#55 Matrices. Exercice 2. (NEW) Soient (A, B) M \ (K), tels que ABAB = 0. A-t-on BABA = 0?
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- Salomé Chevalier
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1 #55 Matrices Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice 1 (NEW) 1) Montrer que l'application trace : tr : M n (R) R est une forme linéaire 2) Donner une base de Ker tr 3) Montrer que tr(ab) = tr(ba) 4) Existe-t-il deux matrices A et B telles que AB BA = I? Exercice 2 (NEW) Soient (A, B) M \ (K), tels que ABAB = A-t-on BABA =? Exercice 3 (NEW) La matrice A a n valeurs propres distinctes dans M n (C) Montrer que le commutant de A, noté C = {M M n (C), AM = MA} est un espace vectoriel de dimension n En déduire un système générateur de C Exercice 4 Matrices en damier Soit M = (a ij ) M n ()K On dit que M est en damier si a ij = pour j i impair On note D l'ensemble des matrices n n en damier Montrer que D est une sous-algèbre de M n ()K Quelle est sa dimension? Exercice 5 { Matrices stochastiques Soit D = A = (a ij ) M n (R) tq i, j, a ij et i, } n a ij = 1 1) Montrer que D est stable par multiplication 2) Déterminer les matrices A D inversibles telles que A 1 D Exercice 6 Matrices centrosymétriques Soit A = (a ij ) M n ()K On dit que A est centro-symétrique si pour tous i, j : a n+1 i,n+1 j = a ij Montrer que si A et B sont centro-symétriques, il en est de même de AB Exercice 7 Conservation de l'inverse sur un sous-corps Soit M M n (Q) Comparer les énoncés : 1 : M est inversible dans M n (Q) 2 : M est inversible dans M n (C) Exercice 8 Algèbre de matrices 1 1 On note U = M n (R) et A = {au + bi, a, b R} (n 2) 1 1 1) Montrer que A est une sous algèbre commutative de M n (R) 2) Soit M = au + bi A Montrer que M possède un inverse dans A si et seulement si b(b + na), et le cas échéant, donner M 1 3) Montrer que si b(b + na) =, alors M n'est pas inversible dans M n (R) 4) Trouver les matrices M A vériant : M n = I Exercice 9 Quaternions j=1 14 septembre Thierry Sageaux
2 { ( ) a b Montrer que C = M = b a { ( ) a b Montrer que H = M = b a } M 2 (R) est un corps isomorphe à C } M 2 (C) est un corps non commutatif (Quaternions) Exercice 1 Homographies ( ) a b f M : R { } R { } Pour M = GL c d 2 (R), on note x ax + b cx + d Montrer que M f M est un morphisme de groupes Quel est son noyau? Matrices Exercice 11 Opérations par blocs 1) Soient A 1 M n,p1 ()K, A 2 M n,p2 ()K, B 1 M p1,q()k, B 2 M p2,q()k On pose A = ( ( ) ) B1 A 1 A 2 Mn,p1+p 2 ()K et B = M p1+p 2,q()K Montrer que AB = A 1 B 1 + A 2 B 2 ( ) A B 2) Soit M = où A, B,, C sont des matrices de tailles p p, p q, q p, q q (matrice C triangulaire par blocs) Montrer que M est inversible si et seulement si A et C le sont Le cas échéant, donner M 1 sous la même forme 3) En déduire une nouvelle démonstration de la propriété : L'inverse d'une matrice triangulaire est triangulaire Exercice 12 Décomposition d'une matrice en matrices inversibles Soit A M n ()K Montrer qu'il existe U, V GL n (K) telles que A = U + V B 2 Exercice 13 Conjugaison est un isomor- 1) Soit P GL n (K) Montrer que l'application φ P : M n ()K M n ()K M P 1 MP phisme d'algèbre 2) Soit φ : A = (a ij ) A = (a n+1 i,n+1 j ) a) Montrer que φ est un isomorphisme d'algèbre de M n ()K b) Trouver une matrice P GL n (K) telle que φ = φ P Exercice 14 Chimie P' 1996 Soit u L(R 3 ) ayant pour matrice dans la base canonique M = 1 5 1? ? et M = dans une autre base Donner la matrice de passage Exercice 15 Centre de GL n (K) On note (E ij ) la base canonique de M n ()K 1) Montrer que F ij = I + E ij est inversible 2) En déduire que vect ( GL n (K) ) = M n ()K 3) Quel est le centre de GL n (K)? Exercice 16 Centre de GL n (K) Soit f L(E) ayant même matrice dans toutes les bases de E Montrer que f est une homothétie Exercice 17 Centre des matrices triangulaires unipotentes On note G = {A = (a ij ) M n ()K tq a ij = i > j et a ii = 1} 1) Montrer que G est un sous-groupe de GL n (K) 2 Thierry Sageaux
3 2) En utilisant la base canonique de M n ()K, déterminer le centre de G, et montrer que c'est un groupe commutatif isomorphe à (K, +) Exercice 18 Équation ax + (trx)a = B Soit α K, et A, B M n ()K Étudier l'équation d'inconnue X M n ()K : αx + (tr X)A = B Exercice 19 Commutant d'une matrice diagonale Soit A M n ()K et C A = {M M n ()K tq AM = MA} (commutant de A) 1) Montrer que C A est une sous-algèbre de M n ()K 2) Soit A = diag(λ 1, λ 2,, λ n ) une matrice diagonale dont tous les λ i sont distincts a) Chercher C A φ : M b) n ()K M n ()K Soit M MA AM Montrer que Im φ est l'ensemble des matrices à diagonale nulle Exercice 2 Matrices de trace nulle Soit M M n ()K non scalaire telle que tr M = 1) Montrer qu'il existe une matrice colonne X 1 telle que MX 1 ne soit pas colinéaire à X 1 2) En déduire que M est semblable à une matrice N = où M1 M n 1 ()K et tr M 1 = M 1 3) Montrer que M est semblable à une matrice à diagonale nulle 4) En utilisant l'exercice??, montrer qu'il existe A, B M n ()K telles que M = AB BA Exercice 21 Forme bilinéaire trace 1) Soit A M n,p ()K non nulle Montrer que l'application f A : M p,n ()K K est une X tr(ax) forme linéaire non nulle sur M p,n ()K 2) Réciproquement : Soit φ : M p,n ()K K une forme linéaire quelconque Montrer qu'il existe une unique matrice A M n,p ()K telle que φ = f A (on pourra considérer l'application A f A ) 3) Soit φ : M n ()K K une forme linéaire vériant : X, Y M n ()K, φ(xy ) = φ(y X) Montrer qu'il existe λ K tel que φ = λ tr Exercice 22 Tout hyperplan de M n ()K contient une matrice inversible Soit H un hyperplan de M n ()K (n 2) 1) Montrer qu'il existe A M n ()K telle que H = {M tq tr(am) = } 2) En déduire que H contient une matrice inversible Exercice 23 Matrices magiques Une matrice carrée M est dite magique si les sommes des coecients de M par ligne et par colonne sont constantes On note s(m) leur valeur commune 1 1 Soit U = et M = {matrices n n magiques} 1 1 1) Montrer que M est une sous-algèbre de M n ()K et s : M K est un morphisme d'algèbre (calculer MU et UM) 2) Si M est magique inversible, montrer que M 1 est aussi magique 3) Montrer que M est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques 4) Pour M M n ()K, on note φ M l'endomorphisme de K n canoniquement associé à M Soit H = {(x 1,, x n ) K n tq x x n = } et K = {(x,, x) K n } 3 Thierry Sageaux
4 a) Montrer que : M M H et K sont stables par φ M b) En déduire dim(m) Exercice 24 Matrices triangulaires nilpotentes 1) Soit A une matrice triangulaire à diagonale nulle Montrer que A est nilpotente 2) Soit A M n ()K une matrice nilpotente d'indice n et φ l'endomorphisme de K n associé On note E i = Ker φ i, et e i un vecteur quelconque choisi dans E i \ E i 1 ( e 1 E 1 \ { }) a) Justier l'existence de e i b) Montrer que la famille ( e i ) est une base de K n c) En déduire que A est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle Exercice 25 Valeurs propres de AB et BA Soient A M n,p ()K et B M p,n ()K On note C = I n AB et D = I p BA (I n, I p = matrices unité d'ordres n et p) 1) Montrer que si C est inversible, alors D l'est aussi (résoudre DX = ) 2) Le cas échéant, exprimer D 1 en fonction de A, B, C 1 3) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres non nulles Examiner le cas de la valeur propre si n = p Exercice 26 M antisymétrique I + M est inversible Soit M M n (R) antisymétrique 1) Montrer que I + M est inversible (si MX =, calculer t (MX)(MX)) 2) Soit A = (I M)(I + M) 1 Montrer que t A = A 1 Exercice 27 ( Équation ) X 2 + X = A 1 1 Soit A = On veut résoudre l'équation dans M ()K : X 2 + X = A Soit X une solution et φ A, φ X les endomorphismes de K 2 de matrices A et X dans la base canonique 1) Montrer que X ou X + I n'est pas inversible 2) Si X n'est pas inversible, montrer que X est proportionnelle à A (on montrera que Ker φ X = Ker φ A et Im φ X = Im φ A ) 3) Résoudre l'équation Exercice 28 Groupes de matrices Soit G M n ()K tel que pour la multiplication, G soit un groupe On note J l'élément neutre et pour M G, φ M l'endomorphisme de K n canoniquement associé à M 1) Montrer que φ J est une projection 2) Montrer que : M G, φ M Ker φj = et φ M Im φj est un isomorphisme de Im φ J 3) En déduire que G est isomorphe à un groupe GL k (K) Exercice 29 Matrice vériant A k = I Soit A M n ()K telle que A k = I (k ) On pose B = I + A + A A k 1 Soient u, v les endomorphismes de K n matrices A et B dans la base canonique 1) Montrer que : Ker(u id) = Im v, Im(u id) = Ker v, Ker v Im v = K n 2) En déduire : tr B = k rg B Exercice 3 A >, X > et A k X = X Soit A M n,p (R) On dit que A est positive si tous ses coecients sont strictement positifs Soit M M n (R) positive On suppose qu'il existe X M n,1 (R) positif et k N tels que M k X = X Montrer qu'il existe Y M n,1 (R) positif tel que MY = Y Exercice 31 Suite récurrente linéaire matricielle 4 Thierry Sageaux
5 Soient A, B M n {()K Exprimer en fonction de k le terme général de la suite (M k ) de matrices de M est donnée, M n ()K dénie par : M k+1 = AM k + B Exercice 32 A, A 2, A 3 données A p A = λu + µv Soit A M n ()K On suppose qu'il existe λ, µ K et U, V M n ()K tels que : A 2 = λ 2 U + µ 2 V A 3 = λ 3 U + µ 3 V 1) Montrer que : p N, A p = λ p U + µ p V (chercher une relation linéaire entre A, A 2, A 3 ) 2) On suppose ici λ µ, λ et µ Soit X un vecteur propre de A Montrer que X est vecteur propre de U et de V avec les valeurs propres, ou 1,, ou, 1 Exercice 33 Idéaux de M n ()K Une partie I M n ()K est appelée idéal à droite de M n ()K si c'est un sous-groupe additif vériant : A I, B M n ()K, AB I Pour A M n ()K, on note H A le sev de M n,1 ()K engendré par les colonnes de A, et I A l'idéal à droite engendré par A : I A = {AM tq M M n ()K} 1) Soient A, M M n ()K Montrer que : M I A H M H A 2) Soient A, B M n ()K Montrer qu'il existe C M n ()K telle que H A + H B = H C Simplier I A + I B 3) Soit I un idéal à droite de M n ()K Montrer que I est un sev de M n ()K, puis qu'il existe A M n ()K telle que I = I A 4) Que peut-on dire des idéaux à gauche de M n ()K? Exercice 34 Classes d'équivalence dans M n,1 (Z) 1) Soit M M n (Z) Montrer que M GL n (Z) si et seulement si det M = 1 2) Soit X = x 1 x n M n,1 (Z) et d le pgcd de x 1,, x n Montrer qu'il existe A GL n (Z) telle que d AX = (par récurrence sur n) 3) Soient X, Y M n,1 (Z) CNS pour qu'il existe A GL n (Z) telle que AX = Y? Exercice 35 Rayon spectral d'une matrice à coecients positifs Soit A = (a ij ) M n (R) avec : i, j, a ij > On munit M n,1 (R) de la relation d'ordre : (X Y ) ( i, x i y i ), et on pose pour X M n,1 (R), X, X : { R(X) = sup{r tq AX rx}, R = sup{r(x) tq X, X } 1) Montrer que R est ni et qu'il existe X R n tel que R(X ) = R 2) Montrer que toutes les coordonnées de X sont strictement positives 3) On pose AX = RX + Y Montrer que Y = 5 Thierry Sageaux
6 4) Soit λ une valeur propre complexe de A Montrer que λ R, et ( λ = R) (λ = R) Exercice 36 INT ingénieurs 93 Soit E = {matrices de M n (R) antisymétriques} et 1) Montrer que f est un endomorphisme 2) Quelle est la trace de f? f : E E M t AM + MA où A M n(r) Exercice 37 Ensam PSI 1998 a 1 1 a 2 1 Soit A = M n ()K et C(A) son commutant 1 a n Montrer que pour M, N C(A) on a : M = N M et N ont la même dernière colonne En déduire que C(A) = K n 1 [A] Exercice 38 ENS MP 22 Que dire des morphismes de groupe ϕ : GL n (R) Z/pZ? 6 Thierry Sageaux
7 Solutions des exercices Exercice 3 On a C = vect(i, A, A 2,, A n 1 ) Exercice 5 2) Si A, B D et AB = I, alors pour i j, k, a ik b kj = Soit a i1 : alors b 1j = pour tout j i, donc a i1 = b 1i = 1 Donc chaque colonne de A contient n 1 fois et une fois 1 A est inversible A est une matrice de permutation Exercice 8 2) M 1 a = b(na + b) U + 1 b I 4) M n = (na + b)n b n U + b n I n Exercice 11 2) M 1 = ( ) A 1 A 1 BC 1 C 1 Exercice 14 Il n'y a pas de solution Exercice 17 2) Pour i < j, on doit avoir M(I+E ij ) = (I+E ij )M { n pair : a =, ou 2b n, b = ±1 n impair : a =, b = 1 { a ki = si k i a jk = si k j M = 1 1 Exercice 18 (α + tr A) tr X = tr B Si α(α + tr A) : solution unique : X = 1 ( B tr B ) α α + tr A A Si α = : solutions ssi A et B sont proportionnelles Si α + tr A = : solutions ssi tr B = : X = 1 α B + λa Exercice ) Si A est diagonale : M = 1 Si a kl : M = I tr A E lk a kl Exercice 25 2) D 1 = BC 1 A + I p 1 Exercice 27 3) X = A ou X = 1 2 A ou X = A I ou X = 1 2 A I 7 Thierry Sageaux
8 Exercice 28 1) J 2 = J 2) JM = MJ 3) k = rg J Exercice 29 2) u Im v = id tr ( u Im v ) = rg v tr ( v Im v ) = k rg v Exercice 31 M k = A k M + S k B avec S k = I + A + + A k 1 = (I A k )(I A) 1 si I A est inversible Exercice 32 1) A 3 (λ + µ)a 2 + λµa = µa A2 λa A2 2) U =, V = et la valeur propre est, λ ou µ λ(µ λ) µ(λ µ) Exercice 35 1) Compacité α x 2 2) Si x 1 =, on pose Y = : x n ( R(Y ) min a 11 + a 12x a 1n x n, αa 21 + R(X ),, αa ) n1 + R(X ) > R(X ) pour α > α x 2 x n assez petit α a 11 R 3) Si y 1 >, on pose X = X + : AX RX = Y + α, donc pour α > assez petit, R(X) > R 4) Inégalité triangulaire Exercice 36 2) La base canonique de E est (F ij = E ij E ji ) 1 i<j n où (E ij ) est la base canonique de M n (R) : Si M E, la coordonnée de M suivant F ij est le coecient d'indices i, j de M En particulier, en notant A = (a ij ), la coordonnée de f(f ij ) suivant F ij est a ii + a jj, donc : tr f = i,j (a ii + a jj ) = (n 1) tr A a 21 a n1 Exercice 38 Soit ϕ un tel morphisme Alors pour toute matrice M GL n (R) on a = pϕ(m) = ϕ(m p ), donc ϕ s'annule sur toute matrice qui est une puissance p-ème Notons P (i, j, α) la matrice de l'opération élémentaire L i L i + αl j, qui est aussi la matrice de l'opération élémentaire C j C j + αc i Toute matrice M GL n (R) peut être transformée, à l'aide de ces seules opérations élémentaires, en une matrice M = diag(1,, 1, det(m)) par une adaptation de l'algorithme de Gauss Comme P (i, j, α) = P (i, j, α/p) p et det(m) = ±( det(m) 1/p ) p, on obtient : ϕ(m) = si det(m) > et ϕ(m) = ϕ(diag(1,, 1, 1)) = x si det(m) < Réciproquement, la fonction ϕ ainsi dénie est effectivement un morphisme de groupe si et seulement si 2x =, soit x = pour p impair, et x {, q} pour p = 2q 8 Thierry Sageaux
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