1.1 Valeurs propres et vecteurs propres Classification des points fixes... 2

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1 Plan du cours Plan 1. Introduction-Définitions. Notions générales sur la stabilité 3. Système dynamique unidimensionnel 4. Système dynamique bidimensionnel 5. Système à plus de deux dimensions Chaos Plan du chapitre Table des matières 1 Analyse linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Classification des points fixes Dynamique qualitative 3.1 Définitions Dynamique asymptotique Effets des termes non linéaires Bifurcation de Hopf Bifurcations globales de cycles Systèmes conservatifs Systèmes hamiltoniens Pendule Pendule amorti Oscillations nonlinéaires Existence/non existence d orbite fermée Oscillateurs non linéaires Oscillateurs faiblement non linéaires Analyse linéaire 1.1 Valeurs propres et vecteurs propres Stabilité linéaire Linéarisons le système bidimensionnel : ( ) ( ẋ1 f1 (x = 1, x ) ẋ f (x 1, x ) ) autour d un point fixe x e : ( ) η1 = η ( ) f1 x 1 x e ( ) f x 1 x e ( ) f1 x x e ( ) f x x e ( η1 η ) La stabilité linéaire est donnée par l étude de la matrice jacobienne notera L l opérateur linéaire et L la matrice jacobienne. ( fi x i. Dans la suite on )i,j

2 1. Classification des points fixes Valeurs propres La stabilité du point fixe dépend des valeurs propres de L. Elles sont solutions de det (L λi) = 0 Comme L est un opérateur réel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjuguées et leurs modes propres associés complexes conjugués. La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice jacobienne et le produit à son déterminant. Classification Illustration

3 Dynamique qualitative.1 Définitions Portrait de phase Unicité d une trajectoire. Les trajectoires ne se coupent jamais. Tracer les nullclines aident a décrire la dynamique Tracer les variétés stables, trajectoire atteignant un point stable à t = 0 décrite pourt et les variétés instables, trajectoire rejoignant un point stable à t = 0 décrite pourt et les Ensembles limite et attracteurs On s intéresse au régime permanent atteint après extinction du régime transitoire. Un point est dit non errant si les trajectoires initialisée dans son voisinage y reviennent. L ensemble des points non errants pris en t ± forme un ensemble limite. On définit l entrant (le sortant) d un ensemble limite comme étant l ensemble des points qui s accumulent sur lui pour t (t ). Si un ensemble limite contient son sortant alors c est un attracteur. Son entrant, si non vide, est alors le bassin d attraction.. Dynamique asymptotique Dynamique asymptotique 3

4 En deux dimensions, les ensembles non-errants qui décrivent la dynamique asymptotique sont limités : les points fixes les cycles limites les connexions-cols (boucles homoclines ou hétéroclines) 3 Effets des termes non linéaires Bifurcations Il y a bifurcation si la partie réelle d une valeur propre traverse l axe des ordonnées, i.e. devient positive. En dimension deux, les valeurs propres sont soit toutes les deux réelles, soit complexes conjuguées. Le cas des valeurs propres réelles distinctes se ramène au cas à une dimension car une des deux valeurs réelles restera négative. Dans le cas des valeurs propres réelles complexes conjuguées qui traversent simultanément l axe des ordonnées, on a une bifurcation de Hopf. 3.1 Bifurcation de Hopf Bifurcation de Hopf supercritique La forme normale est : que l on peut mettre sous forme complexe : ẋ 1 = σx 1 + ωx (g 1x 1 + g 1 x ) ( x 1 + x ) +..., ẋ = ωx 1 + σx ( g 1 x 1 + g 1x ) ( x 1 + x ) +..., z = x 1 + i x, g 1 = g 1 + i g 1, ż = (σ iω) z g 1 z z. En notant z(t) = ρ(t) e i φ(t), il vient : ρ = σ ρ g ρ 3, φ = ω g ρ. Si g > 0, c est une bifurcation de Hopf supercritique. 4

5 Cycle limite La bifurcation de Hopf supercritique déstabilise un point fixe en un cycle limite. L amplitude des oscillations varie comme la racine carrée de l écart au seuil µ 1/ (r r c ) 1/. La période des oscillations à la bifurcation est celle donnée par la partie imaginaire de la valeur propre au seuil + termes µ. Bifurcation de Hopf sous-critique ρ = σ ρ g ρ 3, φ = ω g ρ. Si g < 0, il manque des termes nonlinéaires d ordre plus élevé nécessaires à la saturation de l instabilité. ρ = σ ρ g ρ 3 g 5 ρ 5, φ = ω g ρ. La bifurcation est souscritique. On passe d un point fixe + cycle limite instable + cycle limite stable à un seul cycle limite stable. 3. Bifurcations globales de cycles Bifurcation noeud-col d un cycle ρ = rρ + ρ 3 ρ 5, φ = ω + bρ. r < r c r = r c 0 > r > r c Pour r < r c = 1/4, un point fixe stable. Pour r = r c, Un point fixe stable + un cycle limite semi-stable. Pour r > r c = 1/4, un point fixe stable et coexistence de cycles limites stable et instable. 5

6 Bifurcation de période infinie Considérons le système suivant : ρ = ρ(1 ρ ), φ = r sin φ. r > 1 r < 1 Pour r > 1, présence d un cycle limite stable. Pour r = 1, La période du cycle limite devient infinie T (r r c ) 1/ avec la présence d un point semi-stable. Apparition d un couple de points fixes stable/instable. Bifurcation homocline Peut être en TP. Stabilité structurelle Théorème de Peixoto : Seuls sont structurellement stables (robustes) les points fixes et cycles limites non marginaux. Les boucles homoclines, hétéroclines sont structurellement instables 4 Systèmes conservatifs 4.1 Systèmes hamiltoniens Systèmes mécaniques Généralement les systèmes mécaniques conservatifs peuvent se mettre sous une forme hamiltonienne. À deux dimensions on a alors : ( ) ( d p H q =, ) H, dt q p où H = H(p, q) est le hamiltonien du système. Le hamiltonien est un invariant du système. En physique, le hamiltonien est souvent l énergie du système. Advection Pour un écoulement incompressible bidimensionnel : divu = u = 0 = u = y ψ, v = x ψ, où ψ est la fonction courant de l écoulement bidimensionnel. Autre exemple : la position d un point matériel advecté par l écoulement est régit par : ẋ = u = y ψ, ẏ = v = x ψ. 6

7 4. Pendule Équation du mouvement On considère un pendule de masse m, de longueur l dans le champ de gravité g. Le théorème du moment cinétique nous conduit à : θ + g l sin θ = 0 Pour des faibles amplitudes (approximation linéaire), le système se réduit à : θ + g l θ = 0 dont les solutions sont des fonctions harmoniques de période ω = g/l. Dans la suite, on adimensionne le temps par 1/ω et on se contentera d étudier : θ+ g l sin θ = 0. Formulation hamiltonienne Réécrivons θ + g l sin θ = 0 sous la forme : d dt ( θ ν ) ( = ν, sin θ Le système est donc hamiltonien pour H = ν cos θ. E = H est l énergie du système, c est un invariant. Les points fixes sont (θ, ν) = (kπ, 0). Pour le point fixe (0, 0) la matrice jacobienne vaut : ( ) 0 1, 1 0 Oscillations Dans la limite des petites oscillations au voisinage de (0, 0), E = 1 ν + 1 θ 1. On a des oscillations au voisinage du minimum d énergie. Leur rayon dans l espace des phase vaut ν + θ = (E + 1). C est un cas particulier d un théorème plus général qui dit qu autour d un point fixe isolé correspondant à un minimum local d une quantité conservée, toutes les trajectoires sont fermées. Le fait de parler d un voisinage n implique pas que l on soit dans une dynamique linéaire!! Stabilité structurelle Lorsque l on perturbe de façon conservative un système dynamique conservatif, ses centres sont structurellement stables. Le fait de rester conservatif est fondamental car sinon ce serait le théorème plus général de Peixoto qui s appliquerait et les centres ne seraient pas robustes (exemple du pendule amorti). 4.3 Pendule amorti voir reproductions ), 7

8 5 Oscillations nonlinéaires 5.1 Existence/non existence d orbite fermée Critère de non existence Système gradient : ẋ = V. Le long d une orbite fermée, la variation de V vaut : V = C V dl = 0 = T t 0 T V ẋdt = ẋ dt, t 0 donc l orbite fermée se réduit à un point fixe. Existence d une fonctionnelle de Lyapunov : s il existe une fonction définie positive qui décroît au cours du temps, alors le point où la fonction s annule est un point fixe stable et il n existe pas d orbite périodique. En pratique ces critères sont peu exploitables. Existence d orbite fermée : Théorème de Poincaré-Bendixon Supposons que 1. R est un domaine fermé borné du plan,. ẋ = f(x) est un champ de vecteur continûment différentiable dans un ouvert contenant R, 3. R ne contient aucun point fixe, 4. et il existe un trajectoire C confinée dans R (qui se trouve dans R à l instant initial et y reste jusqu à t +, alors C est une orbite fermée, ou C va converger vers une orbite fermée (ne se réduisant pas à un point fixe). Le théorème de Poincaré-Bendixon ne concerne que la dynamique dans le plan. C est un résultat théorique très important car il exclue tout phénomène chaotique dans le plan. 5. Oscillateurs non linéaires Systèmes de Liénard L équation différentielle du second ordre : ẍ + f(x)ẋ + g(x) = 0 est l équation de Liénard où g(x) joue le rôle d une force nonlinéaire de rappel. f(x)ẋ est une force d amortissement nonlinéaire. Théorème de Liénard Supposons que les fonctions f et g vérifient : f(x) et g(x) sont continûment différentiables pour tout x ; g( x) = g(x), g est un fonction impaire ; g(x) > 0 pour tout x > 0 ; f( x) = f(x), f est un fonction paire ; La fonction impaire F (x) = x 0 f(u)du exactement une seule racine positive x = a, est négative pour 0 < x < a, est positive and non décroissante pour x > a et F (x) quand x alors le système à un unique cycle limite autour de l origine dans l espace des phases. 8

9 Oscillations de relaxation Considérons l oscillateur de van der Pol : ẍ + µ(x 1)ẋ + x = 0. Pour µ > 0, on a un système de Liénard : on a donc des oscillations autour de l origine (point fixe instable). Dans le cas µ on a des oscillations de relaxation, successions de mouvements lents puis très rapides. Variation de µ 0.1, µ = 1, µ = 10. Solutions de l équation de van der Pol pour µ = Analyse de vdp On peut écrire : Pour : il vient : ẍ + µ(x 1)ẋ = d dt F (x) = x3 3 [ ( )] x 3 ẋ + µ 3 x. x, w = ẋ + µf (x), ẇ = ẍ + µ(x 1)ẋ = x. L oscillateur de van der Pol peut donc se réécrire : ẋ = w µf (x), ẇ = x. Prenons la limite µ > : ẋ = w µf (x), ẇ = x. 9

10 Afin de garder des variables d ordre 1 quand µ, posons w = µy. ẋ = µ [y F (x)], ẏ = 1 µ x. Au premier ordre en µ, La dynamique de x est rapide et consiste en une relaxation vers F 1 (y) tel que y = F (x), donc x(t) est asservi à y(t). La dynamique de y(t) est lente. y=f(x) rapide lent lent rapide Échelles de temps Dans ce problème on a donc deux échelles de temps : Échelle de temps rapide : dynamique de x(t) sur l échelle de temps O(µ 1 ) 1. Échelle de temps lente : dynamique de y(t) sur l échelle de temps O(µ) Oscillateurs faiblement non linéaires Définition et exemples On définit les oscillateurs faiblement nonlinéaires les systèmes décrit par des équations de la forme : ẍ + x + ɛh(x, ẋ) = 0, où h(x, ẋ) est un fonction suffisamment différentiable et ɛ 1 un petit paramètre. Les équations différent de celle de l oscillateur harmonique par un terme négligeable au premier ordre. Exemples d oscillateurs faiblement nonlinéaires : ẍ + x + ɛ(x 1)ẋ = 0, ẍ + x + ɛx 3 = 0, oscillateur de van der Pol, oscillateur de Duffing, Développements perturbatifs Considérons l oscillateur faiblement nonlinéaire suivant : dont on peut calculer la solution exacte : ẍ + ɛẋ + x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 1, x(t; ɛ) = e ɛt sin ( 1 ɛ t ). 1 ɛ 10

11 On va chercher un solution sous la forme d un développement en perturbations : x = x 0 (t) + ɛx 1 (t) + ɛ x (t) + ɛ 3 x 3 (t) +... Résolution ordre par ordre Ordre zéro : ẍ 0 + x 0 = 0, x 0 (0) = 0, x 0 (0) = 1, se résout : x 0 (t) = sin t Ordre 1 : ẍ 1 + x 1 + ẋ 0 = 0, x 1 (0) = 0, x 1 (0) = 0, ẍ 1 + x 1 = cos t, x 1 (0) = 0, x 1 (0) = 0, se résout en sommant une solution de l équation homogène avec une solution particulière (variation de la constante) : x h 1(t) = s 1 sin t + c 1 cos t, x p 1 (t) = S 1(t) sin t + C 1 (t) cos t, Finalement : x 1 = t sin t car le forçage est résonnant. Terme séculaire La solution à l ordre ɛ 1 vaut donc : x(t; ɛ) = sin t ɛt sin t + O(ɛ ). On retrouve bien le développement à l ordre 1 de la solution exacte : x(t; ɛ) = e ɛt sin ( 1 ɛ t ). 1 ɛ Du fait du forçage résonnant, la solution comporte un terme séculaire qui croît indéfiniment. La solution trouvée est le début d un développement en série convergent de la solution exacte. Pour t donné, il faut que ɛ soit assez petit pour que l approximation soit bonne. 3 solution exacte 1 x(t) 0 1 solution perturbative ɛ = t La solution est erronée dès que ɛt O(1). Il nous faudrait une série infinie pour corriger cette dérive. La véritable solution évolue en fait sur deux échelles de temps : une échelle de temps rapide : t = O(1), une échelle de temps lente : t = O(1/ɛ). 11

12 Développements en échelles (de temps) multiples Comment trouver une solution qui : Donne pour un ɛ 1 fixé une solution valable pour tout t, ne nécessite pas de calculer beaucoup (un infinité) de termes. En s aidant de l observation révélant la présence de deux échelles de temps, on introduit une dépendance explicite selon deux temps t = t 0 (temps rapide) et t = ɛ 1 t 1 (temps lent) : Par conséquent la dérivation en temps s écrit : x(t; ɛ) = x 0 (t 0, t 1 ) + ɛx 1 (t 0, t 1 ) + O(ɛ ) ẋ = dx dt = x t 0 t 0 t + x t 1 t 1 t = x t 0 + ɛ x t 1 Application au cas de l oscillateur amorti À l ordre zéro O(ɛ0 ) : t0t 0 x 0 + x 0 = 0, qui se résout en : x 0 = A(t 1 )e it0 + c.c., où A(t 1 ) est l amplitude complexe de l oscillation, constante sur le temps rapide t 0, mais dépend du temps lent t 1. À l ordre 1, O(ɛ1 ) : t0t 0 x 1 + x 1 = ( t0t 1 x 0 + t0 x 0 ). Élimination des résonances Explicitons l équation à résoudre sous forme d un oscillateur forcé par le second membre : t0t 0 x 1 + x 1 = ( t0t 1 x 0 + t0 x 0 ) = (i t1 A + ia) e it0 + c.c., Les termes proportionnels e it0 et e it0 peuvent être vu comme des forçages résonnants qui vont donc induire une réponse x 1 résonnante qui va diverger en temps t 0. Afin de pouvoir garder un développement cohérent, il est nécessaire que x 1 reste borné. On posera donc comme condition de solvabilité, l élimination des résonances qui se traduit par l équation d amplitude : i t1 A + ia = 0, qui se résout en : A(t 1 ) = a e t1 où a est une constante. Satisfaction des conditions initiales Les conditions initiales doivent être satisfaites à tous les ordres. La condition x(0) = 0 se traduit par : soit a + c.c. = 0. La condition ẋ = 1 se traduit par : x 0 (0) = 0, x 1 (0) = 0, t0 x 0 = 1, t1 x 0 + t0 x 1 = 0, soit : ia + c.c. = 1. Il vient a = i/ d où : x 0 = ieit0 t1 + c.c. = e t1 sin t 0 1

13 La solution approchée asymptotique (en opposition à convergente) vaut donc : x(t; ɛ) = e t1 sin t 0 + O(ɛ) = e ɛt sin t + O(ɛ) exact asympt ɛ = Oscillateur de Duffing L oscillateur de Duffing est un oscillateur nonlinéaire conservatif. En effet, il conserve l énergie : ẍ + x + ɛx 3 = 0, E = ẋ + x + ɛx4 4. On applique la méthode des développements asymptotiques multi-échelles en temps en cherchant une solution de la forme x(t; ɛ) = x 0 (t 0, t 1 ) + ɛx 1 (t 0, t 1 ) + O(ɛ ) À l ordre zéro O(ɛ0 ) : t0t 0 x 0 + x 0 = 0, qui se résout en : x 0 = A(t 1 )e it0 + c.c., où A(t 1 ) est l amplitude complexe de l oscillation, constante sur le temps rapide t 0, mais dépend du temps lent t 1. À l ordre 1, O(ɛ1 ) : t0t 0 x 1 + x 1 = ( t0t 1 x 0 + x 3 ) 0 [ (i t1 = Ae it0 + c.c. ) + ( Ae it0 + c.c. ) ] 3 = [( i t1 Ae it0 + c.c. ) + ( A 3 e 3it0 + 3A e it0 A e it0 + c.c. )] = [( i t1 Ae it0 + c.c. ) + ( A 3 e 3it0 + 3 A Ae it0 + c.c. )] Élimination des résonances nonlinéaires (Duffing) La condition de solvabilité se traduit par l élimination des résonances conduisant à l équation d amplitude : i t1 A + 3 A A = 0, soit t1 A = 3i A A. On résout l équation d amplitude A = Re iφ en séparant module et phase : ( t1 R + ir t1 φ) e iφ = 3i R3 e iφ En séparant partie réelle et partie imaginaire, il vient : t1 R = 0, t1 φ = 3 R. 13

14 Fréquence dépendant de l amplitude Le système : t1 R = 0, t1 φ = 3 R. se résout facilement :R = a = const., φ = 3 R t 1 + φ 0 = 3a 8 t 1 + φ 0. La solution générale au premier ordre est donc : et la solution approchée s écrit donc : x 0 (t 0, t 1 ) = a cos(t 0 + 3a 8 t 1 + φ 0 ), x(t; ɛ) = a cos(t + ɛ 3a 8 t + φ 0) + O(ɛ). On note que la fréquence croît avec l amplitude : l oscillateur de Duffing peut être vu comme un ressort dont la raideur k(x) = 1 + ɛx augmente avec l amplitude (contrairement au pendule). 14