T ES/L DEVOIR SURVEILLE 6 23 MAI 2014

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1 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 6 23 MAI 2014 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-4,5 points - (20 min) est la fonction définie sur [0; 1] par 1. Justifier que est une fonction de densité sur [0; 1]. 2. est une variable aléatoire qui suit la loi de densité. Calculer les probabilités des événements suivants : a) 3. Déterminer E(X). b) ( [ ]) Exercice 2-4,5 points - (20 min) La variable X suit la loi normale N (180;10,5²). Les résultats seront arrondis à 10 3 près. 1. Déterminer les probabilités suivantes : a) b) c) d) 2. Déterminer le réel a tel que 3. Déterminer le réel b tel que P Page 1 sur 5

2 Exercice 3-8,5 points - ( environ 1h) Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis à 10 4 près. Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne. Les bois proviennent de deux fournisseurs A et B. PARTIE A Dans le stock de cette usine, 75 % des bois proviennent du fournisseur A. On constate que 9 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur A et 13 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur B présentent un léger défaut qui ne justifie pas le déclassement des lames. On prélève au hasard une lame. On considère les évènements suivants : A : «la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur A» ; B : «la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur B» ; D : «la lame prélevée a un léger défaut». 1. Calculer la probabilité. 2. Calculer la probabilité que la lame a un léger défaut. 3. Calculer la probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A. PARTIE B On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1. Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de 40 lames. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. 2. Calculer l'espérance mathématique E(X). Interpréter le résultat. 3. Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut. 4. Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut. Page 2 sur 5

3 PARTIE C Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames. On admet que la loi de la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale de moyenne 40 et d'écart type Déterminer la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut. 2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de lames ayant un défaut. En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une probabilité proche de 0,95. PARTIE D Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue p de clients satisfaits par son produit. Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise. Lors de ce sondage, 156 clients se sont déclarés satisfaits par son produit. 1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p de clients satisfaits. 2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion p avec le coefficient de confiance 95 %. Arrondir les bornes de l'intervalle à Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son produit? Page 3 sur 5

4 Exercice 4-4,5 points - (20 min) On considère une fonction : définie, continue et doublement dérivable sur l intervalle [ [ strictement croissante sur l intervalle [ ] ; strictement décroissante sur les intervalles [ ] et [ [. On note la fonction dérivée de et la fonction dérivée seconde de sur l intervalle [ [. La courbe C, tracée ci-dessous, représente la fonction orthogonal. Elle passe par les points A( 1; 6), B (0; 2), D (1; 2) et E (2; 6). Elle admet au point D une tangente passant par le point G (0; 4). Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale. dans le plan muni d un repère 1. Déterminer et. Justifier les réponses. 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D. 3. On admet que l équation admet, sur l intervalle [ 1; + [, trois solutions que l on notera et avec. Dresser le tableau de signes de la fonction. 4. Parmi les trois courbes suivantes,,,, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente et celle qui représente.

5 Exercice 5-8 points - Page 4 sur 5 (40 min) Soit la fonction définie pour tout réel strictement positif par. 1. Résoudre l'inéquation. 2. On note la dérivée de la fonction, calculer. 3. Étudier les variations de et dresser le tableau de variation de. 4. a) Montrer que la fonction G définie sur ] [ par est une primitive de la fonction définie pour tout réel strictement positif par. En déduire une primitive F de la fonction sur ] [. b) Étudier la convexité de la fonction F. 5. On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé. Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations et. On admettra qu une primitive de la fonction sur ] [ est Page 5 sur 5

6 T ES/L CORRECTION DEVOIR SURVEILLE 6 23 / 05 / 2014 Exercice 1-4,5 points - (20 min) est la fonction définie sur [0; 1] par 1. Justifier que est une fonction de densité sur [0; 1]. On sait que : - est une fonction continue sur [ ] - est positive sur [ ] car - [ ] [ ] Donc est une fonction à densité sur [ ] 2. est une variable aléatoire qui suit la loi de densité. Calculer les probabilités des événements suivants : a) [ ] [ ] b) ( [ ]) [ ] 3. Déterminer E(X). [ ] [ ] Exercice 2-4,5 points - (20 min) La variable X suit la loi normale N (180;10,5²). Les résultats seront arrondis à 10 3 près. 1. Déterminer les probabilités suivantes : On détermine les probabilités à l'aide de la calculatrice : 2. Déterminer le réel a tel que. Avec la calculatrice, on trouve 3. Déterminer le réel b tel que P.

7 Exercice 3-8,5 points - ( environ 1h) Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis à 10 4 près. Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne. Les bois proviennent de deux fournisseurs A et B. PARTIE A Dans le stock de cette usine, 75 % des bois proviennent du fournisseur A. On constate que 9 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur A et 13 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur B présentent un léger défaut qui ne justifie pas le déclassement des lames. On prélève au hasard une lame. On considère les évènements suivants : A : «la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur A» ; B : «la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur B» ; D : «la lame prélevée a un léger défaut». 1. Calculer la probabilité. 75 % des bois proviennent du fournisseur A D'où et. Alors La probabilité qu'une lame provienne de bois du fournisseur B et qu'elle ait un défaut est égale à 0, Calculer la probabilité que la lame a un léger défaut. Représentons la situation à l'aide d'un arbre pondéré : A et B forment une partition de l univers D après la formule des probabilités totales : Or. Donc La probabilité qu'une lame ait un défaut est égale à 0,1 3. Calculer la probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A. La probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A est égale à 0,675 PARTIE B On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1. Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de 40 lames. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise et à chaque tirage il n'y a que deux issues possibles la lame a un défaut ou non. Donc X suit une loi binomiale de paramètres 40 et 0,1.

8 2. Calculer l'espérance mathématique E(X). Interpréter le résultat. L'espérance mathématique est égale à 4. Cela signifie que sur un grand nombre de lots de 40 lames, on trouve en moyenne 4 lames par lot qui ont un défaut. 3. Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut. X suit une loi binomiale de paramètres 40 et 0,1 D'où La probabilité de trouver dans le lot quatre lames qui ont un défaut est égale à 0,2059. REMARQUE : Avec une calculatrice TI on obtient le résultat du calcul de avec binompdf (40,0.1,4) ou binomfdp (40,0.1,4) selon le modèle. 4. Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut. La probabilité de trouver dans le lot au moins deux lames qui ont un défaut est égale à 0,9195. REMARQUE : Avec une calculatrice TI on obtient le résultat du calcul de 1 P(X 1) avec 1-binomcdf (40,0.1,1) ou 1-binomFRép (40,0.1,1) selon le modèle. PARTIE C Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames. On admet que la loi de la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale de moyenne 40 et d'écart type Déterminer la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut. La calculatrice permet de déterminer la probabilité quand Z suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 6 : La probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut est égale à 0, Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de lames ayant un défaut. En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une probabilité proche de 0,95. On a, et Donc les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour un échantillon de taille 400 est : [ ] D où [ ] Dans le lot de 400 lames, le client peut trouver entre 7,06 % et 12,94 % de lames ayant un défaut avec une probabilité proche de 0,95. Comme et Le client pourra trouver entre 28 et 52 lames ayant un défaut avec une probabilité proche de 0,95.

9 PARTIE D Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue p de clients satisfaits par son produit. Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise. Lors de ce sondage, 156 clients se sont déclarés satisfaits par son produit. 1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p de clients satisfaits. 156 clients sur 200 se sont déclarés satisfaits D'où 2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion p avec le coefficient de confiance 95 %. Arrondir les bornes de l'intervalle à La fréquence observée est pour un échantillon de taille 200. L'intervalle de confiance au niveau 95 % est : [ ] Soit en arrondissant les bornes à 10 2, l'intervalle de confiance au niveau 95 % est : [ ]. 3. Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son produit? La proportion inconnue de clients satisfaits n appartient pas nécessairement à l intervalle de confiance. Par conséquent, le fabriquant ne peut pas être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son produit.

10 Exercice 4-4,5 points - (20 min) On considère une fonction : définie, continue et doublement dérivable sur l intervalle [ [ strictement croissante sur l intervalle [ ] ; strictement décroissante sur les intervalles [ ] et [ [. On note la fonction dérivée de et la fonction dérivée seconde de sur l intervalle [ [. La courbe C, tracée ci-dessous, représente la fonction dans le plan muni d un repère orthogonal. Elle passe par les points A( 1; 6), B (0; 2), D (1; 2) et E (2; 6). Elle admet au point D une tangente passant par le point G (0; 4). Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale. 1. Déterminer et. Justifier les réponses. est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f, c est-à-dire à C, au point d abscisse a. est donc le coefficient directeur de la tangente au point D, c est-à-dire de la droite (DG), donc : car la tangente est horizontale au point E. 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D. Cette tangente admet une équation de la forme et on vient de voir que donc. Comme cette tangente coupe l axe des ordonnées à l ordonnée 4,. Donc une équation de la tangente à la courbe au point D est 3. On admet que l équation admet, sur l intervalle [ 1; + [, trois solutions que l on notera et avec. Dresser le tableau de signes de la fonction.

11 4. Parmi les trois courbes suivantes,,,, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente et celle qui représente. Exercice 5-8 points - (40 min) Soit la fonction définie pour tout réel strictement positif par. 1. Résoudre l'inéquation. Sur l'intervalle ] [ le quotient est du même signe que. Or pour tout réel strictement positif, L'ensemble solution de l'inéquation est [ [ 2. On note la dérivée de la fonction, calculer. La fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. On a et avec pour tout réel strictement positif, d'où d'où Soit pour tout réel strictement positif, Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle ] [ par

12 3. Étudier les variations de et dresser le tableau de variation de. Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée. Sur l'intervalle ] [ le quotient est du même signe que. Or pour tout réel strictement positif, D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f x 0 e 1 + f'(x) + 2e f(x) Calcul du maximum : 4. a) Montrer que la fonction G définie sur ] [ par est une primitive de la fonction définie pour tout réel strictement positif par. En déduire une primitive F de la fonction sur ] [. La fonction définie pour tout réel strictement positif par est de la forme avec pour tout réel strictement positif, et Une primitive de la fonction est définie pour tout réel strictement positif par : Par conséquent, une primitive de la fonction définie pour tout réel strictement positif par est la fonction définie par : Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle ] [ par b) Étudier la convexité de la fonction F. La convexité de la fonction se déduit du signe de sa dérivée seconde. Comme F est une primitive de la fonction, la dérivée seconde de la fonction fonction dérivée de la fonction f. Sur l'intervalle ] ] donc la fonction est convexe. Sur l'intervalle [ [, donc la fonction est concave. est la 5. On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé. Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations et. On admettra qu une primitive de la fonction sur ] [ est Sur l'intervalle [ ] la fonction est continue et positive. Par conséquent, l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à l'intégrale ( ) ( ) L'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à 12 unités d'aire.