MOMENT D UNE FORCE MOMENT CINETIQUE

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1 MMENT D UNE RCE MMENT CINETIQUE I Moent d une force Le oent d une force, appliquée en un point M, par rapport à un point, est défini par : = M M : oent de par rapport à en N. ( J) (le oent scalaire peut être perçu coe l énergie pour ettre en rotation un objet autour d un axe défini par la direction du vecteur oent et dans un sens lié au sens du vecteur oent). = ( ) support : M & sens: défini par le sens de rotation intensité : M sin M, = Le sens du vecteur oent est définit à l aide du produit vectoriel. En clair, M, M et doivent forer un trièdre direct (règle du tire-bouchon ou des trois doigts). Si la force fait tourner le vecteur M dans le sens trigonoétrique direct, alors M «rentre» dans la feuille et inverseent (êe coporteent qu une vis qu on tourne dans un sens ou dans l autre). Le oent scalaire est axiu pour un angle entre les deux vecteurs de 90 et est nul lorsqu ils sont colinéaires. Il peut être aussi calculer rapideent par le produit de la distance orthogonale d(,) (bras de levier) et de l intensité de la force : = d. d ( ) M II Moent cinétique Le oent cinétique d une asse de quantité de ouveent p, située au point M, par rapport à un point, est défini par : L = M p L : oent cinétique de par rapport à en kg..s -1

2 Les règles du produit vectoriel sont donc toujours appliquées (pour le sens, la direction et l intensité). L = M V sin M, p Tout coe le oent d une force, le oent cinétique dépend donc du point choisi. Le oent cinétique est nul si les vecteurs M et p sont colinéaires. L p Dans le cas particulier d un ouveent de rotation autour de, on a L M = rv. III Théorèe du oent cinétique Le théorèe du oent cinétique établit un lien entre la variation du oent cinétique et le oent de la force en un êe point. Ce théorèe est l équivalent du principe fondaental de la dynaique qui établit un lien entre la variation de quantité de ouveent et la force appliquée. dt = d P M dt = M d P d ( M P) = dm P + M d P = V dt V + M d P = 0 = M d P M dt = d M p dt = d L donc = d L ( ) dt Rearques : - on a utilisé le PD, il faut donc être dans un référentiel Galiléen. - ce théorèe est donc valable êe avec une asse variable. - pour le vecteur vitesse du point (dérivée du vecteur M) existe, il que soit fixé. L t + ( dt ) L ( t ) or dt

3 IV Application : systèe atériel isolé 1) Systèe feré de points atériels Soit un systèe isolé constitué de deux points atériels exerçant l un sur l autre une force. D après le principe d action et de réaction on a : = 1 1 ( M1 1) dt = d ( L1 ) ( M 1 ) dt = d ( L ) ( M1 1 + M 1 ) dt = d ( L1 + L ) 0 M M dt = d L + L = car M = M Le résultat ci-dessus est valable pour un systèe isolé de n points atériels. Il en résulte la loi de conservation du oent cinétique d un systèe isolé. ) Systèe feré de n points atériels n ext ( M ) + ( M ) dt = d ( L ) i j i i k i i j, j i k n n n n ext ( M ) + ( M ) dt = d ( L ) i j i i k i i i j, j i i k i = 0 soe des oents ext / Ltotal / n n ext ( M ) dt = d L = d ( L ) i k i i tot i k i = d L ext / tot / V Application : ouveent à force centrale Mouveent d un point atériel autour d un point fixe souis à une force toujours dirigée vers ce point fixe (exeple : un satellite assiilé à un point autour du centre de la Terre). = = = L = M V = cste ( ) M 0 d ( L )

4 Cela iplique que le ouveent du point M est contenu dans un plan orthogonal au vecteur oent cinétique. z Mouveent à force centrale: coordonnées polaires L 0 k θ uθ uρ ρ ρdθ dθ M dρ y x dθ ρ dt dθ = C d = C dt dt 1 C ρ dθ = ds ds = dt L = = cste ρ ρ θ ds est la surface balayée par le vecteur M pendant un instant dt. C S = t + C n peut donc en conclure que pour des durées égales, les surfaces balayées par le rayon vecteur sont égale. Cette loi est connue sous le no de loi des aires ou encore deuxièe loi de Kepler (relative aux ellipses forées par les trajectoires des satellites et des planètes). t+ t θ θ 1 S 1 S t+ t t S 1 = S En général, θ 1 est différent de θ

5 VI Moent d un couple Un couple est constitué de forces égales et opposées (êe odule, êe direction, de sens opposé, ais pas colinéaires). Son oent est la soe de chacun des oents: ( ) = M 1 ( ) + M soit : ( ) = M + M 1 qui s'écrit finaleent : = M M 1 Contraireent au oent d'une force, celui d'un couple est donc indépendant de l origine choisie. Il est nul si les forces sont colinéaires, ce qui se conçoit aiséent. VII Moent par rapport à un axe En écanique de rotation des solides, ou tout sipleent lorsqu on serre une vis, c est le oent par rapport à l axe (de la vis par exeple) qui est la valeur "efficace". Si le point est sur cet axe, et si n est un vecteur unitaire de cet axe, le oent "efficace" par rapport à l axe est donné par le scalaire : Μ = n Si le produit scalaire est > 0, le oent engendre une rotation dans le sens du tire-bouchon. Pour résoudre de petits problèes, tels que celui du treuil et de sa anivelle, ou de la balance roaine, précisons que, pour qu un systèe en rotation autour d un axe ne soit pas accéléré (entre autres cas, iobile), il faut que la soe des oents, par rapport à cet axe, des forces extérieures appliquées soit nulle.

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