UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE. Table des matières. 1. Quelques formules de trigonométrie

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1 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Table des matières. Quelques formules de trigonométrie. Fonctions trigonométriques réciproques.. Arc cosinus.. Arc sinus 4.. Arc tangente 4. Fonctions hyperboliques 5.. Heuristique définitions 5.. Propriétés 5 4. Eercices 6. Quelques formules de trigonométrie Tout d abord, un dessin pour epliquer la définition de cosinus sinus.,5 0,5 cos sin -,4 - -,6 -, -0,8-0,4 0 0,4 0,8,,6,4-0,5 - -,5 Fig.. Le cosinus le sinus d un arc Identité remarquable cos + sin = Periodicité Date: 0/0/0. cos + k π = cos, R, k Z

2 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE sin + k π = sin, tan + k π = tan, R, k Z m π, m,k Z, Relations remarquables cos = cos, R sin = sin, R tan = tan, m π, m Z π π cos = sin sin = cos, π tan = tan, m π, m Z R Formules d addition cos y = cos cos y + sin sin y cos + y = cos cos y sin sin y sin y = sin cos y cos sin y sin + y = sin cos y + cos sin y tan tan y tan + tan y tan y = tan + y = + tan tan y tan tan y Démonstration. La formule pour cos y est montrée dans l Eercice. À partir de cte formule, on peut montrer toutes les autres. En eff, en utilisant que le cosinus est une fonction paire le sinus est pair, on a cos + y = cos y = cos cos y + sin sin y = cos cos y sin sin y, qui montre bien la deuième formule. Pour montrer la troisième formule on utilise la relation entre le cosinus le sinus voir ci-dessus π π sin y = cos y = cos + y π π = cos cos y sin sin y = sin cos y cos sin y. Finalement, on montre comme obtenir la cinquième formule. On a sin y sin cos y sin y cos cos y sin tan y cos tan y = = = cos y cos cos y + sin sin y cos y cos + sin tan y sin tan y cos = cos + sin tan y cos tan tan y = cos + tan tan y tan tan y = + tan tan y, qui termine la preuve. Essayez de montrer les formules qui restent. Formules de duplication cos = cos sin = cos = sin sin = sin cos tan = tan tan

3 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Démonstration. Il s agit tout simplement de cas particuliers des formules d addition, il suffit de choisir = y. Formules de l angle moitié + cos cos = tan = cos sin = cos + cos Démonstration. À titre d eemple, on montre la première. D après les formules de duplication, on sait déjà que cos = cos = cos, c est-à-dire on a que cos Il suffit de prendre la racine carrée pour conclure. = cos +. Quelques valeurs remarquables cos 0 = cos π 6 = cos π 4 = cos π = cos π = 0 sin 0 = 0 sin π 6 = sin π 4 = sin π = sin π = tan 0 = 0 tan π 6 = tan π 4 = tan π = Identité d Euler e i = cos + i sin, R.. Fonctions trigonométriques réciproques.. Arc cosinus. La fonction cos : R [,] est surjective, mais pas injective, en tant que fonction périodique. Mais si on considère la restriction du cosinus à l interval [0,π], cte fonction devient aussi injective donc bijective. Sa fonction réciproque s appelle arc cosinus, par définition de fonction réciproque il s agit d une fonction telle que arccos : [,] [0,π], arccoscos =, pour tout [0,π] = cosarccos, pour tout [,] Par définition, on a que arccos = le seul arc compris entre 0 π tel que son cosinus est. Eemple. On a arccos = π, car π/ est le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut /. Faites attention à l eemple suivant.

4 4 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Eemple. Ça fait combien On aurait envie de répondre 7/6 π, mais comme 7 arccos cos 6 π =? 7 6 π [0,π], on sait que celle-ci n est la réponse correcte. Par définition de arccos, on sait que la réponse doit être le seul arc compris entre 0 π dont le cosinus vaut cos7/6 π. Alors, comme 5 7 cos 6 π = cos 6 π, 5/6 π est le seul arc entre 0 π avec cte proprié, on a que la réponse correcte est bien 7 arccos cos 6 π = 5 6 π... Arc sinus. La fonction sin : R [,] est à nouveau surjective, mais pas injective. Si on considère la restriction du sinus à l interval [ π, π ], cte fonction devient aussi injective donc bijective. Sa fonction réciproque s appelle arc sinus, donc on a [ arcsin : [,] π ],π, telle que [ π ] arcsinsin =, pour tout,π Par définition, on a que = sinarcsin, pour tout [,] arcsin = le seul arc compris entre π/ π/ tel que son sinus est. Eemple. On a par eemple arcsin = π 6, arcsin = π 4... Arc tangente. La fonction tangente est aussi périodique, donc elle n est pas injective. De tout façon, sur tout interval du type π/ + k π,π/ + k π elle est strictement croissante donc injective. En particulier, sa restriction tan : π,π R, est bijective, donc il y a la possibilité de définir sa fonction réciproque. Il s agit de la fonction arc tangente arctan : R qui a donc la proprié π arctantan =, pour tout,π Par définition, on a que π,π, = tanarctan, pour tout R arctan = le seul arc compris strictement entre π π tel que sa tangente est.

5 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 5. Fonctions hyperboliques.. Heuristique définitions. En particulier, d après l identité d Euler on a D après l identié d Euler, on a cos = Ree i sin = Ime i. e i = e i = cos + i sin = cos i sin, donc e i est le conjugué de e i. Ceci perm de dire cos = ei + e i i sin = ei e i Avec un peu de courage, on peut se demander: qu est-ce qui se passe si remplace par i dans les formules précédentes? Bien sûr, on n a pas le droit de faire ça, car on n a définit cos sin que pour des arguments réels...mais bon, voyons qu est-ce que ça donne quand même, au moins au niveau formel. En utilisant que i =, on obtiendra cosi = e + e Les deu fonctions à droite s appellent avec la notation e + e e e i sini = e e. cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, cosh = e + e sinh = e e, R. L argument purement formel! précédent justifie pourquoi ces deu fonctions s appellent cosinus sinus...mais pourquoi hyperbolique? Une justification de ça vient de l identité remarquable pour les fonctions hyperboliques Celle-ci implique que cosh sinh =, R. I = {X,Y R : R tel que X = cosh, Y = sinh } = {X,Y R : X Y = X 0}, c est-à-dire, grâce à cosh sinh on peut paramétriser une branche de l hyperbole ayant équation cartesienne X Y =... Propriétés. En tant que somme de fonctions dérivables sur R, le cosinus le sinus hyperboliques sont dérivables sur R on a aussi On a donc cosh est pair sinh est impair. d d cosh = d e + e d d d sinh = d e e d cosh = e + e sinh = e e = e e = e + e = cosh, = sinh, = sinh, = cosh.

6 6 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE cosh, sinh Eercice. Justifier géométriquement que 4. Eercices cos y = cos cos y + sin sin y,,y R. Démonstration. Tout d abord, on observe qu on peut toujours supposer que y, car le cosinus est une fonction paire, donc cos y = cosy. En outre, on peut supposer > y, car si = y l identité est évidente. On fait l hypothèse supplementaire que,y [0,π/], pour simplicité. Si on se refère à la Figure, on voit que donc il faut montrer que On observe que que cos y = OC, OC = cos cos y + sin sin y. OM = cos cos y, MC = sin OM sin y sin y = sin sin y cos cos y sin y. Finalement on obtient cos y = OC = OM + MC = cos cos + sin sin y cos y cos y sin y = cos cos y sin y + sin sin y qui termine la preuve, dans l hypothèse 0 y π/. = cos cos y + sin sin y, Eercice. Montrer les formules cos p + cos q = cos p + q sin p + sin q = sin p + q cos p q cos p q cos p cos q = sin p + q sin p sin q = sin p q sin p q cos p + q

7 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 7 y M C O y y Fig.. La formule d addition du cosinus Démonstration. On observe que p = p + q + p q q = p + q donc d après les formules d addition du cosinus, on obtient cos p + cos q = cos p + q cos p q sin p + q + cos p + q cos p q + sin p + q = cos p + q cos p q. Pour les autres formules on pourra procéder de la même manière. p q, sin p q sin p q Eercice. Montrer que, avec t = tan/ pour des valeurs de que l on precisera, on a cos = t + t sin = t + t tan = t t. Démonstration. On observe que t = tan / implique que pour tout π,π on a donc = arctan t, cos = cos arctan t = cos arctan t = + tan arctan t = t + t, où on a utilisé la formule de duplication pour le cosinus la rélation + tan = cos. Pour montrer la formule pour sin on procède de manière similaire : on a sin = sin arctan t = sinarctan t cosarctan t = tanarctan t cos arctan t = t + t,. Faites attention : on a le droit de diviser par cosarctan t car ceci n est pas zero...pourquoi?

8 8 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE où on a utilisé à nouveau la rélation. Finalement, pour la troisième formule on a évidemment on doit avoir ±π/. tan = sin cos = t + t + t t = t t, Eercice 4. Montrez que sin = sin 4 sin Démonstration. On a = +, donc sin = sin cos + cos sin = sin cos + sin sin, où on a utilise les fomules sin = sin cos cos = sin. Pour terminer, il suffit d utiliser l identité fondamentale cos + sin =, donc sin = sin 4 sin, qui termine la preuve. Eercice 5. Montrez que Eercice 6. Résoudre l équation cos = 4 cos cos. cos + cos + cos = 0. Démonstration. On va utiliser deu méthodes. Première mhode. En utilisant l Eercice précédent la formule de duplication, on a cos + cos + cos = cos + cos + 4 cos cos = 4 cos + cos cos = cos cos + cos + = cos + cos, d où l équation initiale est équivalente à cos + cos = 0. Toute solution de cte équation sont données par cos = ou cos =., c est-à-dire l ensemble de toute solution est donné par { π + k π, 4 π + k π, π 4 + k π } : k Z. Deuième mhode suggestion de M. Guillaume Guio. D après les formules de l Eercice, on a + cos + cos = cos cos = cos cos, donc l équation initiale est équivalente à c est-à-dire Après on trouve les solutions comme avant. cos cos + cos = 0, cos cos + = 0.

9 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 9 Eercice 7. Résoudre l équation cos 54 π π = cos 4. Démonstration. Par construction de la fonction cosinus, on a que En utilisant ça avec on obtient aussi cos α = cos β α = β + k π ou α = β + k π, k Z. Donc les solutions de l équation sont { π α = 5 4 π β = π 4, 5 4 π = π + k π, k Z, π = π + k π, k Z. 4 + k π, k + π : k Z }. Eercice 8. Résoudre l équation cos + π = sin + 4 π. Démonstration. Tout d abord, en utilisant que sin = cos π, on voit que l équation initiale peut s écrire aussi dans la forme cos + π = cos π 4. Comme dans l Eercice précédent, ceci revient à dire + π = π + k π, 4 k Z, + π = π + + k π, 4 k Z. Donc au final on trouve comme solutions { 7 6 π + k π, } π + k π : k Z. Eercice 9. Résoudre l équation cos + sin =. Démonstration. Ici on peut utiliser une astuce : on observe tout d abord que si on multiplie l équation par / cos + sin =, cte nouvelle équation est équivalente à celle du début, c est-à-dire elle a les mêmes solutions. Quelle est l avantage d avoir fait ça? On se souvient que cos π = sin π =,

10 0 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE donc finalement en utilisant les formules d addition notre équation devient cos π =. Ceci revient à dire que ou π = π + k π, k Z, π = 4 π + k π, k Z donc l ensemble des solutions est donné par { π + k π, 5 } 6 π + k π : k Z. Eercice 0. Résoudre l équation Démonstration. Tout d abord, il faudra avoir tan = tan. π + k π = k + π π 6 + k π = k + π 6, car sinon les écritures tan tan n ont pas de sens. Après, on observe que tan α = tan β α = β + k π. Donc tan = tan = + kπ. En tenant compte de la restriction, on trouver donc { } k π : k Z avec k pair. comme ensemble des solutions. Eercice. Résoudre l équation Démonstration. On pose pour simplicité alors l équation à résoudre est la suivante cos 4 + sin 4 =. X = cos Y = sin, X + Y = sous contrainte X + Y =. Finalement, ça revient à résoudre le système suivant { X + Y = X + Y = Ce n est pas difficile à voir que les seules solutions sont { { X = 0 X = Y = Y = 0 En revenant à la variable initiale, on trouve { cos = 0 sin = { cos = sin = 0 donc les solutions sont tout tel que le cosinus ou le sinus s annullent, c est-à-dire = k π, k Z.

11 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Eercice. Montrer que pour tout [,], on a arcsin + arccos = π/. Démonstration. On commence par observee que pour = = la formule est vraie. Maintenant on considère 0 < on voit que l identité dans ce cas vient directement de la constuction géomrique de cosinus sinus pourquoi?. Pour le cas < < 0, on observe que car il s agit d une fonction impaire, aussi Donc on a arcsin = arcsin, arccos = π arccos. arcsin + arccos = π arcsin + arccos, si < < 0, alors 0 < < donc on peut utiliser la partie précédente de l eercice conclure. Eercice. Calculer 4 arcsin sin sin arcsin π 5 8 arccos sin cos arcsin 5 5 π Démonstration. On observe que sin π/ [ π/,π/], donc on obtient 4 4 π π = sin π 4 π = sin, 4 arcsin sin π = π. Le deuième est un peu plus compliqué, mais d après l Eercice, on sait que 8 arccos sin 5 π = π 8 arcsin sin 5 π, on observe que 8 sin 5 π = sin 5 π = sin π 5 π = sin 5 π, /5 π [ π/,π/], donc au final 8 arccos sin 5 π = π arcsin sin 5 π = π 5 π = 0 π. Pour le troisième il n y a pas grand chose à faire, d après la définition de fonction réciproque on a sin arcsin = 5 5. Et finalement, pour de le dernier, on observe tout d abord que par construction on a π arcsin 5 π donc 0 cos arcsin. 5

12 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Finalement, en utilisant cte information l identité remarquable, on a cos arcsin = cos 5 arcsin = 5 = sin arcsin 5 = Eercice 4. Calculer cosarcsin sinarccos. Démonstration. On commence par remarquer que π arcsin π, [,], donc cosarcsin est toujours unq quantité positive. Alors cosarcsin = cos arcsin = sin arcsin =. De manière similaire, on a 0 arccos π, donc sinarccos est toujours positif à nouveau sinarccos = sin arccos = cos arccos =. Eercice 5. Calculer cosarctan sinarctan. Démonstration. Comme avant, grâce au fait que on a que cosarctan est toujours positif donc où on a utilisé que π < arctan < π, cosarctan = cos arctan = + tan arctan = + tan = cos, π + k π, k Z. Pour le sinus, il faudra faire un peu plus attention: on voit que Donc on aura sinarctan 0, si 0, sinarctan < 0, si < 0. sinarctan = sin arctan = cos arctan = + = + =, si 0, + +,

13 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE c est-à-dire sinarctan = sin arctan = cos arctan = + = + =, si < 0, + sinarctan = +, R. Eercice 6. Calculer tanarccos, pour tout [,0 0,], tanarcsin, pour tout,. Démonstration. Il nous suffit d utiliser un eercice précédent la définition de tangente. On a donc tanarccos = sinarccos cosarccos =, 0 aussi tanarcsin = sinarcsin cosarcsin =, < <. Eercice 7. Verifiez qu on a les rélations suivantes arctan + arctan = π, > 0 arctan + arctan = π, < 0. Démonstration. Il nous suffira de montrer la première après il suffit d utiliser que l arctangente est une fonction impaire. Première mhode On considère la fonction qui est dérivable sur 0, on a h = arctan + arctan, > 0, h = + + = 0, donc la fonction h est constante, c est-à-dire que qui termine la démonstration. h = h = π 4 + π 4 = π, > 0, Deuième mhode On considère un triangle rectangle ayant côtés de longueur. Soit α l angle opposé au cathète de longueur, alors on a = tan α, c est-à-dire α = arctan.

14 4 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE De la même façon, on a = tan β, c est-à-dire β = arctan, où est l angle opposé au cathète de longueur. Vu que α β sont complementaires, on obtient π = α + β = arctan + arctan. α Eercice 8. Vérifier qu on a 4 π arctan + arctany π,,y R tels que y. Démonstration. En fait, on observe que si y 0, c est-à-dire si 0 y 0 ou viceversa, on a donc on obtient 0 arctan π π arctany 0 ou viceversa, π arctan + arctany π, dans ce cas. Supposons maintenant que 0 y que y 0, alors en utilisant que la fonction y arctan + arctany est croissante, on obtient 0 arctan + arctany arctan + arctan = π. Si par contre 0 y y 0, alors on a 0 aussi y /. En utilisant à nouveau la croissance de l arctangente la rélation précédente, on a donc π arctan + arctan arctan + arctany 0, qui termine la démonstration de 4 Eercice 9. Vérifiez que π arctan + arctany π,,y > 0 y, π arctan + arctany π,,y < 0 y.

15 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 5 Démonstration. Il suffit d utiliser la monotonie de l arctangente π arctan + arctan arctan + arctany π. Pour la deuième, on peut utiliser le même argument. Eercice 0. Vérifiez qu on a arctantan, si π, π, = arctantan π, si [ π, π arctantan + π, si π,π] Démonstration. Soit π/,π/, alors sur c interval la fonction tangente est inversible, son fonction réciproque ant donnée par arctan, donc on a arctantan =. Si π < π/, alors il eiste 0 y < π/ tel que = y π donc d où on obtient arctantan = arctantany π = arctantan y = y, + π = arctantan. Le cas π/ < π se démontre de manière similaire. Eercice. Montrer que arctan + arctany = + y arctan, si y <, y + y arctan + π, si y >,y > 0, y + y arctan π, si y >,y < 0, y π, si y =. Démonstration. Il faut distinguer cas: si,y R sont tels que y <, alors on a vu que π arctan + arctany π, donc d après l eercice précédent les formules d addition pour la tangente, on obtient + y arctan + arctany = arctantanarctan + arctany = arctan. y Par contre, si y >, alors + y arctan + arctany = arctan + π, si,y > 0, y + y arctan + arctany = arctan π, si,y < 0. y Et finalement, dans le cas y =, on a tout simplement arctan + arctany = π, si > 0,

16 6 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE qu on a déjà montré. arctan + arctany = π, si < 0, Eercice. Résoudre l équation arctan + arctan = π 4. Démonstration. On commence en remarquant que les solutions de cte équation on pourra les chercher directement parmi les > 0, car De la même manière, on observe que arctan + arctan 0, si 0. > = arctan > π 4, donc on sait déjà que les solutions, si elle eistent, elles seront compris dans l interval 0,/. Donc on en train de résoudre arctan + arctan = π 4, parmi les tels que 0 < <. Maintenant on observe que pour 0,/, on a on peut donc utiliser l Eercice obtenir donc finalement on doit résoudre = <, arctan + arctan = arctan pour 0 < < /. L équation précédente donne arctan = π 4,, =, qui a une seule solution dans l interval 0,/, ceci ant donnée par = Eercice. Soient A,B R. montrez qu il eiste r 0 ϕ R tels que 5 A cos + B sin = r cos ϕ, pour tout R. Démonstration. On observe que par la formule d addition du cosinus, on a r cos ϕ = r cos ϕ cos + r sin ϕ sin, donc pour démontrer 5, il nous suffira de prouver que on peut r,ϕ tels que A = r cos ϕ, B = r sin ϕ. On commence par observer que si A = B = 0, alors 5 est vraie avec r = 0 ϕ quelconque. Supposons maintenant que A + B 0. En utilisant l identité fondamentale, i.e. cos + sin =, on arrive à trouver r. On aura A + B = r,

17 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 7 c est-à-dire r = A + B. Donc, pour terminer il nous manque de montrer qu il eiste ϕ R tel que cos ϕ = A A + B sin ϕ = On observe que si A = 0 B 0, alors il faut que ϕ satisfait cos ϕ = 0 sin ϕ = B B, donc si A = 0 B 0, une solution est donnée par ϕ = Si A 0, alors on pourra dire que ϕ doit satisfaire On trouve alors comme possible solution ϕ = arctan π + arctan π, si B > 0, π, si B < 0. tan ϕ = B A. A, si A > 0, B A, si A < 0. B B A + B. Pour comprendre le deuième cas, il faut noter que arctan est toujours compris entre π/ π/, donc son cosinus est toujours positif. Mais vu le signe A nous donne le signe de cos ϕ aussi, quand A < 0 il faut rajouter à arctanb/a un demi tour : de cte manière, la tangente de π + arctanb/a reste la même par periodicité de la tangente, mais on changé de signe à son cosinus. Eercice 4. Appliquer l Eercice précédent à cos + sin. Démonstration. Il suffira d utiliser l Eercice précédent, avec A = B =. Alors on obtient la formule 5 avec c est-à-dire qui termine l Eercice. r = ϕ = arctan = π 4, cos + sin = cos π. 4 Eercice 5. Pour R, simplifier n cosk. Démonstration. L astuce est de regarder cte somme de cosinus comme une somme de puissances. À ce propos, on se souivent que e i = cos + i sin, donc. Rappel: si R, on a =. cos = ei + e i.

18 8 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE Plus en général, on aura donc alors n cosk = cosk = ei k + e i k, k N, n e i k + e i k = n e i k + n e i k. Maintentant il faudra utiliser l égalité suivante pour la somme des puissances voir les eercises de Quelques outils : si a C \ {}, on a n a k = an+ a, on utilise ça avec a = e i a = e i. On a donc n cosk = e n+ i e i + e n+ i e i = e i e i n+ + e i n e i e i + ei + e i n e i n+ e i e i. Maintenant on utilise à nouveau que e i + e i = cos e i n + e i n = cosn, donc on obtient n cosk = e i n+ + e i n+ = cosn +, cos + cosn cosn + cos = cos + cosn cosn + cos = + cosn cosn +. cos En utilisant la formule d addition du cosinus, on pourra encore un peu simplifier cte epression: on a n cosk = + = cosn cosn + cos + cosn + sinn sin cos Remarque. Évidemment, la formule précédente est très utile quand n N devient grand. Au lieu d avoir une somme de n termes, on n a que trois termes, qui dependent seulement des cosinus sinus de n. Eercice 6. Pour tout n N, écrivez cosn seulement en fonction de puissances de sin cos..

19 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE 9 Démonstration. À nouveau, on pourra utiliser l identité ei = cos + i sin. On a donc, en utilisant la formule du bynôme de Newton voir dans les eercises de Quelques outils cosn = ei n + e i n = ei n + e i n Tout d abord, on observe que = cos + i sin n + cos i sin n = n n i k cos n k sin k k + n n i k cos n k sin k k = n n [i k + i k ] cos n k sin k. k i k + i k = i k + k i k = après on se souvient que i =, donc c est-à-dire que en général { i k, si k est pair, 0, sinon, i =, i 4 =, i 6 =... ainsi de suite, i m = m, m N. Donc la bonne nouvelle est que dans l epression précédente pour cosn...il n y a jamais i! Plus précisement, on aura { k i k + i k =, si k est pair, 0, sinon, Donc, finalement on obtient cosn = 0 k n tel que k est pair n k cos n k sin k, k c est-à-dire, en remplaçant k par un nouveau inde m = k/, on obtient 6 cosn = qui termine la preuve. [n/] m=0 n m cos n m sin m, m Eercice 7. Repez l eercice précédent, en remplaçant cosn par sinn. Remarque. On observe que pour n =, la formule 6 donne cos = m cos m sin m m m=0 = cos sin,. Ici, on note [α] la partie entière d un nombre α, c est-à-dire le plus grand nombre entier inferieur ou égal à α.

20 0 UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE c est-à-dire, on a rrouvé la formule usuelle de duplication pour le cosinus. Pour n =, on rrouve cos = m cos m sin m m comme dans l Eercice 5. m=0 = cos sin cos = 4 cos cos,