nc = 0 le travail des forces non conservatives. En posant E p = E p,pes nulle au niveau du sol (pour = 0), on a E m (t = 0) = 1 2 mv = E m (t 1 ) = 0 + mgh H = v2 0 2g également. v v 0 Sol Eercice 2 : Pendule simple n considère le pendule simple représenté ci-contre. Le point matériel se déplace dans le plan vertical. Déterminer, par utilisation du théorème de la puissance mécanique, l équation différentielle à laquelle obéit l angle. n considérera des frottements linéaires du tpe f = α v où v est la vitesse de dans le référentiel lié au sol et considéré comme galiléen. n a affaire ici à un problème à un degré de liberté : l angle entre la verticale et le fil. L énoncé nous impose l utilisation du théorème de la puissance mécanique : dem = P dt nc. n calcule donc l énergie mécanique E m en fonction du paramètre et ses dérivées puis la puissance des forces non conservatives P nc. Énergie mécanique du sstème { point matériel } soumis : à son poids, force conservative qui dérive de E p,pes = mg + Cte. Si on choisit E p () = 0 pour = l, E p = mg(l ) avec = l cos d où E p,pes, = mgl(1 cos ) ; à la tension du fil T non conservative mais perpendiculaire au mouvement ; f T l l v 1

2 Travau Dirigés 3 Correction PCSI à la force de frottement f = α v non conservative. n en déduit E p = E p,pes = mgl(1 cos ). n a ensuite E c = 1 2 mv2 avec v = l. e d où v 2 = l 2 2 et E c = 1 2 ml2 2. L énergie mécanique est donc E m = E c + E p = 1 2 ml2 2 + mgl(1 cos ) de m dt = ml 2 + mgl sin Puissance des forces non conservatives : P nc = P( T) + P( f) = 0 + f. v = α.v 2 = αl 2 2. Par application du théorème de la puissance mécanique, de m dt = P nc ml 2 +mgl sin = αl g l sin + α m = 0 ou la solution triviale = 0. Eercice 3 : Sstème masse + ressort : discussion graphique n accroche un point matériel de masse m au bout d un ressort situé sur un plan incliné faisant un angle α avec l horiontale. n prendra le point = 0 comme origine de l énergie potentielle de pesanteur et on supposera l absence de tout frottement. n donne m = 200 g, l 0 = 30 cm, k = 10 N.m 1, g = 10 m.s 2 et α = Donner l epression de l énergie potentielle E p de en fonction des données et de. Tracer la courbe E p (). 2. n lâche en = 20 cm avec une vitesse vers le bas de 1 m.s 1. En utilisant le graphe précédent, que peut-on dire du mouvement de? 3. À quelle abscisse s immobilisera si les frottements ne sont pas tout à fait nuls? α 1. Pour déterminer l énergie potentielle E p du point matériel, il faut faire le bilan des forces qui lui sont appliquées, déterminer celles qui sont conservatives puis eprimer E p () où est le paramètre. Bilan des forces : Le poids = m dérive de l énergie potentielle E p,pes = ±mg. + Cte = +mg avec = sin α d après la figure ci-dessous. La réaction du support R = N car pas de frottements, normale au déplacement. N ne dérive d aucune énergie potentielle mais ne travaille pas. La force de rappel du ressort qui dérive de E p,éla = 1 2 k(l l 0) 2 = 1 2 k( l 0) 2. n en déduit E p () = mg sin α k( l 0) 2 et en passant à l application numérique, E p () = 5( 0.3) 2 J en eprimant en m. = sin α F R α E p () (J) (m) 2

3 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Comme le travail des forces non conservatives est nul, on a conservation de l énergie mécanique E m = W nc = W( R) = 0. r E m = E c + E p () avec E c = 1 2 mv2 0 d où E p () E m pour tout ce qui nous permet d effectuer une discussion graphique. À l aide des conditions initiales, on calcule E m = Cte = E m (0) = 1 2 mv k( 0 l 0 ) 2 mg 0 sin α = 0,05 J. n remarque sur le graphe que pour E m = 0,05 J, la condition E p () E m n est vérifiée que pour 15 cm 65 cm : oscillations entre ces deu valeurs etrêmes, état lié. 3. Si on considère des frottements, l énergie mécanique du sstème va diminuer (conversion de l énergie mécanique en énergie thermique) jusqu à l immobilisation au fond du puits de potentiel (position d équilibre stable quand E c = 0), c est à dire en = 40 cm. 3

4 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Eercice 4 : u tri postal n étudie un convoeur à colis présent dans v un centre de tri postal. Les colis sont déchargés par un tapis roulant à la vitesse v = 0,5 m.s 1, ils glissent ensuite sur un plan incliné d angle α par rapport à h = 2 m α v B l horiontale. B Le cœfficient de frottement solide entre les colis et le plan incliné est f = 0,4. Ils sont ensuite pris en charge au niveau du point B par un nouveau tapis roulant qui avance à la vitesse v B = 0,2 m.s 1. Déterminer l epression puis la valeur de α pour que le convoeur fonctionne correctement, c est à dire pour que les colis arrivent en B avec la vitesse du deuième tapis roulant. n rappelle que suivant les lois de Coulomb sur les frottement solides, lors du glissement, T = f.n où T et N sont respectivement les normes de la réaction tangentielle et normale du support. Comme on a à faire intervenir la vitesse en et en B, le théorème de l énergie cinétique appliqué entre ces deu points doit être la méthode à privilégier ici. n choisit { un paquet modélisé par un point matériel } comme sstème. Le référentiel est celui lié au sol et considéré comme galiléen. Les forces appliquées sur le paquet sont les suivantes : v h = 2 m le poids qui dérive de l énergie potentielle de pesanteur E p,pes = ±mg. + Cte. Son travail entre et B est donc W() = E p,pes = +mg( B ) = +mgh > 0 : il favorise le mouvement. la réaction R = T + N non conservative. Le travail de N est nul car N est normale au déplacement. Le travail de T est W( T) = B δw( T) avec δw( T) = T.d r où T = T. e et d r = d. e le déplacement élémentaire. n en déduit δw( T) = T.d = fnd d après la loi de Coulomb. Pour aller plus loin, il nous faut calculer N. Une méthode énergétique n est plus adaptée car N ne travaille pas. Par projection du principe fondamental de la dnamique selon normal au déplacement, on a mÿ = 0 = N mg cos α d où N = mg cos α. n en déduit enfin δw( T) = T.d = fnd = fmg(cos α)d et W( T) = B fmg cos αd = fmg cos α( B ) = fmgl cos α où L est la longueur du plan incliné. Comme sin α = h L = L déplacement. h, on a finalement W( T) = W( R) = fmgh sin α tan α ppliquons maintenant le théorème de l énergie cinétique entre les points et B. E c = W()+W( R) 1 2 m(v2 B v 2 ) = mgh fmgh tan α tan α = T N α B v B < 0 : s oppose au 2fgh 0,398 α 21,7 ř v 2 vb 2 + 2gh 4

5 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Eercice 5 : olécule HCl Une molécule HCl est modélisée par deu atomes : H et Cl, séparés par une distance r sur un ae supposé fie dans le référentiel galiléen R g d origine Cl. L atome H, assimilé à un point matériel de masse m = 1, kg est en mouvement dans R g sous l action de forces dérivant d une énergie potentielle E p = C r 12 K r avec C = 1, J.m 12 et K = 92, J.m 1. Tracer l allure de E p (r) et indiquer, puis calculer la position d équilibre r 0. Discuter la stabilité de la position d équilibre r Quelle est l énergie de dissociation de la molécule HCl? 3. Déterminer la fréquence des petites oscillations autour de la position d équilibre. 1. dep dr = 12C r 13 + K r 2 = 0 si r = r 0 = (12C/K) 1/11 126, m et ( d2 E p dr 2 ) r0 495,5 J.m 2 > 0 donc l équilibre est stable. 2. E d = 0 E p (r 0 ) J 4,16 ev. 3. En posant k = ( d2 E p dr 2 ) r0, ω 2 = k/m et T 0 = 2π/ω H (domaine IR). Eercice 6 : Esquimau sur son igloo Un esquimau, assimilable à un point matériel de masse m décide de faire du toboggan. Il s abandonne sans vitesse initiale du sommet de son igloo assimilable à une demi sphère S de raon R et de centre posée sur un plan Π. n considère que le glissement s effectue sans frottement. 1. À la suite d un déséquilibre infinitésimal, se met en mouvement en restant dans le plan vertical. n admet que, dans la phase (1) de son mouvement, reste en contact avec S, S sa position est repérée par l angle = (, ). R Déterminer la vitesse de en fonction de, g et R. 2. Eprimer N la norme de N la réaction de S sur en fonction de m, g et. 3. En déduire la valeur 0 de pour laquelle n est plus en contact avec S (phase (2) du mouvement de ) et v 0 la valeur correspondante de v, la vitesse de. 4. Quelle est la forme de la trajectoire ultérieure de? n affaire ici à un sstème à un degré de liberté :. n choisit { } pour sstème et on travaille dans le référentiel galiléen lié au sol. Π 5

6 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Pour déterminer la relation qui lie la vitesse v de au paramètre, on peut utiliser le théorème de l énergie cinétique ou celui de l énergie mécanique. Les forces appliquées à sont : Son poids = m qui dérive de l énergie potentielle E p,pes = ±mg + Cte = +mg ici si on la considère nulle en = 0. La réaction de S, R = N normale au déplacement, non conservative mais ne travaille pas. Le théorème de l énergie mécanique implique E m = W nc = 0 le travail des forces non conservatives. n a donc à tout instant E m = Cte et en particulier entre l instant initial (v 0 = 0, 0 = R) et un instant t quelconque (v, = R cos ) E m = 1 2 m.v2 0 + mg 0 = 1 2 mv2 + mg 0 + mgr = 1 2 mv2 + mgr cos v = 2gR(1 cos ). 2. Comme le travail de N est nul, on ne peut plus utiliser de méthode énergétique. Vu le tpe de mouvement, on travaille maintenant dans la base polaire ( e r ; e ). Par application du principe fondamental de la dnamique (PFD), m a = + N avec a l accélération de. Dans la base polaire, = R. e r v = R. e et a = R. e R. 2. e r = R. e v2. e R r, N = N. e r et = mg cos e r + mg sin e. Par projection du PFD selon e r, on obtient m v2 v2 = N mg cos N = mg cos m. R R En reportant v = 2gR(1 cos ), on obtient N = mg cos 2mg(1 cos ) = mg(3 cos 2). 3. n considère qu il n a plus de contact entre S et lorsque N s annule, c est à dire pour = 0 tel que 0 = mg(3 cos 0 2) cos 0 = = suit ensuite une trajectoire parabolique (chute libre avec vitesse initiale non nulle). Eercice 7 : Particule guidée soumise à son poids et à une force de rappel Un point, de masse m, est mobile sans frottement sur un cercle C de centre Ω et de raon a contenu dans un plan vertical. En plus de son poids, il est soumis de la part du point le plus bas du cercle à une force de rappel F = k.. n suppose que reste toujours en contact avec C. 1. Eprime l énergie totale E m de en fonction de,, m, a, g et k. 2. Quelle doit être la vitesse v 0 de passage au point 0 pour F que le mobile atteigne le point C avec une vitesse nulle? n a affaire à une sstème à un degré de liberté :. n eprimera donc les énergies demandées en fonction de et ses dérivées. n remarque que F s apparente à une force de rappel élastique. Le ressort équivalent a alors une constante de raideur k et une longueur à vide nulle. S C R C H a Ω er N e Π 0 6

7 Travau Dirigés 3 Correction PCSI L énergie mécanique de est E m = E c + E p. E c = 1 2 mv2 et comme se déplace suivant une trajectoire circulaire, v = a. d où E c = 1 2 ma2 2. Pour déterminer E p, on doit faire l inventaire des forces conservatives : Le poids dérive de E p,pes = ±mg + Cte = +mg ici en choisissant l origine des énergies potentielles en. En nommant H le projeté de sur, on a = H = Ω + ΩH = a + a sin = a(1 + sin ) d où E p,pes = mga(1 + sin ). La force de rappel F qui de E p,éla = 1 2 k(l l 0) 2 = 1 2 k.2 ici. En appliquant le théorème de Pthagore dans H, on peut écrire 2 = H 2 +H 2 = a 2 (1 + sin ) 2 + a 2 cos 2 = a 2 + 2a 2 sin + a 2 sin 2 + a 2 cos 2 = 2a 2 (1 + sin ). n en déduit E p,éla = ka 2 (1 + sin ). Finalement, E m = 1 2 ma2 2 + mga(1 + sin ) + ka 2 (1 + sin ). 2. Comme la seule force non conservative R ne travaille pas (elle est normale au déplacement car il n a pas de frottement), par utilisation du théorème de l énergie mécanique, E m = W nc = W( R) = 0. n a donc conservation de l énergie mécanique et pour que atteint C ( = π ) avec une vitesse 2 nulle ( = 0), son énergie mécanique doit être E m (C) = E m ( = π; = 0) = 0 + mga(1 + sin π) ka 2 (1 + sin π) = 2mga + 2 2ka2. r, en ( = 0), on aura v = v 0 telle que E m () = 1 2 mv2 0 +mga(1+0)+ka2 (1+0) = 1 2 mv2 0 +mga+ka2 et par conservation de l énergie mécanique, E m () = E m (C) 1 2 mv2 0 +mga+ka2 = 2mga+2ka 2 v 0 = 2ga + 2ka2. m C C H a Ω F R 0 Eercice 8 : Bifurcation : discussion graphique Un point matériel de masse m situé en se déplace sans frottement le long d un ae horiontal. Il est lié par l intermédiaire d un ressort de longueur à vide l 0 et de constante de raideur k, à un point situé à la verticale de tel que = d. n note l la longueur du ressort. Déterminer et tracer E p () l énergie potentielle du point dans le cas d l 0 puis et d < l 0. En déduire les positions d équilibre eq et leur stabilité. d Nous avons affaire à un sstème à un degré de liberté :. L énoncé impose d ailleurs d utiliser des méthodes énergétiques. Pour déterminer l énergie potentielle de, on commence par faire l inventaire des forces qui lui sont appliquées. 7

8 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Le poids qui est une force conservative qui dérive de E p,pes = ±mg + Cte = +mg ici. ais comme il n a pas de déplacement vertical, E p,pes = Cte = 0. La force de rappel élastique F qui dérive de l énergie potentielle E p,éla = 1 2 k(l l 0) 2 avec ici d après le théorème de Pthagore, l = d La réaction de l ae sur. C est une force non conservative mais comme l énoncé précise qu il n a pas de frottement, R = N est normale au déplacement et ne travaille pas. Finalement, E p () = E p,éla = 1 2 k( d l 0 ) 2 fonction de représentée ci-dessous (une rapide étude de fonction peut être nécessaire) : E p () 0 pour tout. Si ±, E p () 1 2 k2 fonction parabolique qui tend vers +. Si d l 0, E p () ne s annule jamais et atteint son minimum, 1k(d l 2 0) 2 > 0 en = 0. Si d l 0, E p () s annule en = ± l0 2 d 2 (minimum de E p ()). E p () d E p () F R d l 0 d l 0 1 k(d l 2 0) 2 l0 2 d k(d l 0) 2 l 2 0 d 2 Graphiquement on remarque donc que : Si d l 0, la seule position d équilibre correspond à = 0, c est un équilibre stable. Le ressort est alors étendu : l = d > l 0. Si d l 0, il eiste deu positions d équilibre stables, = ± l0 2 d 2. Elles correspondent à l = l 0, de part et d autre de. Si on fie = 0, le ressort prend la longueur l = d < l 0, il est comprimé mais la résultante des forces est nulle. L équilibre est alors instable. Eercice 9 : Dans les rues de San Francisco Une voiture, assimilée à son centre de masse circule à la vitesse v 0 constante sur une route horiontale. Elle aborde en une descente modélisée par un arc de cercle de raon R de d angle α suivie d une partie rectiligne. Le conducteur se place au point mort (force motrice nulle) et on néglige les frottements. R α À quelle condition sur R N la composante normale de la réaction de la route, la voiture va-t-elle quitter la route? 8

9 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Cela va-t-il se produire? Si oui, à quel endroit ( 0 ). Quelle sera alors la vitesse de la voiture? n donne : R = 100 m, g = 9,8 m.s 1, v 0 = 90 km.h 1 et α = 40. R N = 0 pour cos 0 = v2 0 3gR = 0,88 soit 0 = 28ř < α donc oui, la voiture quittera la route. n aura alors v =? km.h 1. Eercice 10 : Compression d un ressort n lâche sans vitesse initiale, de la position = i une masse sur une glissière inclinée d un angle α avec l horiontal. Le mouvement se fait sans frottement. La masse comprime ensuite un ressort sans masse, de longueur à vide 0 et constante de raideur k fié en. Déterminer de quelle longueur maimale se comprime le ressort lors de la phase d écrasement. 0 α = mg sin α [ k 0 i ]. k mg sin α Eercice 11 : ontagnes Russes Une particule matérielle de masse m est déposée au point 0 d altitude h sur un plan incliné. 1. La particule parvient-elle au point 1 d altitude h > h en supposant qu elle glisse sans frottement sur le plan? 2. Le point matériel est maintenant lié à un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos l 0. h Le ressort est comprimé jusqu à la longueur l puis bloqué, la particule est alors en 0. n libère le ressort. Le trajet est parfaitement glissant. Déterminer h la longueur l du ressort pour que la particule atteigne 1 avec une vitesse nulle. la vitesse de cette particule en 2. la distance d arrêt d = 2 3, sachant qu à partir de 2 interviennent des forces de glissement de cœfficient f. 1. Non. 2. l = l 0 + 2mg k (h h) ; v 2 = 2gh et d = h f. Eercice 12 : ouvement d un point matériel sur un cercle. Une particule matérielle, de masse m, placée dans dans le champ de pesanteur, peut se déplacer sans frottement sur la face intérieure d un cercle vertical C de raon R. n lance cette particule avec la vitesse horiontale v 0 au point le plus bas du cercle :. 9

10 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Lorsque, au cours du mouvement, la particule est en contact avec C, elle est soumise à une force de réaction N de la part de celui-ci. ontrer que la valeur de cette réaction, au point du cercle peut être eprimée sous la forme N = m[ v2 0 R + g(3 cos 2)] où = (, ). 2. ontrer que la particule reste en contact avec C pendant tout son mouvement, lorsque la vitesse initiale est supérieure à une valeur v 0,min que l on déterminera. N : R = 2,00 m, g = 9,80 m.s 2, m = 5,00 g. 3. ontrer que, pour d autres valeurs de v, la particule peut, au cours de son mouvement, quitter C. N : v 0 = 9,00 m.s 1. v 0 R 1. TEC + PFD. 2. N > 0 v > v min = 5gR 9,9 m.s Décollage pour cos = 2 3 v2 3gR 0,71 : 135. Eercice 13 : Travail d une force, énergie potentielle Soit la force F = k r 3 (2 cos e r + sin e ) dans la base polaire ( e r, e ). 1. Calculer le travail W de cette force pour un déplacement circulaire de raon R et sur un demi-tour en sens direct : = 0 π. 2. ontrer que la force dérive d une énergie potentielle que l on déterminera. Vérifier alors le résultat de la première question. 1. W = 2k R E p = k r 2 cos + Cte, W = E p. Eercice 14 : scillateur amorti par frottements solides n considère le point de masse m, mobile sur l ae. Il subit l action de son poids, de R, de F = k e et de f = εµr e avec ε = ±1 selon le sens du mouvement. 1. La particule est abandonnée sans vitesse initiale en = a 0 > 0. Quelle est la valeur minimale a c de a 0 permettant le mouvement? 2. Cette condition étant remplie, résoudre l équation différentielle du mouvement et déterminer l instant t 1 où F T l équation cesse d être valable. Calculer l élongation correspondante a Quelle est la nouvelle condition de démarrage de l oscillateur e 0 l l 0? Quelle est la nouvelle équation du mouvement? Déterminer l instant t 2 et 2 au moment où l équation cesse d être valable. 4. Tracer l allure de (t) dans le cas particulier où a 0 = 10f k. La force f dérive-t-elle d une énergie potentielle? 1. a 0 > µmg = a k c. 2. = a c + (a 0 a c ) cos ω 0 t avec ω0 2 = k, t m 1 = π ω 0, a 1 = 2a c a 0 3. a 0 > 3a c et = a c + (a 0 3a c ) cos ω 0 t, t 2 = 2t 1 et 2 = a 0 4a c. 4. scillations d amplitude décroissant linéairement jusqu à a 5 puis arrêt : 2,5 oscillations. Eercice 15 : scillateur non linéaire 10 N

11 Travau Dirigés 3 Correction PCSI Déterminer la période t 0 des petites oscillations d un point matériel de masse m, assujetti à se déplacer sans frottement sur la droite horiontale sous l action d un ressort (k,l 0 ) dont l autre etrémité est fiér en de côte a > l Discuter le cas a l Tracer l allure du portrait de phase si a > l 0 puis a l 0. a Eercice 16 : Suspension d une voiture 1. La suspension d une voiture de masse à vide = 600 kg est modélisée par un unique ressort de raideur k. n constate que les roues, dont on néglige les masses, quittent le sol si on soulève la caisse de la voiture de h = 30 cm. En déduire la raideur k du ressort, l équation différentielle du mouvement vertical et la période T 0 des oscillations verticales de la voiture à vide. 2. Que devient la période précédente avec 4 passagers à bord (masse supplémentaire m = 300 kg) : T n ajoute à la suspension précédente un amortisseur qui produit la force f = b v. À vide, le régime d amortissement est critique. Écrire l équation différentielle du mouvement vertical et déterminer b. 4. Lorsque la voiture contient les 4 passagers, quelle est l équation différentielle du mouvement vertical et la pseudo période T, la comparer à T k = g = N, + k = g et T h 0 = 2π ω 0 avec ω0 2 = k T 0 = 1,09 s, = h+a sin(ω 0 t+ϕ). 2. T 0 2π = +m > T k 0 1,33 s 3. + b ż+ k = g, b = 2 k = 6930 N.s.m 1 et = h+(+bt) ep( b t) mż b + k 4k = g, = < 0, ω = k +m et = g + ep( b t) cos(ωt + ϕ), +m (+m) 2 +m k 2(+m) T = 2π +m km = 2,3 s. T = 1 + = 3. T 0 m 11