ETUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS

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1 ETUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS I. Variations d'une fonction numérique sur un intervalle: ) Sens de variation : a) Fonction croissante sur un intervalle : Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si, lorsque les valeurs de la variable x augmentent alors les valeurs des images augmentent aussi. Pour tout x et x 2 de l'intervalle I, si x x 2 alors f(x ) f(x 2 ). Une fonction croissante conserve l'ordre. Graphiquement, la courbe représentative de f sur l'intervalle I " monte ". b) Fonction décroissante sur un intervalle : Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle I si, lorsque les valeurs de la variable x augmentent alors les valeurs des images diminuent. Pour tout x et x 2 de l'intervalle I, si x x 2 alors f(x ) f(x 2 ). Une fonction croissante change l'ordre. Graphiquement, la courbe représentative de f sur l'intervalle I " descend ". 2) Extrémum d'une fonction : a) Maximum d'une fonction : Sur l'ensemble de définition D, le maximum de la fonction f est la valeur de f (x) la plus grande atteinte par la fonction. Graphiquement, le maximum de la fonction f est l'ordonnée du plus "haut " point de la courbe représentative de f. b) Minimum d'une fonction : Sur l'ensemble de définition D, le minimum de la fonction f est la valeur de f (x) la plus petite atteinte par la fonction. Graphiquement, le minimum de la fonction f est l'ordonnée du plus "bas " point de la courbe représentative de f. c) Remarque : Un extrémum est soit un minimum,soit un maximum.

2 3) Tableau de variation d'une fonction : Exemple : 2 On dira que 5 est un maximum local. C'est le maximum de la fonction sur l'intervalle [ 2 ; 0 ]. 4) Tableau de variation des fonctions de référence : a) Sens de variation de la fonction carré La fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; + [. Le minimum de la fonction carré est 0. Il est atteint pour x = 0. On peut donc dire que pour tout x, x² 0. Ordre et fonction carré : 2 < 5 donc 2² < 5² car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + [. 6 < 3 donc ( 6)² > ( 3)² car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0 ]. Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On dira que la fonction carré conserve l ordre sur [ 0 ; + [ Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. On dira que la fonction carré inverse l ordre sur ] ; 0 ]. Application : 0 Résoudre algébriquement : x² = 0 ; x² = 5 ; x² = 3 ; x² > 0 ; x² < 6 ; x² 4 ; x² = 2x.

3 b) Sens de variation de la fonction inverse : 3 La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [. Attention : On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur son domaine de définition. Ordre et fonction inverse : 2 < 5 donc 2 > 5 6 < 3 donc 6 > 3 car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0 ; + [. car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0 [. La fonction inverse inverse l ordre sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [ Application : Résoudre algébriquement : x = 0 ; x = ; x = 2 ; x > 3 ; x < ; x 2 ; x = x + 2. c) Sens de variation de la fonction racine carrée : 0 La fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0; + [ Le minimum de la fonction racine carrée est 0 c est-à-dire que pour tout x,. Ordre et fonction racine carrée : 2 < 5 donc 2 < 5 car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0 ; + [. Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées. On dira que la fonction racine carrée conserve l ordre sur [ 0 ; + [. d) Sens de variation de la fonction cube : 0 La fonction cube est strictement croissante sur IR. Ordre et fonction cube : 2 < 5 donc 2 3 < 5 3 car la fonction cube est strictement croissante sur IR. 6 < 3 donc ( 6) 3 < ( 3) 3 car la fonction cube est strictement croissante sur IR. Deux nombres sont rangés dans le même ordre que leurs cubes. On dira que la fonction cube conserve l ordre sur IR.

4 II. Résolutions graphiques d'équations et d'inéquations : f et g sont des fonctions numériques définies sur D et dont les courbes représentatives sont C f et C g. 4 ) Résolution graphique d'équations : a) Du type f (x) = k avec k IR. Résoudre f (x ) = k revient à trouver les antécédents de k par f. des points de la courbe C f ayant pour ordonnée k. Cas particulier : k = 0. Résoudre f (x ) = 0 revient à trouver les abscisses des points de la courbe C f ayant pour ordonnée 0 c'est-à-dire les abscisses des points d'intersection de la courbe C f avec l'axe des abscisses. b) Du type f (x) = g (x ). des points d'intersection des courbes C f et C g. c) Exemple : Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par : = ( x + 3 )² + 4 et g(x) = 4 ( x )² 3 Résoudre graphiquement = 0 ; g(x) = 6 ; = g(x).

5 2) Résolution graphique d'inéquations : a) du type f (x) > k avec k IR. 5 des points de la courbe C f ayant une ordonnée supérieure à k. (situés au dessus d'une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point d'ordonnée k ) Cas particulier : k = 0. Résoudre f (x ) > 0 revient à trouver les abscisses des points de la courbe C f ayant une ordonnée supérieure à 0 c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe C f situés au dessus de l'axe des abscisses. b) du type f (x) > g (x ). Les solutions d'une telle équation sont les abscisses des points de la courbe C f situés au dessus de C g. c) Exemple : Reprendre le graphique du paragraphe c) et résoudre graphiquement > 3 ; g(x) 0 ; g(x)