Master de Mathématiques M2 Une introduction aux opérateurs pseudo-différentiels Examen du 12 janvier durée : 3h

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1 Master de Mathématiques M2 Une introduction aux opérateurs pseudo-différentiels Examen du 12 janvier durée : 3h 1. a) Questions préliminaires : i) Déterminer les valeurs de µ R pour lesquelles la fonction ξ (1 + ξ ) µ est dans L 1 (R n ). ii) Vérifier que S 0 = {u S; û C0 } est dense dans S. Soit a = a(x, ξ) C (R n R n ) telle que Dx α a(x, ξ) M, α n+1 où M est une certaine constante. b) i) Soit u S 0 et v = a(x, D)u. Démontrer que ˆv(η) = K(η ξ, ξ)û(ξ)dξ, avec K(η, ξ) = (2π) n e ix η a(x, ξ)dx. ii) Vérifier que η α K(η, ξ) = (2π) n F x (D α x a(x, ξ))(η), α n + 1, et en déduire qu il existe une constante C 0 telle que (1 + η ) n+1 K(η, ξ) C 0 M, puis que K(η ξ, ξ) dξ C 1 M et K(η ξ, ξ) dη C 1 M, 1 Le corrigé sera disponible à partir du 13 janvier 2010 à l adresse http :// choulli/enseignement.html

2 Ici C 1 est une constante. iii) Appliquer le lemme de Schur 2 pour conclure que ˆv 2 CM û 2, où C est une constante et 2 est la norme L 2. En déduire que a(x, D) définit un opérateur borné sur L 2 (R n ) et que sa norme est majoré par CM. 2. On rappelle que H s = H s (R n ) = {u S ; û L 2 loc et u s = ( (1 + ξ 2 ) s û 2 ) 1/2 < }. On note E s = (1 + ξ 2 ) s/2. a) Démontrer que E s S s ; F(E s (D)u)(ξ) = E s (ξ)û(ξ), u H s ; si v = E s (D)u, u H s, alors u = E s (D)v. b) Soient a S m, u H s et on pose v = E s (D)u. En utilisant E s m a(x, D)u = E s m a(x, D)E s (D)v, démontrer que a(x, D) définit un opérateur borné de H s dans H s m, pour tout s R. 3. Soit P (D) = a αd α un opérateur différentiel à coefficients constants sur R n. a) On suppose qu il existe E S C (R n \ {0}) et ω S tels que P (D)E = δ ω. Soit ϕ Cc (R n ) telle que ϕ = 1 pour x 1. Utiliser la formule de Leibnitz pour montrer que P (ϕe) = δ + ϕω + ψ, avec ψ Cc (R n ). b) On suppose que P (D) est elliptique, c est-à-dire P m (ξ) = a α ξ α 0, ξ R n \ {0}. α =m i) Montrer qu il existe deux constantes C > 0 et K > 0 telles que K ξ m, pour tout ξ > R. ii) Soit χ C0 telle que χ = 1 si ξ R. Vérifier que 1 χ(ξ) L S. En déduire, en utilisant le fait que la transformée de Fourier définit un isomorphisme sur S, qu il existe E S et ω S tels que P (D)E = δ ω. iii) Vérifier qu il existe une constante C telle que ξ β D α Ê C ξ β m α, ξ > R. (On pourra utiliser, sans le démontrer, que D γ 1 P C ξ (m+ γ ) si ξ > R.) En déduire que ξ β D α Ê L 1 si m + α > n + β, puis que, pour tout k entier, il existe un α tel que x α E C k. Donc E C (R n \ {0}). iv) Soit u S tel que P (D)u C. En utilisant a) et u = u δ, démontrer que u C. 2 Lemme de Schur. Soit K C 0 (R n R n ) telle que sup y K(x, y) dx C et supx K(x, y) dy C. Alors l opérateur intégral de noyau K est borné dans L 2 (R n ) et sa norme est C.

3 Master de Mathématiques M2 Une introduction aux opérateurs pseudo-différentiels Corrigé de l examen du 12 janvier a) i) En passant en coordonnées polaires, on conclut que (1 + x ) µ dx = dω R n S n (1 + r) µ r n 1 dr. Or + (1 + r) µ r n 1 dr converge si, et seulement si, µ > n. Donc x (1 + x ) µ est 0 dans L 1 (R n ) si, et seulement si, µ > n. ii) On a S 0 = F 1 (C0 ). Puisque C0 est dense dans S et que F 1 est isomorphisme sur S, on déduit que S 0 et dense dans S. b) i) On a ˆv(η) = (2π) n e ix η dx e ix ξ a(x, ξ)û(ξ)dξ. En utilisant Fubini, on conclut que ˆv(η) = û(ξ)dξ(2π) n e ix (η ξ) a(x, ξ)dx. C est-à-dire ˆv(η) = K(η ξ, ξ)û(ξ)dξ, avec K(η, ξ) = (2π) n e ix η a(x, ξ)dx, ou de manière équivalente K(η, ξ) = (2π) n F x a(x, ξ)(η). ii) Par hypothèse D α x a(x, ξ) L 1 (R n x), α n + 1. D où η α K(η, ξ) = (2π) n F x D α x a(x, ξ)(η)

4 et on a l estimation (1 + η ) n+1 K(η, ξ) C 0 M. Par suite, K(η ξ, ξ) dξ C 1 M et K(η ξ, ξ) dη C 1 M, en utilisant 1) i). iii) D après le lemme de Schur, on tire ˆv 2 CM û 2. Donc v 2 = a(x, D)u 2 CM u 2 car ψ 2 = (2π) n/2 ˆψ 2, pour tout ψ L a) Il évident que E s S s. D autre part, E s (D)u(x) = (2π) n e ix ξ E s (ξ)û(ξ)dξ = F 1 (E s û)(x). C est-à-dire F(E s (D)u)(ξ) = E s (ξ)û(ξ). Si u H s et v = E s (D)u L 2, la dernière formule nous dit que ˆv = E s û, ce qui équivaut à û = E sˆv = F(E s (D)u). Donc u = E s (D)v. b) D après un théorème du calcul symbolique, E s m a(x, D)E s Op(S 0 ). Donc v E s m a(x, D)E s v est borné sur L 2, et comme u E s (D)u est borné de H s dans L 2, on déduit que u E s m a(x, D)u est borné de H s dans L 2, ce qui entraine, d après la définition de H s m que u a(x, D)u est borné de H s dans H s m. 3. a) Par extension de la formule de Leibnitz à S, on a P (ϕe) = a α CαD β β ϕd α β E et donc P (ϕe) = ϕp E + β α a α β α,β 0 Mais P E = δ ω, et puisque ϕδ = δ, on obtient où ψ = P (ϕe) = δ + ϕω + ψ, a α β α,β 0 C β αd β ϕd α β E. C β αd β ϕd α β E. Puisque E est C en dehors de l origine, ψ l est aussi. Or D β ϕ = 0 si β 0. Donc ψ = 0 pour x 1. Il en résulte que ψ est Cc. b) i) On écrit ( = ξ m P m ( ξ ξ ) + Q(ξ) ). ξ m Par hypothèse C 0 = min η S n 1 P m (η) > 0 et puisque Q est un polynôme en ξ de degré au plus égal à m 1, Q(ξ) ξ m tend vers 0 quand ξ tend vers +. D où, il existe R > 0

5 tel que Q(ξ) ξ m K = C 0 /2. ii) Le fait que 1 χ(ξ) C 0 /2 si ξ > R. Il s ensuit que K ξ m pour ξ > R, avec L est une conséquence immédiate de i). Maintenant, puisque la transformée de Fourier est un isomorphisme sur S, on conclut qu il existe E S telle que Ê = 1 χ(ξ), ou encore Ê = 1 χ(ξ). Or la transformée de Fourier est aussi un isomorphisme sur S. Donc χ = ˆω, avec ω S. Par suite F(P (D)E) = Ê = ˆδ ˆω = F(δ ω) et donc P (D)E = δ ω. iii) Puisque χ est à support compact, en utilisant la formule de Leibnitz et l indication, on montre sans difficulté que ξ β D α Ê(ξ) C ξ β m α, ξ > R. Comme dans l exercice 1, on voit que si m + α β > n alors ξ β D α Ê est dans L 1. Mais D β x α E = F 1 (ξ β ( D) α Ê). D où D β x α E est dans C 0. En particulier, pour tout k, il existe α tel que x α E est de classe C k. Il en résulte que E C (R n \ {0}). iv) D après a), Si ϕ C c avec ϕ = 1 si x 1, il existe ψ C c telle que P (D)(ϕE) = δ + ϕω + ψ. Puisque u = u δ, on a u = u (P (D)(ϕE) ϕω ψ) = P (D)u ϕe u (ϕω + ψ). Le dernier membre de cette double égalité est composé de deux termes ; le premier terme est la convolution d une fonction C avec une distribution à support compact ; le second terme est la convolution de u avec une fonction de Cc. La différence de ces deux termes, égale à u, est donc C.