Corrigé du contrôle Continu du Lundi 2 Mars Durée : 1h30

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1 UNIVERSITÉ de NICE - SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES - LM/MI Méthodes numériques et formelles 4-5 Corrigé du contrôle Continu du Lundi Mars 5 - Durée : h3 Les documents, calculatrices, téléphones ne sont pas autorisés Exercice : Méthodes itératives On étudie un modèle de dynamique de populations de poissons où x n désigne le nombre de proies et y n le nombre de prédateurs pour l année n Le système considéré s écrit alors { xn+ = x n + ax n bx n y n, avec a, b, c, d > y n+ = y n + cx n y n dy n, Ecrire ce système sous la forme X n+ = F X n, où X n = xn y n et calculer les deux points fixes de la fonction F L un des deux s exprime en fonction des paramètres a, b, c et d, on le notera x, ȳ x + ax bxy Ce système se réécrit sous la forme X n+ = F X n avec F x, y = y + cxy dy Les points fixes de F vérifient { x = x + a x b xȳ, ȳ = ȳ + c xȳ dȳ, ce qui se simplifie en { xa bȳ =, ȳc x d = Ce système admet donc deux solutions :, et x, ȳ = d c, a b Etudier la stabilité du point fixe, + a by bx + a On calcule DF x, y = et DF, = qui cy + cx d d admet pour rayon spectral ρdf, = max + a, d + a > car a > Le point fixe, est donc instable 3 Montrer que pour le deuxième point fixe, on a ρdf x, ȳ = + ad et que ce point fixe est instable bd On calcule DF x, ȳ = c ca qui admet pour valeurs propres ± i ad de module b + ad Donc ρdf x, ȳ = + ad > car a, d > et le point fixe x, ȳ est instable On rajoute un terme de pêche aux deux équations : { xn+ = x n + ax n bx n y n ex n, y n+ = y n + cx n y n dy n fy n,

2 avec e, f > 4 Comment est modifié le deuxième point fixe? Que peut-on dire alors de la stabilité des deux point fixes? Ce système se réécrit sous la forme X n+ = F X n avec F x, y = x + a ex bxy y + cxy d + fy Cette fonction F admet alors comme points fixes, et x, ȳ = d + f, a e et comme c b + a e by bx jacobienne DF x, y = cy + cx d + f + a e Pour le point fixe,, on trouve DF, = qui est stable d + f ssi max + a e, d + f <, c est-à-dire < e a < et d + f < bd+f Pour le point fixe x, ȳ, on trouve DF x, ȳ = c ca e qui a pour rayon b { + a ed + f > si a e >, spectral ρdf x, ȳ = max ± Ce point fixe a ed + f > si a e < reste donc instable quelle que soit la valeur de e Exercice : Décomposition LU d une matrice Question - Décomposition LU sur un exemple Calculer la décomposition LU de la matrice A = possible, puis résoudre le système Ax = b avec b = La première étape donne A = 4 4 / L L /L et L = L 3 L 3 + /L et L = La deuxième étape donne U = L 3 L 3 /L 6 On résout ensuite Ly = b pour obtenir y = 7 / On résout enfin Ux = y pour obtenir x =, si c est / / / / / Question - Calcul de la matrice L a En reprenant la décomposition LU de la matrice A ci-dessus, montrer que la première étape du calcul se réécrit sous la forme L A = A, où L = / /

3 La matrice L correspond aux opérations sur les lignes effectuées à l étape On a donc L A = 4 = A b Calculer l inverse de la matrice L On trouve L = / / c Montrerque la deuxième étape se réécrit sous la forme L A = U, où, et U est la matrice de la décomposition LU / L = La matrice L correspond aux opérations sur les lignes effectuées à l étape On a donc 4 = U / L A = d Calculer l inverse de la matrice L On trouve L = / e Calculer le produit L On trouve L L = L / / / Que remarquez vous?, qui est exactement la matrice L f Pour une matrice A quelconque, en déduire la forme de la matrice L vue en cours pour la décomposition LU, en justifiant votre réponse Soit une matrice A quelconque de taille n Notons A k la matrice obtenue à l issue de l étape k A l étape k, si est le pivot utilisé, les opérations sur les lignes reviennent à multiplier la matrice A k à gauche par une matrice L k de la forme L k = qui admet pour inverse L k = ; Ak k+,k A k k+,k Ak n,k A k n,k cette opération donne la matrice A k On a donc A k = L k A k et par récurrence, à la fin de l étape n, U = A n = L n L A Cette égalité se réécrit sous la forme A = L L n U, avec donc L = L L n A, p Or le produit L = L L n =, ce qui donne la forme A k k+,k p k A n, A k n,k p de la matrice L vue en cours 3

4 Question 3 - Inverse des matrice triangulaires 3a Calculer les solutions des systèmes Ly = b avec la matrice L calculée ci-dessus et b =,, puis La solution de Ly = b avec b = La solution de Ly = b avec b = La solution de Ly = b avec b = vaut y = vaut y = vaut y = / 3/4 / 3b En déduire l inverse de la matrice L, notée L Donc L = / 3/4 / 3c Généraliser la démarche précédente pour montrer que l inverse d une matrice triangulaire inférieure avec des sur la diagonale quelconque est également triangulaire inférieure avec des sur la diagonale On cherche à calculer l inverse de la matrice L, triangulaire inférieure avec des sur la diagonale La j-ème colonne de L est donnée par la résolution du système Lx = e j = Cette résolution se fait par une méthode de descente et on montre facilement que la première équation s écrit x = Si on suppose par récurrence que x = = x i =, i avec i j, la i-ème équation L i,j x j = se résume à x i = Donc x i = pour j= i j La j-ème équation s écrit alors, de même, L j,j x j = avec L j,j =, ce qui donne x j = En conclusion, la j-ème colonne de L est du type et la matrice L est bien triangulaire inférieure avec des sur la diagonale 3d Que peut-on dire de l inverse d une matrice triangulaire supérieure? De la même manière, en utilisant une méthode de remontée, on en déduit que l inverse d une matrice triangulaire supérieure est également triangulaire supérieure 4

5 Question 4 - Unicité de la décomposition LU On cherche à montrer que la décomposition LU d une matrice est unique 4a Rappeler le théorème de décomposition LU vu en cours, en étant précis sur les propriétés des matrices L et U On suppose que la matrice A est telle que toutes ses sous-matrices en haut à gauche de taille k, pour k n, sont inversibles Alors il existe une unique paire de matrices L, U avec L triangulaire inférieure avec des sur la diagonale et U triangulaire supérieure telles que A = LU On suppose qu il existe deux décompositions LU d une même matrice A = L U = L U 4b Montrer alors que L L = U U ; on note B cette matrice Donner toutes les propriétés de la matrice B, en utilisant la question 3 En déduire que B est l identité Si A = L U = L U, on peut réécrire cette relation comme L L = U U = B Comme L et L sont triangulaires inférieures avec des sur la diagonale, d après la question 3c, le produit L L est également triangulaire inférieure avec des sur la diagonale De même, le produit U U est triangulaire supérieure, d après la question 3d Il n y a qu une seule matrice qui soit triangulaire supérieure, triangulaire inférieure et avec des sur la diagonale, il s agit de la matrice identité Donc B = I n 4c Conclure Or B = I = L L = U U, donc L = L et U = U Il y a donc unicité de la décomposition LU Question 5 - Calcul de l inverse de A 5 Déduire de la question 3a l inverse de la matrice A /3 La solution de Ux = y avec y = / vaut x = / 3/4 3/ La solution de Ux = y avec y = La solution de Ux = y avec y = Donc A = /3 / 7/6 / / / 3/ / vaut x = vaut x = 7/6 / / / 5