Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique. Licence Sciences - Langues MATHÉMATIQUES

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1 Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique Licence Sciences - Langues Deuxième année MATHÉMATIQUES Notes de cours François Dumas

2 Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique Licence Sciences - Langues Deuxième année MATHÉMATIQUES Notes de cours François Dumas Ces notes sont organisées en cinq chapitres (trois en analyse consacrés aux séries, deux relevant de l algèbre linéaire et s appliquant en géométrie, incluant de nombreux exercices d application, complétés par des sujets de devoirs des années antérieures. Elles correspondent à un contenu, un niveau et un mode d exposition propres au programme et aux objectifs de la formation concernée. Le fait de les mettre à la disposition des étudiants comme support à leur travail personnel ne signifie pas qu il s agisse d un document parfaitement finalisé, dans sa conception comme dans sa rédaction. Je suis donc par avance reconnaissant à toutes celles et tous ceux qui me signaleront les erreurs, manques, imperfections, coquilles,... qu il contient immanquablement. version du 23 mars 205 Francois.Dumas@univ-bpclermont.fr

3 Table des matières Séries numériques 5. Notion de série Terminologie des séries Convergence d une série Exemples classiques Espace vectoriel des séries convergentes Exercices Séries à termes réels positifs Critère de majoration Séries de Riemann Règle de d Alembert Règle de Cauchy Exercices Séries numériques à termes quelconques Convergence absolue Séries (réelles alternées Exercices Résultats complémentaires Produit de deux séries Le problème de la sommation par paquets Le problème de l ordre des termes Comparaison entre séries et intégrales Séries de fonctions Suites de fonctions Convergence simple et convergence uniforme Convergence uniforme et continuité Convergence uniforme sur tout segment Convergence uniforme, intégration et dérivation Exercices Séries de fonctions et convergence normale Convergence simple et uniforme d une série de fonctions Convergence normale Exercices Séries de Fourier

4 2.3. Coefficients de Fourier Convergence de la série de Fourier Exercices Séries entières 4 3. Convergence des séries entières Rayon de convergence d une série entière Convergence normale d une série entière Fonctions définies par la somme d une série entière Cas réel : application aux équations différentielles Exercices Développement en séries entières Fonction développable en série entière Exemples classiques Exercices Réduction des endomorphismes Notions générales sur les valeurs propres Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Exemples de problèmes de valeurs propres Polynôme caractéristique Multiplicité d une valeur propre Quelques exemples explicites de différentes situations possibles Théorème de Cayley-Hamilton Exercices Diagonalisation Endomorphisme diagonalisable, matrice diagonalisable Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité La question de la trigonalisabilité Exercices Applications de la diagonalisation Application au calcul des puissances d une matrice Application à l étude de suites récurrentes Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires Exercices Espaces vectoriels euclidiens Produit scalaire et norme euclidienne Notion de produit scalaire Orthogonalité Représentation des formes linéaires Familles orthogonales de polynômes Quelques propriétés classiques (sous forme d exercices Exercices Groupe orthogonal Endomorphismes orthogonaux

5 5.2.2 Matrices orthogonales Orientation et produit mixte Exercices Endomorphismes symétriques Transposition Diagonalisation des endomorphismes symétriques Exercices Applications géométriques Description des isométries vectorielles en dimension Angles Description des isométries vectorielles en dimension Exercices Annexe : archives de sujets de devoirs, chapitres,2,3 09 Annexe 2 : archives de sujets de devoirs, chapitres 4,5 25 4

6 Chapitre Séries numériques Conformément à ce que prévoit le programme, ce chapitre est plus précisément consacré à l étude des séries à termes réels ou complexes. La question de départ (qui remonte aux mathématiques grecques, comme le fameux paradoxe d Achille et la tortue est celui du comportement d une somme de N nombres u n qui deviennent de plus en plus petits. Quand n croît (voire tend vers l infini, chaque terme u n décroît (voire tend vers 0 mais le nombre N de termes dans la somme augmente (voire tend vers l infini. Qu en est-il alors de la valeur de la somme? tend-elle vers l infini? ou vers une valeur finie? Prenons dans un premier temps tous les termes positifs pour simplifier (il ne peut alors pas y avoir dans la somme de compensation entre des positifs et des négatifs. La petite exploration numérique suivante semble montrer que les situations peuvent être variées... N valeur de S N = N valeur de T N = N 2 2 3/2 =.5 5/4 =.25 3 / / / / / / / / / / / / / / / / Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et. désigne respectivement la valeur absolue ou le module. 5

7 . Notion de série.. Terminologie des séries Soit (u n n 0 une suite déléments de K. Posons pour tout N N : S N = u 0 + u + u u N = N u n K. S N s appelle la N-ième somme partielle associée à la suite (u n n 0. On introduit ainsi une nouvelle suite (S N N 0 dans K N, dite suite des sommes partielles associée à (u n n 0. On appelle série numérique la donnée d un couple formé par une suite (u n n 0 d éléments de K et la suite de ses sommes partielles. On note cette série : n 0 u n, ou plus simplement u n. L élément u n s appelle n-ième terme, ou terme général de la série. Une série dont le terme général est dans R s appelle une série réelle. Ce vocabulaire reste valable pour une suite (u n n p définie à partir d un certain rang p ; on note n p u n la série associée...2 Convergence d une série a Définitions. On dit qu une série numérique n 0 u n converge lorsque la suite (S N de ses sommes partielles converge dans K. Dans ce cas, la limite de la suite (S N s appelle la somme de la série n 0 u n. On la note : + u n. Donc : pour une série convergente n 0 u n, on a : + u n = lim N + N u n K. On dit qu une série numérique diverge lorsqu elle ne converge pas. On dit que deux séries numériques sont de même nature lorsqu elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Le lemme suivant exprime que : la nature d une série n est pas modifiée lorsque l on change l indice de départ ; mais quand il y a convergence, la valeur de la somme peut être modifiée. b Lemme (Changement d indice de départ. Soient n 0 u n une série numérique, et p N. Alors, les séries n 0 u n et n p u n sont de même nature. De plus, si elles convergent, on a : + u n = + u n + n=p p u n. Preuve. Cela résulte directement de l égalité (pour N p : N u n = N n=p u n + p u n c Proposition (Condition nécessaire de convergence. Si une série numérique converge, alors son terme général tend vers 0. Plus précisément, si la série u n converge, alors la suite (u n converge vers 0. Preuve. Soit u n une série convergente ; notons S sa somme. Si (S n désigne la suite des sommes partielles, on a u n = S n S n pour tout n. Comme (S n converge vers S, il est clair que (S n S n converge vers 0. Cette proposition indique qu une série numérique u n telle que la suite (u n ne converge pas vers 0 est nécessairement divergente. On dit alors qu elle est grossièrement divergente. 6

8 Attention! Cette condition du c est nécessaire mais non suffisante. Il existe des suites (u n tendant vers 0 telles que la série u n diverge. (cf. exemples ci-dessous d Remarque (critère de Cauchy. On sait que, dans R ou C, toute suite de Cauchy est convergente. Donc une série u n numérique converge si et seulement si la suite des sommes partielles est de Cauchy, c est-à-dire : p ε > 0, N N, n N, p, u n+k < ε, en remarquant que S n+p S n = n+p k=0 u k n u k = k=0 n+p k=n+ e Remarque (partie réelle et partie imaginaire. On sait qu une suite de nombres complexes (u n converge dans C si et seulement si les suites réelles (Re u n et (Im u n convergent dans R, et que dans ce cas lim u n = lim Re u n + i lim Im u n. En appliquant cela à la suite des sommes partielles d une série de nombres complexes, on déduit que : Soit u n une série complexe. Pour tout n 0, notons u n = x n + iy n avec x n, y n R. La série complexe u n converge si et seulement si les séries réelles x n et y n convergent. Dans ce cas, on a : + u n = + x n + i + y n...3 Exemples classiques a Série géométrique. Fixons z K, et posons u n = z n pour tout n N. La série n 0 u n ainsi définie s appelle la série géométrique de raison z. Elle est convergente si et seulement si z <, et dans ce cas sa somme est + z n = z. En effet : si z, le terme général u n = z n ne tend pas vers 0, donc la série est grossièrement divergente. Si z <, alors S N = N zn = zn+ z, donc lim S N = N z, donc n 0 zn est convergente de somme z. b Série harmonique. Posons u n = n pour tout n N. La série n u n ainsi définie s appelle la série harmonique. Elle est divergente (bien que son terme général tende vers 0. En effet : Pour tout N, on a la minoration S N = N Or, N ln( + k = N k= k= ln( k+ k k= u k. k= k N ln( + k. k= = N (ln(k + ln k = ln( + N. Donc S N ln( + N. k= Comme ln( + N tend vers + quand N tend vers +, on en déduit que la suite (S N N diverge vers +, et donc la série de terme général n est divergente. c Série harmonique alternée. Posons u n = ( n n définie s appelle la série harmonique alternée. Elle est convergente de somme : + En effet : n k= ( k k = n ( k 0 tk dt = k= 7 0 k= pour tout n N. La série n u n ainsi n ( t k dt = 0 n= ( t n +t dt. ( n n = ln 2.

9 On scinde cette dernière intégrale en : ( t n 0 +t dt = 0 Or 0 dt +t = ln 2, et par ailleurs 0 0 t n +t dt 0 tn dt = n+ dt +t + ( n+ 0 donc lim n + 0 t n +t dt. t n +t dt = 0. On conclut que la suite (S n des sommes partielles converge vers ln 2. Donc la série de terme général ( n n est convergente et sa somme est + ( n n = ln 2. d séries dites téléscopiques. On désigne par ce terme familier des séries dont le terme général u n peut s exprimer sous la forme u n = v n+ v n pour une certaine suite (v n. On calcule alors les sommes partielles sous la forme : S N = N (v n+ v n = v v 0 + v 2 v + v 3 v v N v N + v N+ v N = v N+ v 0. On en déduit que, si la suite (v n converge vers une limite l, alors la suites (S N converge vers l v 0, et donc la série de terme général u n est convergente et sa somme est l v 0. Par exemple, la série n n= n(n+ est convergente, de somme + n= n(n+ =. En effet : Posons u n = n(n+ pour tout n. On remarque que u n = n n+. Donc, pour N, on a : S N = N N+ = N+. La suite (S N N converge donc vers. e Remarque. Il est rare dans la pratique que l on puisse ainsi faire un calcul direct de la somme d une série convergente. La plupart des résultats que l on va voir dans la suite permettent seulement de déterminer la nature d une série...4 Espace vectoriel des séries convergentes a Définitions (somme de deux séries, produit d une série par un scalaire. Soient u n et vn deux séries numériques. Leur somme est la série de terme général u n + v n. Si de plus λ K, le produit externe de u n par λ est la série de terme général λu n. b Proposition. Soient u n et v n deux séries numériques convergentes. Alors, pour tous λ, µ K, la série (λu n + µv n converge, et sa somme est : + (λu n + µv n = λ + u n + µ + v n. Preuve. On applique aux sommes partielles les résultats correspondants sur les suites. c Corolaire. Les séries numériques dans K forment un K-espace vectoriel, et les séries convergentes en forment un sous-espace. Preuve. Résulte de la structure d espace vectoriel de K N, et du b ci-dessus...5 Exercices Exercice. Montrer que la somme d une série convergente et d une série divergente est nécessairement divergente. Montrer par deux exemples bien choisis que la somme de deux séries divergentes peut être convergente ou divergente. Exercice 2. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer si la série de terme général u n converge, et si oui calculer sa somme. 8

10 a u n = sin n, b u n = ln( n 2, c u n = arctan +n+n 2. Exercice 3 (Série de Tannery. Soit x un réel différent de et de. On considère la série de terme général : u n = 2x2n x 2n+. t A partir de l égalité t 2 = t t 2 pour tout réel t ±, montrer que les sommes partielles S p = p u n vérifient S p = 2 x 2. Conclure que la série u x 2p+ n est convergente, et calculer sa somme en distinguant suivant que x > ou que x < Exercice 4 (Une autre preuve de la divergence de la série harmonique. Considérons les sommes partielles S m = m n= n, avec m. Montrer que : S 2m S m = m+ + m m 2. En déduire que la suite (S n n est pas de Cauchy. Conclure que la série harmonique est divergente. Exercice 5 (Une autre preuve de la divergence de la série harmonique. Considérons les sommes partielles S n = n k= ln n k, avec n. Montrer que l entier m = E( ln 2 vérifie n 2 m et S n S 2 m. Montrer que : S 2 m = m ( 2 j + + j= 2 j j + m 2. Déduire que lim S 2 m = +. Conclure que la série harmonique est divergente..2 Séries à termes réels positifs.2. Critère de majoration a Lemme. Soient u n une série réelle telle que u n 0 à partir d un certain rang p. Pour tout N p, notons S N = N u n. La série u n converge si et seulement si la suite (S N est majorée. n=p Preuve. Comme u n 0 pour tout n p, la suite (S N N p est croissante. D après les résultats connus sur les suites réelles croissantes, ou bien (S N est majorée, et alors elle converge, ou bien elle n est pas majorée, et alors elle tend vers +. D où le résultat. b Théorème (fondamental. Soient u n et v n deux séries réelles telles que, à partir d un certain rang p, on ait : 0 u n v n pour tout n p. (i Si v n converge, alors u n converge, et dans ce cas : 0 + u n + v n. (ii Si u n diverge, alors v n diverge. Preuve. Pour tout N p, notons S N = N u n et T N = N v n. n=p D après l hypothèse, les suites (S N N p et (T N N p sont croissantes, et vérifient S N T N pour tout N p. Supposons que v n converge ; d après le lemme a, la suite (T N est majorée, donc (S N l est, et en réappliquant le lemme, on conclut que la série u n converge. En appliquant le théorème de passage à la limite dans les inégalités, on a lim S N lim T N, ce qui achève de prouver (i. Le point (ii s en déduit par contraposition. 9 n=p n=p n=p

11 c Corollaire (critère de domination. Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs à partir d un certain rang. On suppose que u n = O(v n au voisinage de l infini [rappelons que cela signifie qu il existe p N et α R + tel que l on ait 0 u n αv n pour tout entier n p]. (i Si v n converge, alors u n converge. (ii Si u n diverge, alors v n diverge. Preuve. Comme le produit d une série convergente par un scalaire est une série convergente (cf...4, on applique le théorème précédent aux séries u n et αv n. d Corollaire (critère d équivalence. Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs à partir d un certain rang. Si u n et v n sont équivalents au voisinage de, alors les séries u n et v n sont de même nature. Preuve. Par hypothèse, on a à partir d un certain rang : u n = v n ( + r n, avec (r n suite tendant vers 0. Traduisons cette limite pour ε = 2 : il existe N N tel que pour tout n N, on a : 2 < r n < 2 donc 2 < + r n < 3 2. Donc, à partir d un certain rang, on a : 0 2 v n u n = v n ( + r n 3 2 v n. Ceci prouve que u n = O(v n et v n = O(u n. On applique alors le corollaire précédent. Donnons tout de suite un exemple très important d application de ces théorèmes..2.2 Séries de Riemann a Définition. On appelle série de Riemann une série de la forme n b Théorème. La série de Riemann n Preuve. On raisonne en deux cas : n α converge si et seulement si α >. n α, où α est un réel fixé. Si α, alors n α n, donc n α n > 0. Comme la série harmonique diverge comme on l a vu au b de..3, on applique.2..b.(ii pour conclure que n diverge. α Si α >, posons β = α > 0 ; définissons a n = et b n β n = a n a n+ pour tout n. Comme β > 0, on a : a n+ < a n donc b n > 0. Formons pour N la somme partielle S N = N b n = a a 2 + a 2 a a N a N+ =. Comme β > 0, la suite (N+ β n= (S N converge vers. Ainsi, la série b n converge (et sa somme est. Or n β+ est équivalent à β b n au voisinage de. en effet : b n = n β (n+ β = n β [ ( n n+ β] = n β [ ( + n β] On utilise le d.l. : ( + n β = β n + n ε n avec lim n ε n = 0. [ Donc : b n = n β β n n ε ] [ n = β n β+ β ε ] n Ainsi est équivalent à β b n β+ n. Comme la série b n converge, il en est de même de β b n ; il s agit d une série à terme réels positifs. On applique le d de.2. pour conclure que n α n α = converge dans ce cas. c Corollaire (Règle de comparaison avec une série de Riemann. Soit u n une série à termes réels positifs. 0

12 (i S il existe un réel α > tel que lim n n α u n = 0, alors la série u n converge. (ii S il existe un réel 0 < α tel que lim n n α u n = +, alors la série u n diverge. Preuve. Traduisons d abord lim n n α u n = 0 pour ε = ; il existe N N tel que : pour tout n N, on a : 0 n α u n <, donc 0 u n < Comme α >, n converge d après le b ci-dessus, d où u α n converge d après.2..b. Traduisons maintenant lim n n α u n = + pour ε = ; il existe N 2 N tel que : pour tout n N 2, on a : n α u n >, donc u n > Comme 0 < α <, n α diverge d après le b ci-dessus, d où u n diverge d après.2..b. n α. n α. d Exemple. Soit a R fixé. La série exp[ (ln n a ] converge si et seulement si a >. En effet : En effet, posons u n = exp[ (ln n a ]. Si a =, alors u n = n, donc u n est la série harmonique ; on sait qu elle diverge. On suppose donc maintenant a. En vue d utiliser le corollaire ci-dessus, on forme : n α u n = exp(α ln n (ln n a pour un α > 0. Or : lim (α ln n (ln n + na = lim (ln n(α (ln n + na = { si a > + si a < Si a >, alors lim n n α u n = 0 pour tout α > 0. On applique à α = 2 pour conclure avec le point (i du corollaire précédent que u n converge. Si a <, alors lim n n α u n = + pour tout α > 0. On applique à α = pour conclure avec le point (ii du corollaire précédent que u n diverge. e Remarque. Il est clair que, dans le point (i de l énoncé c, on peut remplacer la condition lim n n α u n = 0 pour un α > par la condition plus faible : il existe α > telle que la suite de réels positifs (n α u n soit majorée..2.3 Règle de d Alembert a Proposition. On considère une série réelle u n telle que u n > 0 à partir d un certain rang. On suppose que la suite ( u n+ u n admet une limite l R+. (i Si l <, alors la série u n converge. (ii Si l >, alors la série u n diverge. Preuve. Supposons d abord l <. Choisissons un réel λ tel que l < λ <. Traduisons lim ( u n+ u n = l pour ε = λ l > 0 ; il existe N N tel que : pour tout n N, on a u n > 0 et l ε < un+ u n < l + ε = λ. Ainsi, pour n N, on a : 0 < u n+ u n < λ. On déduit : u N+ u N u N+2 u N+ u n u n 2 un u n < λ n N, d où u n u N < λ n N. Par suite, pour tout n N, on a u n < (u N λ N λ n, et donc u n = O(λ n Or, comme 0 < λ <, la série géométrique λ n converge (cf. a du..3 ; on applique d de.2. pour conclure que u n converge. Pour montrer (ii, supposons l >. Choisissons un réel ε tel que 0 < ε < l. Traduisons lim ( u n+ u n = l pour ce ε ; il existe N0 N tel que : pour tout n N 0, on a : u n > 0 et < l ε < u n+ u n < l + ε, et donc u n+ > u n. Ainsi, la suite (u n est croissante à partir du rang N 0. Elle est donc minorée par u N0 > 0. Elle ne peut donc pas converger vers 0. D après la proposition c de..2, la série u n est grossièrement divergente.

13 b Exemple : La série de terme général u n = n! n n converge. En effet, on a u n > 0 pour tout n, et : u n+ u n = ( n n ( n+ = + n ( ( n = exp n ln + n qui tend vers exp( quand n +. Comme e <, on conclut que la série u n converge. ( c Remarque. Si lim un+ n u n =, il se peut que un converge ou qu elle diverge (prendre par exemple : u n = n et u n =. De même lorsque ( u n+ n 2 u n n admet pas de limite. ( Si lim un+ n u n = +, on a un+ > u n > 0 à partir d un certain rang, donc u n est grossièrement divergente (comme à la fin de la preuve du cas (ii du théorème a..2.4 Règle de Cauchy a Proposition. On considère une série réelle u n telle que u n > 0 à partir d un certain rang. On suppose que la suite (u n n admet une limite l R +. (i Si l <, alors la série u n converge. (ii Si l >, alors la série u n diverge. Preuve. On raisonne comme dans la preuve de.2.3 Supposons d abord l <. Choisissons un réel λ tel que l < λ <. Comme dans la preuve du a de.2.3, il existe N N tel que, pour tout n N, on a : 0 < (u n n < λ, donc 0 < u n < λ n. La série géométrique λ n converge puisque λ <, donc u n converge d après.2..b.(i. Supposons maintenant l >. Comme dans la preuve du a de.2.3, il existe N 0 N tel que, pour tout n N, on a : (u n n > donc u n >. Dès lors, la suite (u n ne peut pas converger vers 0. D après la proposition c de..2, la série u n est grossièrement divergente. b Exemple : la série ( n+ n (( 2n converge, car n+ n limn n 2n = 2 <. c Remarques. On peut montrer que si la règle de d Alembert s applique, alors la règle de u Cauchy aussi, c est-à-dire que si lim n+ n u n = l R +, alors lim n u /n n = l. Néanmoins, il est souvent plus commode d étudier la suite ( u n+ /n u n que la suite (u n. ( Réciproquement, on peut avoir lim n (u n n = l R + sans que lim un+ n u n existe. Contre-exemple : soit (u n définie par u 2p = u 2p+ = 2 p pour tout p N. D une part lim p (u 2p 2p = lim p (u 2p+ 2p+ = 2, ce qui est suffisant pour conclure que lim n (u n n = 2 (résultat classique d analyse réelle ou complexe, voir aussi chapitre 3 de ce cours. D autre part, la suite ( u n+ u n vaut alternativement et 2, donc ne converge pas. Pour conclure : on dispose ainsi de nombreux résultats techniques pour étudier les séries à termes réels positifs. L un de leurs intérêts réside dans le théorème.3..b de la section suivante. 2

14 .2.5 Exercices Exercice. Déterminer la nature des séries de termes général u n défini par : u n = n(n +, u n = n(n2 +, u n = 2n n + 2 n, u n = n! n n, u n = Exercice 2. Déterminer la nature des séries de termes général u n défini par : u n = 2 + cos n n p avec p Z fixé, u n = 5n + 2 n, u n = (n4 + /3 n(n /2. Exercice 3. Déterminer la nature des séries de termes général u n défini par : n n /n u n = 2n n 2 sin2n α avec 0 < α π 2 et u n = a n sin 2 (nα avec α R, 0 < a <. Exercice 4. Soient a, b R + et α R. Déterminer la nature de la série (an + b α. Exercice 5. Soit a R +. Déterminer la nature des séries de termes général u n défini par : u n = an n!, u n = n! a n, u n = na n, u n = an n n. Exercice 6. Déterminer la nature des séries de termes général u n défini par : u n = 2, u n n = ( + n n n. Exercice 7. Soient α R, x > 0, a b 0. Déterminer la nature des séries de termes général : n α u n = ( + x( + x 2 ( + x n et u n = ( n 2 + an + 2 n 2 + bn + n. Exercice 8 (Règle de Raabe et Duhamel. Soit (u n une suite de réels positifs à partir d un certain rang. On suppose que lim n( u n n + u n+ = λ existe (finie ou non. Montrer que, si λ >, alors la série u n converge, et que si λ <, alors la série u n diverge. Appliquer au séries de terme général : u n = 3 5 (2n 3 5 (2n, u n = (2n (2n + 2, u n = (n!2 2 2n (2n +!, u n = (n! n k= ln( + k. Exercice 9. Soient α, β deux réels tels que 0 < β < < α. On définit une suite (u n par u 0 = 0, u n = si n est une puissance de 2, et u n β n = n sinon. Montrer que la série u α n converge, mais que la suite ( un+ u n n est pas bornée et n admet pas de limite. Exercice 0. Déterminer la nature des séries de termes général u n défini par : u n = π ( n 2 arcsin et u n = [ ( ] n + sin cos n n. ln n 3

15 .3 Séries numériques à termes quelconques On se place de nouveau dans le cadre général de séries de terme général dans K = R ou C (pas nécessairement dans R Convergence absolue a Définition. Une série numérique n 0 u n est dite absolument convergente lorsque la série à termes réels positifs n 0 u n est convergente. b Théorème. Soit 0 0 u n une série numérique. Si elle est absolument convergente, alors elle est convergente. De plus, on a dans ce cas + u n + u n Preuve. Pour tout p N, notons S p = p u n et T p = p u n. Fixons ε > 0 quelconque. Par hypothèse, n 0 u n converge, donc la suite (T p p 0 convergente. Il en résulte en particulier qu elle est de Cauchy : il existe donc N 0 N tel que : q pour tous q > p N 0, on a T q T p < ε, c est-à-dire u n < ε. n=p+ q Or, par inégalité triangulaire, u n q u n < ε, c est-à-dire S q S p < ε. Ceci n=p+ n=p+ prouve que la suite (S p p 0 est une suite de Cauchy dans K. Or on sait que, dans K = R ou K = C, toute suite de Cauchy est convergente (R et C sont complets. Donc la suite (S p p 0 converge, ce qui signifie que la série n 0 u n est convergente. q Dès lors, on passe à la limite en q dans l inégalité (triangulaire u n q u n pour obtenir l inégalité voulue sur les sommes. c Remarque et définition. La réciproque est fausse! Contre-exemple. La série harmonique alternée n u n avec u n = ( n n est convergente (voir..3. Comme u n = n, la série n u n est la série harmonique, qui elle est divergente. Donc la série harmonique alternée est convergente mais non absolument convergente. Une série numérique qui est convergente mais qui n est pas absolument convergente est dite parfois semi-convergente. d Proposition. Les séries absolument convergentes forment un sous-espace de l espace vectoriel des séries convergentes. Preuve. L inclusion découle du b ci-dessus. Pour la stabilité par combinaison linéaire, considérons u n et v n deux séries absolument convergentes, et deux scalaires λ, µ K. On a : λu n + µv n λ u n + µ v n. Or par hypothèse, u n et v n convergent, donc λ u n + µ v n aussi d après..4.b. L inégalité λu n + µv n λ u n + µ v n implique donc, avec le théorème de majoration.2..b, que la série λu n +µv n est convergente. Ceci signifie que la série (λu n +µv n est absolument convergente,ie. λ u n +µ v n est absolument convergente. Le théorème suivant est un résultat pratique donnant des conditions suffisantes de convergence pour certains types particuliers de séries dont le terme général est un réel changeant de signe suivant la parité de n. Ce résultat, appelé règle des séries alternées, et en fait un cas particulier d un résultat plus général (qui n est pas au programme de ce cours appelé la règle d Abel. 4

16 .3.2 Séries (réelles alternées a Définition. Une série réelle u n est dite alternée lorsque son terme général est de la forme u n = ( n α n avec α n R +, ou bien de la forme u n = ( n+ α n avec α n R +. b Théorème (règle des séries alternées. Soit (α n une suite de réels positifs. Si (α n est décroissante et convergente vers 0, alors la série alternée ( n α n est convergente. Preuve. Posons S N = N ( n α n pour tout N N. L hypothèse que la suite (α n est décroissante implique que, pour tout entier p 0, on a S 2p+2 S 2p = α 2p+2 α 2p+ 0 et S 2p+3 S 2p+ = α 2p+3 + α 2p+2 0. Donc la suite (S 2p p 0 est décroissante et la suite (S 2p+ p 0 est croissante. De plus S 2p+ S 2p = α 2p+, et l hypothèse que la suite (α n converge vers 0 implique alors que lim(s 2p+ S 2p = 0. En d autres termes, les suites (S 2p p 0 et (S 2p+ p 0 sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite S. Ainsi, la suite (S n est telle que les deux suites extraites (S 2p p 0 et (S 2p+ p 0 convergent vers la même limite S. On sait (voir résultats de première année qu alors la suite (S n converge vers S. c Exemple (série de Riemann alternée. Il s agit de u n où u n = ( n n, avec α R fixé. α - Si α 0, elle diverge grossièrement. - Si α >, elle est absolument convergente car u n = n α converge (cf..2.2.b. - Dans le cas 0 < α, u n diverge (cf..2.2.b donc u n n est pas absolument convergente. Néanmoins, u n converge par application du théorème b ci-dessus (car la suite n décroît vers 0. Dans ce cas, u α n est semi-convergente. La série harmonique alternée ( n n, qui est semi-convergente comme on l a vu au c de.3., correspond au cas α =. d Une précision parfois utile (majoration du reste dans la règle des séries alternées. Comme dans le théorème ci-dessus, considérons (α n une suite de réels positifs, décroissante et convergente vers 0. Reprenons toutes les notations introduites dans la preuve du théorème. Introduisons de plus la notation : R N = S S N = + n=n+ ( n α n pour tout N 0. On a vu que la suite (S 2p p 0 converge vers S en décroissant et la suite (S 2p+ p 0 converge vers S en croissant ; il en résulte que, pour tout p N, on a : S 2p+ S S 2p, donc S 2p+ S 2p S S 2p 0, c est-à-dire α 2p+ R 2p 0, S 2p+ S S 2p+2, donc 0 S S 2p+ S 2p+2 S 2p+, c est-à-dire 0 R 2p+ α 2p+2. On retiendra que : lorsque la règle des séries altenées s applique, on a de plus : R n α n+ pour tout n N. On verra plus loin des situation où cette majoration est utile [par exemple e.(iii ou exercice 3 de 2.2.3]. 5

17 .3.3 Exercices Exercice. Soit θ R. Pour tout n N, on pose u n = nature de la série u n, puis de la série u n. n ln n n 2 + Exercice 2. Soit a un réel positif fixé. On pose u n = sin(π n 2 + a 2 et v n = Montrer que u n = ( n sin v n. En déduire la nature de la série u n. Exercice 3. Déterminer la nature de la série ( n n n sin n. Exercice 4. Déterminer la nature de la série + ( n n. n Exercice 5. Soit α R +. On pose u n = ( n ( n + n α. sin nθ. Déterminer la a 2 π n2 + a 2 + n. Montrer que u n = ( n n α + n α (n α + ( n. En déduire la nature de la série u n. Exercice 6. En utilisant des développements limités appropriés, étudier la nature de la série u n dans chacun des cas suivants : [ ( u n = (n (n 2 + 2, un = ( n + ] n. n e u n = n 4 + 2n + n 4 + an avec a R + et u n = e c n a b n.4 Résultats complémentaires.4. Produit de deux séries avec a, b, c R. a Définition. Soient n 0 u n et n 0 v n deux séries numériques. On appelle série produit (ou produit de Cauchy de ces deux séries la série n 0 w n de terme général : w n = u 0 v n + u v n + + u n v 0 = n u p v n p = u p v q. p=0 p+q=n b Lemme. Soient n 0 u n et n 0 v n deux séries réelles à termes positifs. Si les deux convergent, alors leur série produit n 0 w n converge, et sa somme vaut : + w n = ( + (+ u n v n. Preuve. Notons dans R + les sommes partielles : U n = n k=0 u k, V n = n k=0 v k, W n = Par hypothèse, la suite (U n, (qui est croissante puisque chaque u k est positif, converge vers une limite U = + u n R +. De même la suite (V n converge en croissant vers V = + v n R +. Il en résulte que la suite (U n V n converge en croissant vers UV. Remarquons que U n V n = u p v q. Par ailleurs, W n = n ( u p w k = 0 p,q n k=0 p+q=k p+q n n k=0 u p v q. D une part : (p + q n = (p n et q n, donc chaque terme de la somme W n figure dans la somme U n V n ; comme tous les termes sont positifs, on conclut que W n U n V n. 6 w k.

18 D autre part : (p n et q n = (p + q 2n, donc de la même façon : U n V n W 2n. En résumé : W n U n V n W 2n ( Puisque la suite (U n V n est majorée par UV, il résulte de ( que la suite (W n est majorée. Mais la suite (W n est aussi croissante (car chaque w k est positif. On conclut que (W n converge. Soit W sa limite dans R +. La suite (W 2n, qui est une suite extraite de (W n converge donc aussi vers W. On déduit alors de ( que W = UV. c Théorème. Soient n 0 u n et n 0 v n deux séries numériques. Si les deux sont absolument convergentes, alors leur série produit n 0 w n est absolument convergente, et sa somme vaut : + w n = ( + (+ u n Preuve. On raisonne en deux étapes. Notons n 0 w n la série produit de n 0 u n et n 0 v n, définie par w n = u p v q. p+q=n Notons n 0 x n la série produit de n 0 u n et n 0 v n, définie par x n = u p v q. p+q=n Par l inégalité triangulaire : w n = u p v q u p v q = x n, pour tout n N. p+q=n p+q=n Or, comme par hypothèse les séries positives n 0 u n et n 0 v n convergent, le lemme précédent implique que la série n 0 x n converge. On peut donc appliquer le critère de majoration.2..b pour conclure que la série n 0 w n converge, c est-à-dire que la série n 0 w n est absolument convergente. v n. On introduit pour les sommes partielles les notations suivantes : U n = n u k, V n = n v k, W n = n w k = n ( u p v q = A n = k=0 n k=0 k=0 k=0 u k, B n = n v k, C n = n x k = k=0 k=0 k=0 p+q n p+q=k u p v q. En particulier le lemme b se traduit par : lim(a n B n C n = 0. On calcule : U n V n W n = u p v q u p v q = u p v q 0 p,q n p+q n (p,q n p+q n u p v q. où l on a noté n = {(p, q N 2 ; 0 p n, 0 q n, p + q > n}. De la même façon : A n B n C n = u p v q. (p,q n Par inégalité triangulaire : U n V n W n = u p v q u p v q = A n B n C n. (p,q n (p,q n Or lim(a n B n C n = 0, donc lim(u n V n W n = 0, donc lim W n = (lim U n (lim V n, c est-à-dire : + w n = ( + (+ u n v n. d Exemple important (exponentielle. Pour tout x C, la série n 0 xn n! est absolument convergente (c est clair par la règle de d Alembert. Donc elle converge ; notons sa somme : exp x = + Pour deux nombres complexes x et y, la série produit de n 0 xn n! et n 0 général : 7 x n n!. y n n! a pour terme

19 w n = n p=0 x p y n p p! (n p! = n! n p=0 ( n p x p y n p = n! (x + yn. D après le théorème précédent, cette série produit est absolument convergente, et on a : exp(x + y = + (x+y n n! = ( + x (+ n y n n! n! = (exp x(exp y e Remarque. On peut améliorer le théorème c en montrant que la série produit reste convergente si l on suppose seulement que l une des deux séries données est absolument convergente, l autre étant simplement supposée convergente (théorème de Mertens..4.2 Le problème de la sommation par paquets a Exemple introductif. La série n 0 ( n est divergente (grossièrement. Mais en regroupant les termes deux par deux : + ( + + ( + + ( + + ( 2p + ( 2p+ + }{{}}{{}}{{}}{{} la série p 0 (( 2p + ( 2p+ est de terme général nul, donc convergente. b Notations. Soit n 0 u n une série numérique. Regroupons ses termes par paquets sous la forme : v 0 = u 0 + u + + u φ(0, v = u φ(0+ + u φ( u φ(, et plus généralement : v n = φ(n k=φ(n + u k, avec φ : N N strictement croissante. On a alors : c Proposition. Avec les données et notations ci-dessus : (i Si u n converge, alors v n converge ; dans ce cas, les deux séries ont la même somme. (ii Si de plus tous les u n sont des réels positifs, la réciproque est vraie aussi. Preuve. Considérons les sommes partielles : U n = n u j et V n = n v j = n ( φ(j j=0 j=0 j=0 k=φ(j + u k = φ(n j=0 u j = U φ(n. Si l on suppose que la série n 0 u n converge, en notant U sa somme, on a lim U n = U. Comme φ est strictement croissante, lim φ(n = +, donc lim V n = lim U φ(n = lim U n = U, ce qui prouve le point (i. Pour prouver (ii, supposons que chaque u n est un réel positif. Il est clair que les suites réelles (U n et (V n sont alors croissantes. Si on suppose que la série n 0 v n converge, alors la suite (V n est majorée (car toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +. Mais pour tout n N, on a : φ(n n (c est une conséquence facile du fait que φ est strictement croissante donc : U n = n k=0 u k φ(n k=0 u k = U φ(n = V n. On déduit que la suite (U n est majorée. Comme elle est croissante, elle converge..4.3 Le problème de l ordre des termes a Exemple introductif. Considérons la série réelle n u n, pour u n = ( n+ n. D après.3.2.c, elle est convergente (mais non absolument convergente Changeons l ordre des termes en renumérotant : 8

20 n u σ(n = où σ est la bijection de N sur N définie par : σ(3p = 2p, σ(3p = 4p, σ(3p 2 = 4p 3 pour tout p. Dans ( u σ(n, regroupons ensuite par paquets en : uσ(3p 2 + u σ(3p + u σ(3p. n Posons a n = u σ(3n 2 + u σ(3n + u σ(3n = 4n 3 + 4n 2n, qui est positif. On vérifie que a n est équivalente à ( 2 2 n au voisinage de +. ( ( En effet : a n = 2n 2 3 /2 ( 4n + 2 /2 4n ( ( = 2n n + n ε( n ( ( n + n ε( n = 2 ( 2 2n 2 + ε ( n. D après.2.2, la série 2n diverge, donc d après.2..d, il est de même de a n. En appliquant.4.3.c.(i, on conclut que n u σ(n diverge. b Définition. Une série numérique n 0 u n est dite commutativement convergente lorsque, pour tout bijection σ de N sur N, la série n 0 u σ(n est convergente. c Théorème. Toute série numérique absolument convergente est commutativement convergente, et sa somme reste inchangée quand on modifie l ordre des termes. Preuve. Soit n 0 u n absolument convergente, et σ bijection de N sur N. Première étape : on montre que n 0 u σ(n est absolument convergente. Pour cela, pour tout n N, introduisons φ(n = max{σ(0, σ(,..., σ(n}. Comme {σ(0, σ(,..., σ(n} est formé de n + entiers 0 qui sont deux à deux distincts, on a : p φ(n n. ( De plus, φ(n majore {σ(0, σ(,..., σ(n}, donc : Notons X n = n k=0 {σ(0, σ(,..., σ(n} {0,, 2,..., φ(n}. (2 u σ(k. On tire de (2 que X n = u σ(0 + u σ( + + u σ(n Comme par hypothèse, la série k 0 u k converge, on en déduit que : φ(n k=0 u k. X n + u k. La suite (X n, qui est croissante, est donc majorée ; ceci prouve que la suite (X n converge, c est-à-dire que la série u σ (n est absolument convergente. On a en outre montré que : + u σ(n + u n. En échangeant le rôle des deux séries, (c est-à-dire en remplaçant σ par la bijection réciproque σ, on conclut que : + u σ(n = + u n (3. Seconde étape : les séries n 0 u n et n 0 u σ(n étant convergentes (car absolument convergentes, il reste à montrer que leurs sommes respectives S et S sont égales. Pour cela, posons L n = {0,, 2,..., φ(n} \ {σ(0, σ(,..., σ(n}, de sorte que : φ(n u k n u σ(k = u k u k. k=0 k=0 k L n k L n En remodifiant le second membre, on obtient finalement : 9 k=0

21 φ(n u k n k=0 k=0 φ(n u σ(k k=0 u k n u σ(k. (4 D après (, lim φ(n = +, donc (3 implique que le second membre de (4 tend vers 0 quand n +. Comme le premier membre de (4 tend vers S S, on conclut que S = S. d Remarques. Soit u n une série convergente mais non absolument convergente. On a vu à l exemple a que l on peut avoir u σ(n qui est divergente. Il se peut aussi que u σ(n converge, mais que sa somme soit différente de celle de u n. (cf. exercice ci-dessous. On peut montrer (on ne le fera pas ici que, la réciproque du théorème c est en fait vraie aussi, c est-à-dire qu une série numérique semi-convergente n est jamais commutativement convergente. Exercice. Considérons la série harmonique alternée n u n avec u n = ( n+ n. Elle est convergente et non absolument convergente (d après.3..c ou.3.2.c. Vérifier qu en posant : σ(3q = 4q, σ(3q = 2(2q, σ(3q 2 = 2q pour tout q, on définit une bijection σ de N sur N. Montrer qu alors la série : u σ(n = q 2(2q 4q + n converge, mais que : + u n = 2 + u σ(n. n= n= k=0 (Indication : faire des sommations par paquets de 3, puis de Comparaison entre séries et intégrales a Proposition. Soit n 0 a n une série de terme général a n K. Soit f : [0, + [ K définie par f(t = a n pour tous n N et t [n, n + [. Alors : (i La série n 0 a n et l intégrale + 0 f(t dt sont de même nature. (ii De plus, dans le cas de convergence, on a : + a n = + 0 f(t dt. Preuve. f est bien définie car tout t 0 appartient à un intervalle [n, n + [ et un seul. Par construction, f est constante sur chaque [n, n + [, donc continue par morceaux sur tout segment [a, b] inclus dans I = [0, + [. Par définition, cela signifie que f C M (I, K. Pour tout N N, notons : S N = N a n = N+ f(t dt. 0 Figure Supposons que + f(t dt converge, c est-à-dire lim 0 lim S N = N + lim N + x + x 0 f(t dt = L K. Alors on a : N+ 0 f(t dt = L ce qui prouve que la série n 0 a n converge. Réciproquement, supposons que n 0 a n converge, c est-à-dire lim N + S N = L K. Pour tout réel x 0, notons E(x sa partie entière ; on a : 20

22 x 0 f(t dt = E(x f(t dt + E(x x 0 E(x f(t dt = n+ f(t dt + x f(t dt n E(x = E(x a n + (x E(xa E(x = S E(x + (x E(xa E(x Or lim E(x = +. Donc lim S E(x = L. On a aussi : lim a E(x = lim a n = 0 x + x + x + n (puisque a n est le terme général d une série convergente. Comme 0 x E(x <, on déduit lim (x E(xa E(x = 0, d où x + lim x + x 0 f(t dt = L. b Théorème (Cas des fonctions réelles positives décroissantes Notons I = [0, + [. Soit f : I R continue par morceaux sur I, que l on suppose positive et décroissante sur I. Alors : la série f(n et l intégrale + 0 f(t dt sont de même nature. n 0 Preuve. On raisonne en deux étapes. Définissons d abord pour tout n N : x n = n f(k n+ f(t dt. 0 k=0 Figure 2 Figure 3 On va montrer que la suite (x n n 0 est convergente. Pour cela remarquons d abord que : pour tous k N et t [k, k + ], on a (car f est décroissante : 0 f(k + f(t f(k, donc : Or x n = n k=0 0 f(k + k+ f(t dt f(k. ( k f(k n ( k+ f(t dt = n ( f(k k+ f(t dt Chaque différence α k k := k=0 k k=0 f(k k+ f(t d est positive d après (*, et comme x k n+ = x n + α n pour tout n N, on déduit que la suite (x n est croissante. Par ailleurs : x n = n ( f(k k+ f(t dt = f(0 + n ( k+ f(t dt + f(k + n+ f(t dt. k k n k=0 k=0 Chaque différence β k := f(k + k+ k f(t dt étant négative d après (, il vient : x n f(0 n+ f(t dt. Toujours d après (, on a aussi : n+ f(t dt f(n +. n n Finalement : x n f(0 f(n + f(0. Ceci étant vrai pour tout n N, la suite (x n est majorée ; on a déja vu qu elle est croissante : on conclut qu elle converge. Bilan : en posant S n := n k=0 f(k et I n := n+ 0 f(t dt, on a S n = x n + I n avec la suite (x n qui converge. Donc la suite (S n converge si et seulement la suite (I n n 0 converge. Par ailleurs, pour tout réel x > 0, on a (parce que f est positive : E(x f(t dt x 0 0 f(t dt E(x+ f(t dt. 0 Puisque lim E(x = +, on en déduit que : la suite (I n n 0 converge dans R vers une x + limite finie si et seulement si f(t dt existe dans R, c est-à-dire si et seulement lim x + x 0 2

23 si l intégrale + f(t dt est convergente. En rappelant le bilan ci-dessus, on conclut que 0 l intégrale + f(t dt est convergente si et seulement si la suite (S 0 n converge dans R, ce qui équivaut à dire que la série k 0 f(k est convergente. c Corollaire. Soient a 0 et I = [a, + [. Si f : I R est continue par morceaux, positive et décroissante sur I, alors la série f(a + n et l intégrale + a f(t dt sont de même nature. n 0 Preuve. Il suffit d appliquer le théorème à f(a + t au lieu de f(t. d Remarque. En particulier, pour tout α 0, l application t t étant positive, continue α par morceaux et décroissante sur I = [a, + [ (avec a > 0 quelconque, on déduit que l intégrale + a t dt converge si et seulement si la série α n 0 (n+a est convergente, c est-à-dire si et α seulement si α >. On retrouve ainsi via la comparaison à ce type d intégrale les conditions de convergence des séries de Riemann de.2.2. e Une application intéressante. La suite ( n appelée la constante d Euler. k= k ln n est convergente ; sa limite γ est En effet : soit I = [, + [ et f : I R continue positive décroissante sur I définie par f(t = t. Comme dans la preuve du théorème b, considérons x n = n g(k n+ g(t dt. 0 où l on a noté g l application [0, + [ R + définie par g(t = f(t +. On a donc : x n = n k+ n+ n+ 0 t+ dt = k n+2 t dt, k=0 k= Ou encore : x n = n k n+ t dt = n k n t dt n+ n t dt = n k ln n ( ln(n + ln n. k= k= Comme lim n ( ln(n+ ln n = limn b que la suite (x n converge, on conclut que la suite ( n La constante d Euler : γ = k= k=0 ln(+ n = 0, et comme on a vu dans la preuve du théorème k= lim ( + n n ln n = lim k ln n est convergente. ( n n + n ln n k= joue un rôle très important dans de nombreux problèmes mathématiques. Une valeur approchée de γ est 0, La question de savoir si γ est ou non rationnel est encore ouverte aujourd hui! f Exercice (séries de Bertrand. On fixe α, β R. On considère la série de terme général : u n = n α (ln n β. Montrer que : (i si α >, la série n α (ln n β converge pour tout β, (ii si α <, la série n α (ln n β diverge pour tout β, (iii si α =, la série n(ln n β converge si et seulement si β >. Exemples d application : déterminer la nature des séries de terme général : ] u n = n (/nα avec α R, et u n = ln n ln [ + ( n. n 22

24 Chapitre 2 Séries de fonctions Conformément à ce que prévoit le programme, ce chapitre est plus précisément consacré à l étude des séries de fonctions d une variable réelle, à valeurs réelles ou complexes. Les séries de fonctions sont un cas particulier de suites de fonctions, à savoir les suites de sommes partielles. C est pourquoi on définit d abord les notions de base dans le contexte plus général des suites de fonctions, où elles s expriment plus facilement. Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et désigne respectivement la valeur absolue ou le module. 2. Suites de fonctions 2.. Convergence simple et convergence uniforme Rappelons d abord quelques notations classiques. Si X une partie non vide de R, on note F (X, K l ensemble des applications de X dans K ; c est un K-espace vectoriel pour la somme usuelle des fonctions, et le produit usuel d une fonction par un scalaire. On note B(X, K le sous-ensemble de F (X, K formées des applications qui sont bornées sur X ; c est un sous-espace vectoriel. De plus, si f B(X, K, on introduit le réel positif f défini par : f = sup f(x. x X C est un simple exercice sur les propriétés de la borne supérieure que de vérifier que l on a pour toutes f, g B(X, K et tout réel λ : [ f = 0 ] [f = 0], λ.f = λ f, f + g f + g. Ces propriétés se traduisent en disant que que est une norme de l espace vectoriel B(X, K. Une étude systématique de telles normes sera détaillée au second semestre. Fixons ensuite les donnés. On désigne encore par X une partie non vide de R. On considère une suite (f n n 0 d applications X K. Cela signifie que : pour tout n N, f n F (X, K et pour tous n N et x X, f n (x K. On peut alors donner les deux définitions fondamentales suivantes. 23

25 a Définition (convergence simple. On dit que la suite (f n converge simplement sur X vers une application f F (X, K lorsque, pour tout x X, la suite (f n (x n 0 converge dans K vers f(x. Ceci équivaut à : x X, lim f n(x = f(x, n + c est-à-dire à : x X, ε > 0, N ε,x N, n N ε,x, f n (x f(x < ε. b Définition (convergence uniforme. On dit que la suite (f n converge uniformément sur X vers une application f F (X, K lorsque : ε > 0, N ε N, n N ε, x X, f n (x f(x < ε, (on observera avec soin la place des quantificateurs en comparaison de la définition précédente. Ceci équivaut encore à : les applications (f n f sont bornées sur X pour n assez grand, et ( lim fn f = 0. c Exemples. n + Soit I =]0, + [ ; pour tout n N et tout x I, on pose : f n (x = nx. Il est clair que la suite (f n converge simplement vers la fonction nulle sur I, mais ne converge pas uniformément sur I car : ε = 2, N N, n = N, x = n, f n(x 0 = f n ( n = > ε. Soit I = [0, ] ; pour tout n N et tout x I, on pose (représenter graphiquement f et g : x si x [0, 2n ] 2nx si x [0, 2n ] f n (x = x + n si x [ 2n, n ] g n (x = 2 2nx si x [ 0 si x [ n, ] 2n, n ]. 0 si x [ n, ] Les suites (f n et (g n convergent simplement vers la fonction nulle sur I. En effet : pour tout x ]0, ], on a pour n assez grand x > n donc f n(x = g n (x = 0. De plus f n (0 = g n (0 = 0. Donc lim f n(x = lim f n(x = 0 pour tout x I. n + n + La suite (f n converge uniformément sur I. En effet : f n 0 = sup x I f n (x = 2n La suite (g n ne converge pas uniformément sur I, qui tend vers 0 quand n. En effet : g n 0 = sup x I g n (x = qui ne tend pas vers 0 quand n. d Proposition (relation entre convergences simple et uniforme. Soit (f n une suite d applications de F (X, K. Si elle converge uniformément sur X vers une application f F (X, K, alors elle converge simplement sur X vers f. La réciproque est fausse en général. Preuve. L implication est claire d après les définitions a et b elles-mêmes. On a vu en c des contre-exemples à la réciproque. 24